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15解析几何综合练习题 1


解析几何综合练习题(1)
一、选择题 1. 直线 a 1 x ? b1 y ? c1 ? 0 与 a 2 x ? b 2 y ? c 2 ? 0 重合的充要条件是( A. a1 ? a 2 , b1 ? b 2 , c1 ? c 2
a1 a2 ? b1 b2 ? c1 c2



B.

C. a

1 ? m a 2 , b1 ? m b 2 , c1 ? m c 2

D. 两条直线的斜率、截距分别相等 )

2. 直线 A x ? B y ? C ? 0 通过一、二、三象限的充要条件是( A. A B ? 0 且 A C ? 0 C. A B ? 0 且 A C ? 0

B. A B ? 0 且 A C ? 0 D. A B ? 0 且 A C ? 0 )

3. 四条直线 4 x ? y ? 0, x ? 2, 3 x ? y ? 7 ? 0, y ? 1 的交点个数为( A. 6
2 2

B. 5
2 2

C. 4

D. 3 )条

4. 两圆 x ? y ? 8 x ? 4 y ? 1 1 ? 0, x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 的公切线有( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 若点 ( 4 , a ) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是( A. (0, 1 0 ) 6. 曲线 y ? x A.
?
4
2

) D. [0 , 1 0 ]

B. ( ? ? , ? ? )
2

C. [ ,
3

1

31 3

]

与圆 x ? y ? 4 所围成区域的最小面积为( B.
3? 4

) D. 4 ) D. y ? x ? 1 7
2 2

C. ?

7. 过点 P ( 2 2 , ? 3) 且以坐标轴为对称轴的等轴双曲线的方程为( A. x ? y ? 1
2 2

B. y ? x ? 1
2 2

C. x ? y ? 1 7
2 2

8. 曲线 xy ? 1 ? x ? y A. 4 9. 已知曲线 C 1 : y ? B. 1

所围成图形的面积等于( C. 2
2

) D. ?
2

4? x

,

C 2 : lo g 4 x ? lo g 4 y ? 0 , C 3 : xy ? 2 ,这三条曲线中,

与直线 y ? x 恰有两个公共点的是( A. C 1 B. C 2

) C. C 3 D. C 2 和 C 3

1

2 2 10. 直线 x ? y ? 1 与 圆 x ? y ? 4 交于 A、B 两点,则 A B ? (



A. 2 7

B.

14

C. 7 2

D.

14 2

二、填空题 1. 过点 A(4,8)且与点 B(1,2)距离为 3 的直线方程为 2. 点 A、B 在抛物线 y ? AB 的方程为 3. 抛物线过直线 x ? y ? 0 与圆 x ? y ? 4 y ? 0 的交点,且关于 y 轴对称,则此抛
2 2

1 3

x 上,且其横坐标是方程 x ? p x ? q ? 0 的两根,则直线
2
2

物线的方程为 4. 双曲线 b x ? a y ? a b
2 2 2 2 2 2

( b ? a ? 0 ) 的两条渐进线的夹角为 2 ? , 则其离心率等

于 三、解答题 1. 已知定点 A(0,6) 、B(0,3) ,点 C 为 x 轴正半轴上的点,当∠ACB 最大时,求 点 C 的坐标。

2. 若抛物线 y ? x ? m 与椭圆 x ? 2 y ? 2 有四个不同的交点,求 m 的取值范围。
2
2 2

2

【解析几何综合练习题(1)答案】 一、选择题 1. C C C C C D C B A C B 2. C [<1>由 y ? x ? 1 图象及方程即可 3. C [画图即知] 4. C [两圆外切] [将点 P

[A、B、D 充分不必要,只有 C 充要]
A B x? C B

看出;<2>化为 y ? ? 5. D 6. C
2

后讨论系数]

[画图即知,所围成的最小区域为已知圆的四分之一]
2

7. B

坐标代入 x ? y ? k 得 k ? ? 1 ] 知 ] 9. C [ C 1 表示半圆;
2

8. A [ 原方程即 ( x ? 1) ( y ? 1) ? 0 ,画图即

C 2 为抛物线 y ? x

( x ? 0 ) C 3 为双曲线。由图可以 ;

看出,只有 C 3 与直线 y ? x 有两个交点。] 10. B [ <1> 联立得 2 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,
2

∴ AB ?

2 ( x1 ? x 2 )

2

?

2 ? [1 ? 4 ? ( ?

3 2

)] ?

1 4 ;<2> 计算可知,圆心到直线距离为

1 2

,由勾股定理得,

1 2

AB ?

14 2

? AB ?

1 4 .]

二、填空题 1.
2 x ? 4 y ? 20 ? 0 和 x ? 4
2 2

2.

px ? 3 y ? q ? 0

[设 A ( t ,

t

), B ( s ,

s

) ,代

3

3

入两点式方程,并注意到 t ? s ? ? p , ts ? q 即得] 3.
x ? ?2 y
2

[ 直线与圆交点为(0,0)和(2,-2)] [ 从右上图可以看出: s in ? ?
a a ?b
2 2

4.

1 s in ?

?

a c

? e ?

c a

?

1 s in ?

]

三、解答题 1. [解法 1] 设 C ( x , 0 ) ,则 k A C ? ?
6 x , k BC ? ? 3 x



3

∴ ta n ? A C B ?

k BC ? k AC 1 ? k BC k AC

?

3x x ? 18
2

?

3 x? 18 x

?

3 2 18

?

2 4

(当且仅当 x ? 3 2 等号成立)

故:当∠ACB 最大时,点 C 的坐标为 C (3 2 , 0 ) .

[解法 2] 过点 A 、 B 作圆,与 x 轴切于点 C , 则 x 轴上其它点均在圆外。 显然,∠ACB 为圆周角,设 x 轴正向上其它任一点 为 C1,则∠AC1B 为圆外角,由平面几何知∠ACB 最大, 故点 C 即为所求。 由 OC2=OA?OB=3×6=18 即得:OC= 3 2 ∴当∠ACB 最大时,点 C 的坐标为 C (3 2 , 0 ) .

2. 由 ?

?y ? x ? m ?
2

?x ? 2y ? 2 ?
2 2
2 2

? 2 y ? y ? (2 ? m ) ? 0
2

( ? 1 ? y ? 1) ,要使抛物线 y ? x ? m
2

与椭圆 x ? 2 y ? 2 有四个不同的交点,只需 方程 2 y ? y ? ( 2 ? m ) ? 0 在区间 [-1, 1]
2

上有两个不同的根。 令 f ( y ) ? 2 y ? y ? (2 ? m )
2

?? ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? 由 ? f ( ? 1) ? 0 ? ? 1 ??1 ? ? ? 1 ? ? 4

17 ? m ? ? ? 8 ? 17 ? ? ? m ? ?1 ?m ? 1 8 ?m ? ?1 ? ?

4

5


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