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苏教版高中数学选修2-2《2.1.3 推理案例赏析》教案


教学目标: 1.了解合情推理和演绎推理的含义. 2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理. 3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别. 教学重点: 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别. 教学难点: 了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的. 教学过程: 一、知识回顾 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理. 合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系

和差异? 合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的? 三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成,但是 在推理的结构形式上表现出不同的特点,据此可以分为合情推理与演绎推理. 二、数学运用 例1 分析 提出问题: 我们知道,前 n 个正整数的和为
1 S1 (n)= 1+2+3+ +n= n(n+1) 2

正整数平方和公式的推导.



那么,前 n 个正整数的和
S2 (n)= 12+22+32+ +n2=?



数学活动 思路 1(归纳的方案) 如表 2-1-5 所示,列举出 S2 (n) 的前几项,希望从中归纳出一般的结论.

表 2-1-5

n
S2 (n)

1 1

2 5

3 14

4 30

5 55

6 91

? ?

但是,从表 2-1-5 的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一 个念头: 进一步列举出 S1 (n) 的 S1 (n) 与 S2 (n) 会不会有某种联系?如表 2-1-6 所示, 值,比较 S1 (n) 与 S2 (n) ,希望能有所发现.

尝试计算,终于在计算 S1 (n) 和 S2 (n) 的比时,发现“规律”了(表 2-1-7) . 表 2-1-7

n
S1 (n)
S2 (n)
S 2 ( n) S1 (n)

1 1 1
3 3

2 3 5
5 3

3 6 14
7 3

4 10 30
9 3

5 15 55
11 3

6 21 91
13 3

? ? ? ?

从表 2-1-7 中发现
S2 (n) 2n+1 , = S1 (n) 3

于是,猜想
S 2 (n)= n(n+1)(2n+1) . 6

公式③的正确性还需要证明. 思考 上面的数学活动是由哪些环节构成的?

在这个过程中提出了哪些猜想? 提出猜想时使用了哪些推理方法? 合情推理和演绎推理分别发挥什么作用? 思路 2(演绎的方案) 尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和. (1)把正整数的平方表示出来,有 12=1, 22= (1 + 1)2= 12+2× 1+ 1, 32= (2+ 1)2=22+2× 2+ 1, 42= (3+ 1)2=32+2× 3+ 1, ? n2= (n- 1)2+2(n- 1)+ 1, 左右两边分别相加,得
S2 (n)= [S2 (n)-n2 ]+ [2S1 (n)-2n]+n ,

等号两边的 S2 (n) 被消去了,所以无法从中求出 S2 (n) 的值,尝试失败了! (2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试. 前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出 S2 (n) ,但是却求出了
n 2+2n-n n(n+1) = S1 (n) 的表达式,即 S1 (n)= . 2 2

它启示我们:既然能用上面的方法求出 S1 (n) ,那么我们也应该可以用类似的 方法求出 S2 (n) . (3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下: 13=1, 23= (1 + 1)3= 13+3× 12+3× 1 + 1, 33= (2+ 1)3=23+3× 22+3× 2+ 1, 43= (3+ 1)3=33+3× 32+3× 3+ 1,

? 43= (n- 1)3+3(n- 1)2+3(n- 1)+ 1. 左右两边分别相加,得
S3 (n)= [S3 (n)-n3]+3[S2 (n)-n2 ]+3[S1 (n)-n]+n .

由此可知 S2 (n)=

n3+3n 2+2n-3S (n) 3

= =

2n3+3n2+n 6
n(n+1)(2n+1) , 6

终于导出了公式. 思考 上面的数学活动是由哪些环节构成的?

在这个过程中提出了哪些猜想? 提出猜想时使用了哪些推理方法? 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用? 例2 棱台体积公式的推导.

提出问题 能通过类比推测出棱台的体积公式吗? 数学活动 思路:试图以四棱台为例,通过和梯形的类比推测公式. (1)确定类比对象. 对梯形和四棱台作比较,如表 2-1-8 所示. 表 2-1-8 梯 形 四 棱 台

上、下底平行 另外两边不平行 两腰延长后交于一点 中位线平行于上、下底

上、下底面平行 另外 4 个面不平行 4 个侧面伸展后交于一点 中截面平行于上、下底面

据此,使我们产生了把梯形选为类比对象的念头.

(2)对类比对象的进一步分析. 梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而 棱台侧可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的,据此,应该 有如下的对应关系: 直 线 平 面, 棱 棱 锥, 台.

三解形 梯 进而有 梯形底边长 三角形面积 梯 形 面 积 (3)通过类比推理,建立猜想. 形

棱台底面积, 棱 锥 体 积, 棱 台 体 积.

求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形 的面积公式是类似的.于是由梯形的面积公式
1 S梯形= h(a+b) 2



其中 a , b 分别表示梯形上、下底的长度, h 表示高,猜想棱台的体积公式可能 具有如下的形式
1 V棱台= h( S上+S下 ) 2



其中 S上,S下 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高. (4)验证猜想. ⑤式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通 过具体的例子加以检验.把棱锥看成棱台的特例.此时,公式⑤中的 S上=0 ,因此
1 1 有 V= hS下 ,这与实际结果 hS下 不符,这表明,猜想⑤是错误的,需要修正.于 2 3

是设想公式具有
1 V棱台= h( S上+S0+S下 ) 3



的形式,其中 S0 应该是表示面积的量.它究竟是多少还有待进一步确定. 与⑤式相比,公式⑥的分母从 2 变为 3,相应的分子从 2 项变为 3 项,这些都

恰如其分地反映了 2 维和 3 维的差异.因此,公式⑥从整体结构上就给人以一种 协调的美感.应该说,公式⑥比公式⑤更合理. 既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中 S0 的 意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当 S上=0 时, S0 =0, 因此,S0 应含有 S上 的因子. 第二, 棱台的上底和下底具有同等地位, 因此 S上 和 S下 在公式中应该具有同等地位, 据此, 我们可以猜想 S0 具有 k S上S下 的形式. 第 三,进一步确定 k 的值.仍然作用特殊化的方法,当 S上 = S下 时,棱台变为棱柱, 则
1 V棱台= h( S上+k S上 S下+S下 )=hS0 . 3

此时 S上 = S下 = S0 ,所以有 k =1,因此, S0 = S上 S下 ,⑥ 式即为
1 V棱台= h( S上+ S上 S下+S下 ) 3



思考

数学活动是由哪些环节构成的?

在这个过程中提出了哪些猜想? 提出猜想时使用了哪些推理方法? 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用? 三、学生探究 上面的案例说明: 1.数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜 想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进 程. 2.合理推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确 定了目标和 方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用. 3.演绎推理是形式化程度较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似 于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决” 和证明,从而为调控探索活动提供依据. 四、课堂总结 对这两种推理在数学活动中的作用,著名的数学教育家 G.波利亚作了精辟的

论述: “数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之 前, 先得猜测这个定理的内容; 在完成详细的证明之前, 先得到推测证明的思路. 创 造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明,但这 个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的. ” 五、课后作业 教材第 81 页习题 2.1 第 1 题,第 2 题,第 3 题,第 5 题,第 6 题,第 7 题.


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