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【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第八篇 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积与体积教案 理 新人教版


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第2讲
【2013 年高考会这样考】

空间几何体的表面积与体积

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与 球的接切问题相结合,难度有所增大. 【复习指导】 本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式,运用这些公式解决一些简 单的问题.

基础梳理 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 圆柱 圆锥 体 积

S 侧=2π rh S 侧=π rl
1 3

V=Sh=π r2h V= Sh= π r2h= π r2 l2-r2 V= (S 上+S 下+ S上S下)h=
π (r1+r2+r1r2)h
2 2

1 3

1 3

圆台

S 侧=π (r1+r2)l S 侧=Ch S 侧= Ch′ S 侧= (C+C′)h′ S 球面=4π R2
1 2 1 2

1 3

1 3

直棱柱 正棱锥 正棱台 球 2.几何体的表面积

V=Sh V= Sh V= (S 上+S 下+ S上S下)h V= π R3
4 3 1 3 1 3

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.

两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形, 明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正
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方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体 的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的 轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点” 作出截面图. (2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积 (或体积)通过已知条件可以得到, 利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高, 特 别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥) 的高,而通过直接计算得到高的数值. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个 圆柱的侧面积是( A.4π S C.π S 解析 设圆柱底面圆的半径为 r,高为 h,则 r= 又 h=2π r=2 π S,∴S 圆柱侧=(2 π S) =4π S. 答案 A 2.(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为( A.3π a
2 2

). B.2π S D. 2 3 πS 3

S
π



).
2

B.6π a

C.12π a

2

D.24π a

2

解析 由于长方体的长、 宽、 高分别为 2a、 a、 a, 则长方体的体对角线长为 ?2a? +a +a
2 2

2

2

2

= 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线, ∴2R= 6a.∴S 球=4π R =6π a . 答案 B

3.(2011·北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( A.8 C.10 B.6 2 D.8 2 ).

解析 由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面积分别为 6,6 2,8,10,所以

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面积最大的是 10,故选择 C. 答案 C 4.(2011·湖南)设

右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( 9 A. π +12 2 C.9π +42 9 B. π +18 2 D.36π +18

).

解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为 3,长方体的底面是边 4 ?3?3 9 2 长为 3 的正方形,高为 2,故所求体积为 2×3 + π ? ? = π +18. 3 ?2? 2 答案 B 5.若一个球的体积为 4 3π ,则它的表面积为________. 4π 3 2 解析 V= R =4 3π ,∴R= 3,S=4π R =4π ·3=12π . 3 答案 12π

考向一 几何体的表面积 【例 1】?(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ).

A.48

B.32+8 17

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C.48+8 17

D.80

[审题视点] 由三视图还原几何体,把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积. 解析 换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为 4 的直棱柱,且等腰梯 形的两底分别为 2,4,高为 4,故腰长为 17,所以该几何体的表面积为 48+8 17. 答案 C 以三视图为载体考查几何体的表面积, 关键是能够对给出的三视图进行恰当的分 析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. 【训练 1】 若一

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( A. 3 C.2 3 B.2 D.6

).

解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为 2 的正三角形、 侧棱为 1 的直三棱柱, 则此 三棱柱的侧面积为 2×1×3=6. 答案 D 考向二 几何体的体积 【例 2】?(2011·广东)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ).

A.18 3

B.12 3

C.9 3

D.6 3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据和几何体的体积公式求解.

解析 该几何体为一个斜棱柱, 其直观图如图所示, 由题知该几何体的底面是边长为 3 的正 方形,高为 3,故 V=3×3× 3=9 3.

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答案 C 以三视图为载体考查几何体的体积, 解题的关键是根据三视图想象原几何体的形 状构成, 并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系, 然后在直观图中求解. 【训练 2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( ).

28 A. π 3 4 C. π +8 3

B.

16 π 3

D.12 π

解析 由三视图可知,该几何体是底面半径为 2,高为 2 的圆柱和半径为 1 的球的组合体, 4 28 2 则该几何体的体积为 π ×2 ×2+ π = π . 3 3 答案 A 考向三 几何体的展开与折叠 【例 3】?(2012·广州模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,

AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 DABC 的体积. [审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明 BC 垂直于平面 ACD 内的两条相交线即可; (2)利用体积公式及等体积法证明. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2,

从而 AC +BC =AB ,故 AC⊥BC, 取 AC 的中点 O,连接 DO, 则 DO⊥AC,又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,DO ? 平面 ADC,从而 DO⊥平面 ABC,∴DO⊥BC, 又 AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 BACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,∴VBACD=

2

2

2

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1 1 4 2 S△ACD·BC= ×2×2 2= , 3 3 3 4 2 由等体积性可知,几何体 DABC 的体积为 . 3 (1)有关折叠问题, 一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间 图形)各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪些不变. (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为平面上两 点间的最短距离问题. 【训练 3】 已知

在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示,则 CP+PA1 的最小值为________. 解析 PA1 在平面 A1BC1 内,PC 在平面 BCC1 内,将其铺平后转化为平面上的问题解决.计算

A1B=AB1= 40, BC1=2, 又 A1C1=6, 故△A1BC1 是∠A1C1B=90°的直角三角形. 铺平平面 A1BC1、
平面 BCC1,如图所示.

CP+PA1≥A1C.
在△AC1C 中,由余弦定理得

A1C= 62+? 2?2-2·6· 2·cos 135°= 50=5 2,故(CP+PA1)min=5 2.
答案 5 2

难点突破 17——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点, 解决这类问题, 首先要熟练掌握各 类空间几何体的表面积和体积计算公式, 其次要掌握一定的技巧, 如把不规则几何体分割成 几个规则几何体的技巧、 把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、 对旋转体 作其轴截面的技巧、 通过方程或方程组求解的技巧等, 这是化解空间几何体面积和体积计算 难点的关键. 【示例 1】? (2010·安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为
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(

).

A.280 B.292 C.360 D.372

【示例 2】? (2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周 3 都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的 16 高与体积较大者的高的比值为________.

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