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第一章 1.3.2 球的体积和表面积


1.3.2
自学导引 1.球的表面积

球的体积和表面积 自主学案

设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR2 ,即球 的表面积等于它的大圆面积的 4 倍. 2.球的体积

4 3 设球的半径为 R,则球的体积 V= 3πR .

对点讲练
知识点一 球的体积和表面积的计算

32π 例 1 (1)球的体积是 ,则此球的表面积是( B ) 3 A.12π B.16π 16π 64π C. D. 3 3 4 3 32π 解析 设球的半径为 R, 则由已知得 V= πR = , R 3 3 =2. ∴球的表面积 S=4πR2=16π.

(2)一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这 个平面的距离为 4 cm,则球的体积为 100π 3 208π 3 A. cm B. cm 3 3 500π 3 416 13π 3 C. cm D. cm 3 3 ( C )

由球的性质知,球的半径 R= 32+42=5, 4π 3 500π ∴V 球= 3 ×5 = 3 (cm3). 点评 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时,我 解析

们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置 和半径,只要这两点确定了,那球的表面积及体积问 题就会迎刃而解.

变式训练 1 球的截面把垂直于截面的直径分成 1∶3 的两段,若截面圆半径为 3,则球的体积为( C ) 16π A.16π B. 3 32π C. D.4 3π 3 解析 设直径被分成的两段为 x,3x;
则球心 O 到截面的距离为 x,球半径为 2x, 由勾股定理得:x2+( 3)2=(2x)2,x=1, 4 3 32 球半径为 2,所以 V=3π·2 = 3 π.

例2.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二; (2)球的表面积与圆柱的侧面积 相等.
O

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 4 V球 ? ? R 3 3 2 3 V圆 柱 ? ? R ? 2R ? 2? R R O

2 ? V球 ? V圆柱 3 (2) S 球 ? 4?R 2
S圆柱侧 ? 2?R ? 2 R ? 4?R 2

? S 球 ? S圆柱侧

知识点二

有关几何体的外接球与内切球问题

例 2 在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的

例 3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 体积与正方体的体积之比. 长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上,求 球的体积。
分析:正方体内接于 球,则由球和正方体 都是中心对称图形 可知,它们中心重合, 则正方体对角线与 球的直径相等.

D A D1 A1 B1 O B

C A C1 A1

D B D1 B1 O

C

C1

(2013年高考天津卷(文))已知一个正方体的所有顶点在
一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为 ______.

知识点二
练习 例

有关几何体的外接球与内切球问题

2

在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的

体积与正方体的体积之比.
分析 ①正方体内接于半球,即正方体的四个顶点在

半球的球面上,另外四个顶点在半球的底面上; ②利用球的轴截面求出球的半径是解题的关键. 解答本题时能正确地做出图形很重要.

解 方法一 作正方体对角面的截面, 如图所示,设半球的半径为 R,正方 体的棱长为 a,那么 CC′= a, OC= 2a .在 Rt△ C′ CO 中,由勾股定理,得 CC′2+ OC2 2 2a 2 6 2 2 2 = OC′ ,即 a +( ) =R ,所以 R= a. 2 2 2 2 6 6 从而 V 半球= πR3= π( a)3= πa3, V 正方体= a3. 3 3 2 2 6 3 3 因此 V 半球∶ V 正方体= πa ∶a = 6π∶ 2. 2

方法二

将半球补成整个的球,同时把原半球的内接

正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好 是这个球的内接长方体,那么这个长方体的对角线便 是它的外接球的直径.设原正方体棱长为 a,球的半 径为 R,则根据长方体的对角线性质,得 (2R)2= a2+ 6 2 2 2 2 a + (2a) ,即 4R = 6a ,所以 R= a. 2 2 3 2 6 3 6 3 从而 V 半球= πR = π( a) = πa , V 正方体= a3. 3 3 2 2 6 3 3 因此 V 半球∶ V 正方体= πa ∶a = 6π∶ 2. 2

点评 解决与球有关的组合问题,可通过画过球心的 截面来分析,并注意组合体中半径与相关几何体的关 系: ①长方体的 8 个顶点在同一个球面上,则长方体的体 对角线是球的直径; 球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体 的棱长; 球与正方体的 12 条棱均相切, 则球的直径是正方体的 面对角线. ②球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆 柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. ③球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆 台的高.

变式训练 2 有三个球,第一个球内切于正方体六个 面,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球 过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之 比.
解 设正方体的棱长 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个 面的中心,经过四个切点及球心作截面,如图(1), a 2 所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4πr2 1=πa . 2 (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点,过球心作 正方体的对角面得截面,如图(2), 2 2 2r2= 2a,r2= 2 a,所以 S2=4πr2 2=2πa .

(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对 3 角面得截面,如图(3),所以有 2r3= 3a,r3= a, 2
2 所以 S3=4πr2 = 3π a . 3

由上知 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

(2013年高考辽宁卷(文))已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的6个顶点都在球 O 的球面上,若 AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为 (C )
A.3 17
2

B. 2

10

C.

13 2

D.

3 10

例1、(2013年高考江西卷(文))一几何体的三视图如右所示, 则该几何体的体积为( )

A.200+9π

B.200+18π

C.140+9π

D.140+18π

(2013年高考陕西卷(文))某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

3?

(2013年高考重庆卷(文))某几何体的三视图 如题(8)所示,则该几何体的表面积为( )

A.

180

B. 200

C. 220

D.

