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高中数学必修1知识点总结——15-16上课用


集合与函数概念

含义 集合 集合的基本关系 集合的运算 函数的概念 函数 函数的基本性质

映射

映射的概念

集合中元素的性质:确定性;互异性;无序性
元素与集合的关系:属于,不属于 ?; ? 空集: 不含任何元素的集合

? 空集是任意集合的子集

集合间的关系:包含关系 A是B的子集:A ? B或B ? A A ? B, 且存在元素x ? B, 但x ? A, A是B的真子集 真子集:

A ? B或B ? A
? ?

A ? B ? A ? B且B ? A

A? B

?

A? B A? B
A? B ?

1.写出常用数集的符号
整数集: 自然数集: 有理数集:

正整数集:

实数集:

2.用适当的符号填空
a ___{a,1} ?3 ___ Z

{0}___ N

0 ___ N

?

? ___ Q

? ___{x | 4x2 ? 3 ? 0}

集合的运算:并集 交集 补集

? ?

A ? B ? {x | x ? A或x ? B} A ? B ? {x | x ? A且x ? B}

CU A ? {x | x ?U 且x ? A}

函数的概念 设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于 集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它 对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),x∈A. 其中,x叫做自变量,与x值相对应的y值叫做函数值.
自变量x的取值范围A叫做函数的定义域; 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 两个函数相等: (1)定义域相同 (2)对应关系一样

求函数定义域的方法:
1. 分数的分母不能为零; 2. 零的指数不能为零和负数; 3. 偶次方根的被开方数大于等于零; 4. 对数的真数必须大于零;

5. 指数、对数的底数必须大于零且不等于1.

映射的概念 设A,B是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于 集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y和它 对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射 一对一或多对一,不能一对多

函数的基本性质

(1)单调性 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ? I.如果对 于属于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当 x1 ? x2时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f (x)在区间D上 是增函数 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量的值 x1 , x2,当 x1 ? x2时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f (x)在区间 D上是减函数 (2)奇偶性 偶函数 (1)定义域关于原点对称;(2)图像关于y轴对称; (3)f(-x)=f(x) 奇函数 (1)定义域关于原点对称;(2)图像关于原点对称;
(3)f(-x)=-f(x) (3)最值 最大值(图像最高点的纵坐标) 最小值(图像最低点的纵坐标)

函数单调性: 用定义证明函数单调性的步骤: (1).任取某个区间上二值x1,x2,且x1<x2 (2). 作差 f(x1)-f(x2) ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号: (4). 作结论.

基本初等函数

指数

反函数

对数

定义 指数函数 图像与性质 对数函数

定义 图像与性质

幂函数

根式

n ? x ? a 若 ,那么x叫做 a 的n次方根,(n ? 1, 且n ? N )

记作 n a (n为根指数,a 叫做被开方数)
注意: 负数没有偶次方根; 正数的偶次方根有两个,且互为相反数;

任意数的奇次方根只有一个;
0的任何次方根为0,
n

0 ?0

( n a )n ? a
n

an ?

?

a

n为奇数

a a ? ? a,

?

a?0

n为偶数

分数指数幂
m n

正数的分数指数幂

正数的正分数指数幂

a

?
m n

n

a (a ? 0, m, n ? N , 且n>1 )
m

?

正数的负分数指数幂

a

?

