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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程课件


§2.8 函数与方程

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时训练

基础知识

自主学习

知识梳理

1.函数的零点
(1)函数零点的定义

对于函数y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)几个等价关系

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点?函数y=f(x)有零点 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,

b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 Δ=0 Δ<0

与x轴的交点
零点个数

(x1,0),(x2,0)

(x1,0) 1 __

无交点 0 __

2 ___

知识拓展 1.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 2.三个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2) 函 数 y = f(x) 在 区 间 (a , b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 象 连 续 不 断 ) , 则 f(a)· f(b)<0.( × ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ ) (4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)· f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只 有一个零点.( √ )

考点自测

1.(教材改编)函数 f(x)= x

1 2

1x -( ) 的零点个数为 答案 2

解析

A.0

B.1

C.2

D.3

1 f(x)是增函数,又 f(0)=-1,f(1)=2,
∴f(0)f(1)<0,∴f(x)有且只有一个零点.

1 1 2.(2016· 杭州检测)函数 f(x)=2ln x+x-x -2 的零点所在的区间是 1 A.(e,1) C.(2,e) B.(1,2) D.(e,3)
答案 解析

1 1 1 1 1 1 因为 f( )=- + -e-2<0,f(1)=-2<0,f(2)= ln 2- <0,f(e)= e 2 e 2 2 2 1 +e-e-2>0,
1 1 所以 f(2)f(e)<0,所以函数 f(x)=2ln x+x-x-2 的零点所在区间是(2,e).

2 3.函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为________. 答案

解析



?1? ?x f(x)=0,得|log0.5x|=? ? ? , ?2?
?1? ? ?x y=?2? 的图象, ? ?

作出函数 y=|log0.5x|和

由上图知两函数图象有2个交点, 故函数f(x)有2个零点.

4.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值 ?1 ? ? ? ? ,1? 答案 解析 范围是________. ?3 ? ∵函数f(x)的图象为直线,由题意可得 f(-1)f(1)<0,

1 ∴(-3a+1)· (1-a)<0,解得 <a<1, 3 ?1 ? ? ∴实数 a 的取值范围是?3,1? ?. ? ?

题型分类

深度剖析

题型一 函数零点的确定 命题点1 确定函数零点所在区间 例1 (1)(2016· 余姚调研)已知函数f(x)=ln
解析
?1? ? x-2的零点为x ,则x 所 x-? 0 0 ? ? ?2?

在的区间是 答案
A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

1 x-2 3 (2)(2016· 杭州模拟)设函数y=x 与y=( ) 的图象的交点为(x0,y0), 2 (1,2) 若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________. 答案
1 x-2 令 f(x)=x -(2) ,则 f(x0)=0, 易知f(x)为增函数,且f(1)<0,f(2)>0,
3

解析

∴x0所在的区间是(1,2).

命题点2 函数零点个数的判断 例2
2 ? x -2,x≤0, ? 2 (1)函数f(x)= ? 的零点个数是________. ? ?2x-6+ln x,x>0 答案 解析

当 x≤0 时,令 x2-2=0,解得 x=- 2(正根舍去),
所以在(-∞,0]上有一个零点;
1 当 x>0 时,f′(x)=2+x>0 恒成立,

所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
又因为f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,

所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点.综上,函数f(x)的零点个数为2.

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=

x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是 答案
A.多于4 B.4

解析

C.3

D.2

思维升华
(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.
(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合

函数的性质;③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.

跟踪训练1

的区间是 答案 A.(0,1) C.(2,4)

(1)已知函数f(x)= 6-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点 x
解析

B.(1,2) D.(4,+∞)

因为f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,

3 1 f(4)=2-log24=-2<0,
所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).

