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2012年全国高中数学联赛


2012年全国高中数学联赛
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1.设 P 是函数 y ? x ?
2 x

( x ? 0 )的 图像上任意一点,过点 P 分别向
??? ??? ? ?

直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A , B ,则 P A ? P

B 的值是_____________.

? 6.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x .若对任意的 x ? [ a , a ? 2 ] , 不等式 f ( x ? a ) ? 2 f ( x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____________.

7. 满足

的所有正整数 n 的和是_____________. n 3 8.某情报站有 A , B , C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从
4

1

? sin

?

?

1

上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使 用 A 种密码的概率是_____________.(用最简分数表示) 二 、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x ) ? a sin x ?
1 2 cos 2 x ? a ? 3 a ? 1 2 , a ? R, a ? 0

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R , 使得 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列 ? a n ? 的各项均为非零实数,且对于任意 的正整数 n , 都有
( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 3 3 3

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a 2 , a 3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 { a n } ,使得 a 2013 ? ? 2012 ? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小 题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XO Y 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | O A | ? | O C | 为定值; (2)当点A在 半圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求 点 C 的轨迹.

三、 (本题满分 50 分) 设 P0 , P1 , P2 , ? , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0) 求证: P0 P1 ? P0 P2 ? ? P0 Pn ? ( )
3 d
n

( n ? 1) !

四、 (本题满分 50 分) 设 Sn ? 1 ?
1 2 ?? ? 1 n

, n 是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列

{ S n ? [ S n ]} 中有无穷多项属于 ( a , b ) .这里, [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.

[来源:学.科.网]

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1. 设 P 是函数 y ? x ? 轴作垂线,垂
??? ??? ? ?

2 x

( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y

足分别为 A , B ,则 P A ? P B 的值是



2. 则

设 ? ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a cos B ? b cos A ? 的值是 .

3 5

c,

tan A tan B

【答案】4

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

3.设 x , y , z ? [0,1] ,则 M ? . 【答案】 2 ? 1 因为
y?x ?
[来源:学&科&网]

|x? y|?

| y?z|?

| z ? x | 的最大值是

【解析】不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ?
z? y ?

y?x?

z? y ?

z ? x.

2[( y ? x ) ? ( z ? y )] ?
z ? x ? ( 2 ? 1) z ? x ?

2( z ? x).
2 ? 1.

所以 M ?

2( z ? x) ?

当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0, z ? 1, y ?

1 2

时上式等号同时成立.故 M max ?

2 ? 1.

4.抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为l, A , B 是抛物线上的两个动点,且满足
2

?AFB ?

? 3

.设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N ,则 .

| MN | | AB |

的最大值是

【答案】1

[来源:Zxxk.Com]

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 M N ? 在 ? A F B 中,由余弦定理得 A B
2
2

AF ? BF 2

.

? AF

2

? BF
2

2

? 2 A F ? B F cos

?
3

? ( AF ? BF ) ? 3 AF ? BF ? ( A F ? B F ) ? 3(
?( AF ? BF 2 ) ? MN
2 2

AF ? BF 2

)

2

.
MN AB

当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故

的最大值为1.

5. 设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? A B C 内接于同一个球. 若正三棱锥 P ? ABC 的 侧面与底面所成的角为 4 5 ,则正三棱锥 Q ? A B C 的侧面与底面所成角的正切值是 .
?

? 6. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x .若对任意的 x ? [ a , a ? 2 ] , 不等式 f ( x ? a ) ? 2 f ( x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

【答案 】 [ 2 , ? ? ).

7.满足

1 4

? sin

? n

?

1 3

的所有正整数 n 的和是
?
6



【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当 x ? (0,
) 时, 3

?

x ? sin x ? x , 由此得

sin sin

?
13

? ?

?
13

? ?

1 4 1

, sin , sin

?
12

? ?

3

?
3

? ?

?
12

? ? 1

1 4

,

. 所以 10 3 9 ? 9 3 ? 1 ? ? ? 1 ? sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 13 4 12 11 10 3 9 1 ? 1 故满足 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 1 0,1 1,1 2, 它们的和为 33 . 4 n 3 10

?

?

?

?