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N ? , 且n>1 )

0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义 运算规律

ar a s ? ar ? s (a ? 0, r, s ? Q) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

对数

若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) 则 x ? log a N

a叫做对数的底数,N叫做真数
注意:负数和零没有对数
常用对数 lg N

N>0

(以 10为底数) (以e为底数)

自然对数

ln N

log a1 ? 0 (a ? 0, 且a ? 1) 即:1的对数是0 ( 2) . log a a ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 即:底数的对数是1 ( 3)
对数恒等式:

a

log a N

?N
n

loga a ? n

运算规律

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0有:

log a ( MN ) ? log a M ? log a N (1)

M log a ? log a M ? log a N (2) N n log a M ? n log a M ( n ? R) (3)

log c b log a b ? 换底公式 log c a (a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0)

底数为常数

指数为自变量

形如

y ? a x ( a ? 0 , 且a ? 1 ) 的函数叫做指数函数,
幂为函数

其中 x 为自变量,定义域为 R

指数函数需注意三点: (1)底数:大于0且不等于1 的常数 (2)指数:自变量x (3)幂系数:1

a ?1


0?a?1

y

y ? ax
y=1 x

y ? ax

y y=1 x



(0,1) O 定义域: R 值域: (0,? ?)

(0,1) O

定义域:

R



奇偶性: 非奇非偶函数 单调性: 在R上是增函数 质

值域: (0,? ?) 奇偶性: 非奇非偶函数 单调性:在R上是减函数

过点(0,1) 即 x=0 时,y=1 过点(0,1) 即x=0时,y=1 x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 x>0时,0<y<1;x<0时,y>1

底互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称
⑴ 当底数a>1时,图象上升, 且底数越大时,图象向上越 靠近于y轴。 ?1? y?? ? ⑵当底数0<a<1时,图象下 降,底数越小时,图象向右 越靠近于x轴。
? 2?

y

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

1

0

x1

x

对数函数: 一般地,我们把函数 y +∞). 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,

? log a x (a ? 0且a ? 1)

注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义, x 注意辨别.如: , , y ? 2 log2 x y ? l og5 5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ②对数函数对底数的限制:a>0且a≠1

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
o y (1, 0) x y o

0<a<1

(1, 0)

x

(1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0



x>1时, y>0

(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数

y 2 1
0
11 42

y ? log2 x

y ? log3 x

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

1.底数互为倒数的两对数函数的图像关于x轴对称
y ? log a x 和y ? log 1 x(a ? 0且a ? 1) 关于x轴对称
2.当a>1,a值越大, y ? log a x的图像向右越靠近x 轴 当0<a<1,a值越小, y ? log a x 的图像向右越靠近x 轴
a

指数函数与对数函数

图 象 间 的 关 系

幂函数的定义:
一般地,函数 y ? x 叫做幂函数 ? 为 (power function) ,其中x为自变量, 常数。
注意: (1)幂函数的解析式必须是
?

y?x

?

的形式,

? 前的系数必须是 1,没有其它项。 x

(2)定义域与

? 的值有关系.

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常 数α取值的不同而不同.

y=x
定义域 值域 R R

y = x2
R [0,+∞) 偶函数

y=

x3

y? x
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 函数

1 2

R R 奇函数

y?x 0? ? (0,+?) ? ??, 0? ? (0,+?) ? ??,
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

在(-∞,0] 在R上 在(0,+∞) 在( -∞,0)和 在R上 上是减函 是增函 上是增函数 (0, +∞)上是 单调性 是增函 数,在(0, 减函数 +∞)上是 数 数 增函数 公共点 (1,1)

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

函数与方程

方程 f(x)=0 有实数根

? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数y=f(x)有零点
有交点(x0, 0) 有实根x0 零点:对于函数y=f(x), 我们把使

f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
注意:零点指的是一个实数

求函数零点的步骤: (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0;

(3)写出零点

函数零点存在性原理
如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

对函数零点的存在性定理的理解
(1) 函数零点的存在性定理只能判断函数零 点的存在性,不能判断零点的个数. (2) 只要函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象连 续不断,且在区间[a, b]两端的函数值异号, 则 函数y=f(x)在区间[a, b]上必定存在零点. (3) 若函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象连续不 断, 且函数y=f(x)在区间[a, b]也存在零点, 则函 数y=f(x)在区间[a, b]两端的函数值可能同号也 可能异号.

如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的,并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那 么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零 点。
y

0 a

b x

二分法



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