(2)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为 答案 A.4 C.6 B.5 D.7

解析

由f(x)=xcos x2=0,得x=0或cos x2=0.
又x∈[0,4],所以x2∈[0,16]. π 由于 cos(2+kπ)=0(k∈Z), π π 3π 5π 7π 9π 而在2+kπ(k∈Z)的所有取值中,只有2, 2 , 2 , 2 , 2 满足

在[0,16]内,
故零点个数为1+5=6.

题型二 函数零点的应用 例3 (1)函数f(x)=2x- 2-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取 x 值范围是 答案 解析 A.(1,3) B.(1,2)

C.(0,3)
x

D.(0,2)

2 因为函数 f(x)=2 -x-a 在区间(1,2)上单调递增, 2 x 又函数 f(x)=2 -x-a 的一个零点在区间(1,2)内,
则有f(1)· f(2)<0, 所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.

(2) 已知函数 f(x) =|x2 +3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|= 0 恰有4个互 (0,1)∪(9,+∞) 答案 异的实数根,则实数a的取值范围是________________.
解析

引申探究

9 (0,4) 本例(2)中,若f(x)=a恰有四个互异的实数根,则a的取值范围是______.
答案 解析

作出y1=|x2+3x|,y2=a的图象如下:

3 9 当 x=- 时,y1= ;当 x=0 或 x=-3 时,y1=0, 2 4
9 由图象易知,当 y1=|x +3x|和 y2=a 的图象有四个交点时,0<a< . 4
2

思维升华
已知函数零点情况求参数的步骤及方法 (1)步骤:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所 满足的不等式(组);③解不等式(组),即得参数的取值范围. (2)方法:常利用数形结合法.

跟踪训练2

(1)(2016· 舟山模拟)已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)
解析

(-2,0) 上有零点,则a的取值范围为________. 答案 ∵-a=x2+x在(0,1)上有解, 12 1 2 又 y=x +x=(x+2) -4, ∴函数y=x2+x,x∈(0,1)的值域为(0,2),

∴0<-a<2,∴-2<a<0.

(2)(2016· 浙江高考冲刺)已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数, 当 0≤x≤2 时, f(x)= x2 - 2x+ 1 ,若在区间 [- 2,2]内,函数g(x) = f(x) - kx-2k有三个零点,则实数k的取值范围是 答案 1 1 A.(0, ) B.(0, ) 4 2
解析

1 1 C.( , ) 4 2

1 D.( ,+∞) 4

题型三 二次函数的零点问题 例4 已知f(x) = x2 + (a2 - 1)x+ (a - 2) 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实数a的取值范围. 解答

思维升华
解决与二次函数有关的零点问题 (1)利用一元二次方程的求根公式. (2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.

跟踪训练3

(2016· 瑞安一模)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两 ?1 1? ? ? , ? 2? 个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是__________. ?4 ?
答案 解析

? ?m≠2, ? f?0?<0, 依题意,结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足?f?-1?· ? ? f?2?<0, ?f?1?·
? ?m≠2, ? 1 1 即?[m-2-m+?2m+1?]?2m+1?<0, 解得 <m< . ? 4 2 ? ?[m-2+m+?2m+1?][4?m-2?+2m+?2m+1?]<0,

思想与方法系列4

利用转化思想求解函数零点问题

典例

(1)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a 的

(1,+∞) 取值范围是________.

(2) 若关于 x 的方程 22x + 2xa + a + 1 = 0 有实根,则实数 a 的取值范围为

( -∞,2-2 2] _______________.
思想方法指导 答案 解析

(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求 解参数范围. (2)“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域解决.