240

知识点三 例3

综合应用

有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三

角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水, 使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器 中水的深度. 解 由题意知,圆锥的轴截面为正三
角形,如图所示为圆锥的轴截面. 根据切线性质知,当球在容器内时, 水深为 3r,水面的半径为 3r,则容 1 4 3 2 器内水的体积为 V=V 圆锥-V 球=3π·( 3r) · 3r-3πr = 5 3 πr ,而将球取出后,设容器内水的深度为 h,则水面 3

3 1 圆的半径为 h,从而容器内水的体积是 V′= π· 3 3 3 2 1 3 ( h) · h= πh , 3 9 由 V= V′,得 h= 15r.
3

点评

在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要

通过作一适当的截面,将立体几何问题转化为平面问 题解决,而这类截面往往指的是圆锥的轴截面,球的 大圆等.

变式训练 3 一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球,在圆锥内又有一个内切球. 求:(1)圆锥的侧面积; (2)圆锥的内切球的体积. 解 (1)如图,作轴截面,则等腰三角形 CAB 内接于
⊙O,而⊙O1 内切于△ABC. 设⊙O 的半径为 R,由题意得 4 3 πR =972π. 3 ∴R3=729,∴R=9,∴CE=18. 已知 CD=16,∴ED=2. 连接 AE,∵CE 是直径,CA⊥AE, CA2=CD· CE=16×18=288,

∴CA=12 ∴AD=4 2.

2.

∵AB⊥CD,∴AD2=CD· DE=16×2=32, ∴S 圆锥侧=π·4 2· 12 2=96π. (2)设内切球 O1 的半径为 r, ∵△ABC 的周长为 2×(12 2+4 2)=32 2, 1 1 ∴ r· 32 2= ×8 2×16,∴r=4. 2 2 4 3 256 ∴内切球 O1 的体积 V 球= πr = π. 3 3

课堂小结 1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半 径可构成直角三角形,进行相关计算. 2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将 球与几何体的各量体现在平面图形中, 再进行相关 计算.

课时作业
一、选择题 1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是 A.144π,144π C.36π,144π B.144π,36π D.36π,36π ( D )

2.如果两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的 表面积之比为 A.8∶27 C.4∶9 B.2∶3 D.2∶9 ( C )

4π 3 r 3 8 解析 设这两个球的半径分别是 r,R,则 = , 4π 3 27 R 3 r 2 4πr2 r 2 4 所以 = ,则这两个球的表面积之比为 =( ) = . R 3 4πR2 R 9

3.三个球的半径之比为 1∶2∶ 3,那么最大球的表面 积是其余两个球的表面积之和的 9 A. 1 倍 B.2 倍 C. 倍 5 ( C ) 7 D. 倍 4

解析

设最小球的半径为 r, 则另两个球的半径分别为

2r、3r,所以各球的表面积分别为 4πr2、16πr2、36πr2. 36πr2 9 所以 2 2= . 4πr +16πr 5

4.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得 该几何体的表面积是 ( D )

A.9π
解析

B.10π

C.11π

D.12π

几何体为一个球与一个圆柱的组合体,

S=4π·12+π·12· 2+2π·1·3=12π.

5.四面体 ABCD 中,公共顶点 A 的三条棱两两相互 垂直,且其长分别为 1, 6,3,若它的四个顶点 在同一球面上,则此球的表面积为 A.3π
解析

( D ) D.16π

B.4π

C.3 3π

此外接球的直径即为以 1, 6,3 为长、宽、高

的长方体的体对角线,即 2R= 1+6+9=4. ∴R=2,S 球=4πR2=16π.

二、填空题 6.若一个球的体积为 4 3π,则它的表面积为 ________ 12π .
4 3 解析 设球的半径为 R,则3πR =4 3π,∴R= 3. ∴S 球=4πR2=12π.

7.一个底面直径是 32 cm 的圆柱形水桶装入一些水, 将一个球放入桶内完全淹没,水面上升了 9 cm,
2 则这个球的表面积是________cm . 576π

解析 球的体积等于以 16 cm 为底面半径,高为 9 cm 4 3 的圆柱的体积,设球的半径为 R,所以 πR =π·162· 9, 3 解得 R=12,所以 S 球=4πR2=576π(cm2).

8.有一棱长为 a 的正方体框架,其内放置一气球,使 其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状),则气 球表面积的最大值为________ 2πa2 .
解析 气球表面积最大时,气球的直径等于正方体侧 2 面的对角线长 2a,则此时气球的半径 r= 2 a,则表 2 2 2 面积为 4πr =4π×( 2 a) =2πa2.

三、解答题 9.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3, 5, 15,试求它的外接球的表面积.
解 如图为过长方体的一条体对角线的截面.

设长方体有公共顶点的三条侧棱的长分别为 x,y,z, 则由已知有:
? xy ? 3 ?x ? 3 ? ? ? ? yz ? 5 , 解得? y ? 1 . ? ? zx ? 15 ? ?z ? 5 ? 1 1 2 3 2 2 AB ? x ? y ? z ? . 所以球的半径 R = 2 2 2

所以外接球的表面积 S 球=4πR 2=9π.

10.如图所示,一个圆锥形的空杯子 上放着一个直径为 8 cm 的半球形 的冰淇淋,请你设计一种这样的圆 锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰 淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计), 使冰淇淋融化后不会溢出杯子, 怎样设计最省材料? 解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须 1 4 3 1 4 V 圆锥≥V 半球, V 半球=2×3πr =2×3π×43, 1 1 2 1 V 圆锥= 3Sh=3πr h=3π×42×h. 1 1 4 2 依题意:3π×4 ×h≥2×3π×43,解得 h≥8.

即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm, 高大于或等于 8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr h2+r2, 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小,所以高为 8 cm 时,制造的杯子最省材料.


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