8.某情报站有 A , B , C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从 上周未使用的三种密码中等可能地 随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也 使用A种密码的概率是 .(用最简分数表示)

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x ) ? a sin x ?
1 2 cos 2 x ? a ? 3 a ? 1 2 , a ? R, a ? 0

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列 ? a n ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n , 都有
( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 3 3 3

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成 的数列 a1 , a 2 , a 3 ;

(2)是否存在满足条件的无穷数列 { a n } ,使得 a 2013 ? ? 2012 ? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XO Y 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求 证: | O A | ? | O C | 为定值; (2)当点A在半圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求

点 C 的轨迹. 【 解析】因为 OB ? OD , AB ? AD ? BC ? CD , 所以 O , A , C 三点共线 如图,连结 B D ,则 B D 垂直平分线段 AC ,设垂足为 K ,于是有
OA ? OC ? ( OK ? AK )( OK ? AK )
? OK
2

? AK

2

? ( OB

2

? BK ) ? ( AB

2

2

? BK ) ? OB

2

2

? AB

2

? 6 ? 4 ? 2 0 (定值)
2 2

(2)设 C ( x , y ), A (2 ? 2 cos ? , 2 sin ? ), 其中 ? ? ? X M A ( ? 因为 O A
2 2 2

?
2

?? ?
2

?
2

), 则 ? X O C ?

?
2

.

? (2 ? 2 cos ? ) ? (2 sin ? ) ? 8(1 ? cos ? ) ? 16 cos

?
2

, 所以 O A ? 4 co s

?
2

由(1)的结论得 O C co s
y ? O C sin

?
2

? 5, 所以 x ? O C co s

?
2

? 5 . 从而

?
2

? 5 tan

?
2

? [ ? 5, 5].

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A (5, 5), B (5, ? 5)

2012 年全国高中数学联赛加试试题(
[来源:学科网]

A

卷)

一、 (本题满分40分) 如图,在锐角 ? ABC 中, A B ? A C , M , N 是 BC 边上不同的两点,使得 ? BAM ? ? CAN . 设 ? ABC 和 ? AMN 的外心分别为 O1 , O 2 ,求证: O1 , O 2 , A 三点共线。

证法一:令 b ? m x , b ? 1 ? 2 由于 (2
k ?1

k ?1

y , 消去 b 得 2

k ?1

y ? m x ? 1.

? x ? x 0 ? 2 k ?1 t ? 其中 t ? z , ( x 0 , y 0 ) 为方程的特解. , m ) ? 1, 这方程必有整数解; ? ? y ? y0 ? m t ?
? k ?1

? ? 把 最小的 正整数 解记为 ( x , y ), 则 x ? 2 数.……40 分

, 故 b ? m x ? 2 a ? 1, 使 b ( b ? 1) 是 2 a 的倍

?

证法二:由于 (2

k ?1

, m ) ? 1, 由中国剩余定理知,同余方程组

? x ? 0 (m o d 2 ) k ?1 在区间 (0, 2 m ) 上有解 x ? b , 即存在 b ? 2 a ? 1, 使 b ( b ? 1) 是 2 a 的倍 ? ? x ? m ? 1(m o d m )

k ?1

数.…………40 分
? r ? 证 法 三 : 由 于 (2, m ) ? 1, 总 存 在 r ( r ? N , r ? m ? 1), 使 2 ? 1(m od m ) 取 t ? N , 使

tr ? k ? 1, 则 2
tr

tr

? 1(m od m )
k ?1

存在 b ? (2 ? 1) ? q ? (2 此时 m b , 2
k ?1

m ) ? 0, q ? N , 使 0 ? b ? 2 a ? 1,

m ? 1, 因而 b ( b ? 1) 是 2 a 的倍数.……………40 分

三、 (本题满分50分) 设 P0 , P1 , P2 , ? , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0) 求证: P0 P1 ? P0 P2 ? ? P0 Pn ? ( )
3 d
n

( n ? 1) !

四、 (本题满分50分) 设 Sn ? 1 ?
1 2 ?? ? 1 n
?

,n是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列

{ S n ? [ S n ]} 中有无穷多项属于 ( a , b ) .这里, [ x ] 表示不超过实数x的最大整数.

【解析】证法一:(1)对任意 n ? N ,有

2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ?? ? ( n ?? ? n ) ? 1? ? ?? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
n

S 2n ? 1 ?

1

?

1

?? ?

1

? 1?

1 2

?(

1
1

?

1
2

)?(

1
n ?1

?? ?

1
n

)

证法二:(1) S 2 ? 1 ?
n

1 2

?

1 3

?? ? 1

1 2
n

? 1?

1 2 1

2 ?1 2 2 1 1 1 ? 1? ? ?? ? ? n 2 2 2 2
1 2

?(

1

?

1

)?(

n ?1

?1

?? ?

1 2
n

) ? 1?

1 2

?(

1 2
2

?

1 2
2

)?? ? (

1 2
n

?? ?

1 2
n

)


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