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2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题


2009 全国高中数学联赛 新疆维吾尔自治区预赛试题 (考试分值:150 考试时间:120 分钟,考试时间:2009 年 5 月 24 日) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1、下列方程中与 sinx+cosx=0 解集相同的是( ) A.sin2x=1-cos2x B.sinx=- 1 ? sin2 x C.cos2x=0 D. 2、已知θ 是第三象限的角

,且 sin

? cos , 则 的取值范围是( ) 4 4 4 ? 3? 3? 7? (2k? + , 2k? + )( ? 2k? + , 2k? + ),k ? Z A. 4 8 4 8 5? 11? 7? 15? (2k? + , 2k? + )( ? 2k? + , 2k? + ),k ? Z B. 4 8 4 8 ? 3? 3? 7? (k? + ,k? + )( ? k? + ,k? + ),k ? Z C. 4 8 4 8 5? 11? 7? 15? (4k? + ,4k? + )( ? 4k? + ,4k? + ),k ? Z D. 4 8 4 8
2n 3、数 ( 3+ 8) (n ? N * ) 且 n≥2009,设[x]为 x 的整数部分,则[(3+ 8) ]除以 8 的余数是(
2n

?

?

?

cos 2 x ?0 cos x ? sin x



A.1

B.3

C.4

D.7

4、 已知 ( f x) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当 0 ? x ? 1 时, ( f x) =x2, 若直线 y= x+a 与 y=f(x) 的图像恰好有两个公共点,则 a=( A. B.k,∈Z C. +k或k- )

1 2

1 2

1 ,k ? Z 16

D.

1 1 +2k或2k- ,k ? Z 2 16
且 P 到平面

5、如图,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,P-A1B1C1D1 是正四棱锥, ABC 的距离为

3 AB ,则异面直线 A1P 与 BC1 的距离是( ) 2

P
D1 C1

A.

3 3

B.

6 3

C.

6 6

D.

3 6

A1 D

B1 C

6 、 已 知 f ( x ) 的 定 义 在 实 数 上 的 函 数 , f(3)=- 3 , 且
A

f( x+ 2 ) [1 -( f x)]=1+f(x) ,则 f(2009)=(
A. 2 ? 3 B. 2 ? 3 C. 3 D. ? 3



B

二、填空题(每题 9 分,共 54 分)
7、已知 C 与 F 是线段 AB 上的两点,AB=12,AC=6,D 是以 A 为圆心,AC 为半径的圆上的任意点, , 线段 FD 的中垂线与直线 AD 交于点 P。若 P 点的轨迹是双曲线,则此双曲线的离心率的取值范围是

8、在△ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 △ABC 的形状是 9、设函数 f(x)=

C sin B , 都是方程 log A sin A

b

x ? logb (4x ? 4) 的根,则

x2 ? n (n ? N * ) 的最大值为 an,最小值为 bn,则 an-bn=________ 2 x ? x ?1

10、不等式 ( x ?1)2009 ? 22009 x2009 ? 6x ? 6 ? 0 的解集是 11、有 6 本不同的书,其中一本数学书,两本英语书,三本音乐书,将他们排成一排,若英语书不相邻, 音乐书也不相邻的不同排法数为 12、曲线 x2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? 1的点到坐标原点的距离的最小值为

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分)
2 2 13、已知 P 是圆 (x-2) +(y-2) = 1上一动点,向量 OP 依逆时针方向旋转 90°得到向量 OS ,又点 P

??? ?

??? ?

关于 A(3,0)的对称点为 T,求 |TS | 的取值范围。

???

14、已知△ABC 的内切圆半径为 2,且 tanA= ?

4 ,求△ABC 面积的最小值. 3
A D O

B

C

15、从直线 l:

x y x2 y 2 ? ? 1 上任意一点 p 向椭圆 C: ? ? 1 引切线 PA,PB,切点分别为 A、B,试求 12 8 24 16

线段 AB 中点 M 的轨迹方程。

P

B
l

M

A

O

参考答案: 1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、A 7、 (1, 2] 8、A=30°,B=60°的直角三角形

9、解:由 y=
2

x2 ? n 2 2 2 ,得 y·x +y·x+y=x +n, 即:(y-1)x + y·x+y-n=0. 2 x ? x ?1
2 2

y≠1 时, y -4(y-1)(y-n)≥0, 即: 3y -4(n+1)y+4n≤0. 可知 an,bn 是方程 3y -4(n+1)y+4n=0 的两根. 以:an+bn=



4(n ? 1) 4n 16(n ? 1) 2 16n 16 2 ? , anbn= ,故(an-bn)2=(an+bn)2-4anbn= = ( n ? n ? 1) 3 3 9 9 3 4 2 n ? n ?1 3

因为 an>bn,所以 an-bn=

10、解:整理,不等式化成 ( x ?1)2009 ? 6( x ?1) ? (2x)2009 ? 6 ? (2 x) 设 f ( x) ? x
2009

? 6x ,且不等式化为 f ( x ? 1) ? f (2 x)

∵ f ( x ) 是 R 上的增函数,故 x ? 1 ? 2 x ,得 x ? ?1

故不等式的解集为{x|x>-1,x∈R}

11、120 种

12、

5 ?1 2

13、设点 P(x,y),则点 S(-y,x) ,点 T(6-x,-y) ,又圆心为 C(2,2) ,半径 r=1 ∴ | TS |?

???

(6 ? x ? y ) 2 ? (? y ? x) 2 ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 | PB | ,其中 B(3,-3)

∴ | TS |max ? 2(| CB | ?1) ? 2( 26 ?1),| TS |min ? 2(| CB | ?1) ? 2( 26 ?1) ∴ 2( 26 ?1) ?| TS |? 2( 26 ?1), 14 、解:设 AB=c, BC=a, AC=b ,D 为切点,可知: 2AD+2a=a+b+c 得:AD= 得:tan∠DAO=2, 所以:DO=b+c-a=2,sinA= S△ABC=
A D O

???

???

???

1 4 (b+c-a),由 tanA= ? ,可 2 3 4 . 5

B

C

1 1 bcsinA= (a+b+c)·2 2 2 2 即: bc=2(b+c)-2,所有 bc=5(b+c)-5≥10 bc -5 5
设 bc =t,则知:t -10t+5≥0,所以 t≥5+2 5 或 t≤5-2 5 (舍)
2

故 bc≥45+20 5 ,所以 S△ABC=

2 bc≥18+8 5 ,b=c=5+2 5 时取等号。 5

故△ABC 面积的最小值为 18+8 5 .

15、点 M 是以(1,1)为中心长短半轴分别为

10 15 ,且长轴与 x 轴平行的椭圆(不包括原点) , 2 3


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