课时训练

1.(2016· 温州模拟)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为 A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) √ D.(3,4)
答案 解析

∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0, ∴f(1)· f(2)<0, ∵函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的, ∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x ? 2 ? -1,x≤1, 2.(2016· 绍兴模拟)已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为 ? ?1+log2x,x>1,

1 A.2 1 C.0 或2

B.-2 D.0 √

答案

解析

当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0; 1 当x>1时,由f(x)=1+log2x=0, 解得 x= , 2 又因为x>1,所以此时方程无解. 综上,函数f(x)的零点只有0,故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a, b,c,则 答案 A.a<b<c C.b<a<c
解析

B.a<c<b √ D.c<a<b

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

4.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 A.1 (数形结合法) B.2 √ C.3

答案

解析

D.4

∵a>0,∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图,

∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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?1,x≤0, ? 5.已知函数f(x)= ?1 则使方程 x + f(x) = m 有解的实数 m 的取值范 ? ,x>0, ?x

围是 答案

解析

A.(1,2)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)

D.(-∞,1]∪[2,+∞) √

B.(-∞,-2]

当x≤0时,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1; 1 当 x>0 时,x+f(x)=m,即 x+x=m,解得 m≥2. 故实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=[x]-a(x≠0) x ?3 ? 4? 4 3 ? ? , ?∪[ , ) 5? 3 2 答案 解析 ?4 有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是_____________.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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7.若函数f(x) =x2 + ax+b 的两个零点是- 2 和3 ,则不等式 af( -2x)>0 的 3 { x | - < x <1} 答案 解析 解集是_____________. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

3 ? x ? ,x≤a, 8.已知函数f(x)=? 2 若存在实数 b ,使函数 g(x) = f(x) - b 有两个 ? ?x ,x>a.

(-∞,0)∪(1,+∞) 答案 零点,则a的取值范围是___________________.
令φ(x)=x3(x≤a),h(x)=x2(x>a),

解析

函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个 交点, 结合图象 ( 图略 ) 可得 a<0 或 φ(a)>h(a) ,即 a<0 或 a3>a2 ,解得 a<0 或 a>1 ,

故a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 ? x ? +?4a-3?x+3a,x<0, 9.(2016· 天津)已知函数 f(x)=? ? ?loga?x+1?+1,x≥0

(a>0,且 a≠1)

x 在 R 上单调递减, 且关于 x 的方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解, 3 ?1 ? 2 ? ? ? , ? 答案 解析 3? 则 a 的取值范围是____________. ?3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

*10.(2016· 萧山中学期中)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数

1 1 1 g(x)=logax+x-4的零点为n,则 m+n 的最小值为____.

答案

解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

11.设函数

? 1? ? ? f(x)=?1-x?(x>0). ? ?

(1)作出函数f(x)的图象; 解答
函数f(x)的图象如图所示.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

1 1 (2)当 0<a<b 且 f(a)=f(b)时,求a+b的值; 解答
? ?1-1,x∈?0,1], ? ?x 1? ? ? ∵f(x)=?1-x ?=? 1 ? ? ? 1-x ,x∈?1,+∞?, ? ?

故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数.
1 1 1 1 由 0<a<b 且 f(a)=f(b),得 0<a<1<b 且 -1=1- ,∴ + =2. a b a b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围. 解答 由函数f(x)的图象可知,当0<m<1时,方程f(x)=m有两个不相等的正根.

1

2

3

4

5

6

7

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9

10 11 12 13

12.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m 的取值范围. 解答 显然x=0不是方程x2+(m-1)x+1=0的解, 1 0<x≤2 时,方程可变形为 1-m=x+x, 1 又∵y=x+ 在(0,1]上单调递减,在[1,2] 上单调递增, x 1 ∴y=x+x在(0,2]上的取值范围是[2,+∞),

∴1-m≥2,∴m≤-1,
故m的取值范围是(-∞,-1].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

*13.已知二次函数f(x)的最小值为-4,关于x的不等式f(x)≤0的解集为 {x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数f(x)的解析式; 解答

∵f(x) 是二次函数且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为 {x| -1≤x≤3 ,x∈R} ,
∴设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a且a>0.

又∵a>0,f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,
且f(1)=-4a,

∴f(x)min=-4a=-4,a=1.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

f?x? (2)求函数 g(x)= -4ln x 的零点个数. x

解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13


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