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同角三角函数的基本关系式(2)


同角三角函数的 基本关系式(2)
学校:洪泽中

2015/9/25

教师: 傅启峰
研修班

1

知识点回顾:

1.同角三角函数的基本关系式
平方关系 商数关系

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

r />
sin ? tan ? ? cos ?
(? ?

?
2

? k? , k ? Z )

注意:
sin ? ? cos ? ? 1 ?(1) 切 sin ? tan ? ? cos ? ? ? ? k ? ? ( k ? Z ) ?恒成立; 2 仅对
2 2

? ?R

对一

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研修班

时成立。

3

2.常用变形: 在公式应用中,不仅要注意公式的
正用,还要注意公式的逆用、活用 和变用.

sin ? ? 1 ? cos ?
2 2

cos ? ? 1 ? sin ?
2 2

sin ? ? cos ? tan ?
sin ? tan ? ? 2 1 ? sin ?
2 2
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sin ? cos ? ? tan ? 2 1 ? cos ? 2 tan ? ? 2 cos ?
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解题方法 回顾 ?已知一个角的一个三角函数值
求其它三角函数值,若已知角 的象限,只有一解;若不能确 定角所在的象限,要分类讨论。 ? .根据一个角的某一个三角函数 ? 注意公式的变形使用(灵活运 值求其它三角函数值,要灵活运 用)。 用同角三角函数的基本关系式; ?.注意解题过程中分类讨论(角
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复习巩固
1 ? ? 1. 已知 sin ? cos ? ? , 且 ? ? ? , 求 cos ? ? sin ? . 8 4 2

1 2、已知 log 9 sin x ? ? , 求 tan x的值. 2 2 ? x在第一象限, ? t an x ? 4
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3 ? 2

2.已知 tan ? ? 3 ,求下列式子的值。

3 cos ? ? sin ? (1) ; 3 cos ? ? sin ? 2 (2)2sin ? ? 3sin ? cos ? .

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3.化简 :

1 ? 2sin 10 / tan10
2 ? ? 2 ?

?

sin10 ? 1 ? sin 10 sin ? ? cos ? 4.化简 tan ? ? 1

所谓化简,就是使表达式经过某种变形, 使结果尽可能的简单,能求值的一定要求值。 化简后的简单三角函数式应尽量满足 以下几点: (1)所含的三角函数种类最少;(2) 能求值的尽量求值;(3)结果的次数最低.
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例1.求证

cos ? 1 ? sin ? 。 ? 1 ? sin ? cos ?

证明一: 由cos? ? 0,知 sin ? ? ?1, 所以1? sin? ? 0,于是

cos ? (1 ? sin ? ) 左边 ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

cos ? (1 ? sin ? ) ? 2 1 ? sin ?

1 ? sin ? ? ? 右边 cos ?

cos ? (1 ? sin ? ) ? 2 cos ?

证法二:因为

cos? 1 ? sin ? cos? ? (1 ? sin ? ) ? ? 1 ? sin ? cos? (1 ? sin ? ) cos?
2

cos ? ? cos ? ? ?0 (1 ? sin ? ) cos? cos? 1 ? sin ? 所以 ? 1 ? sin ? cos?
2 2
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(1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? 1 ? sin ? ? cos ?
2 2

证法三:因为

由原题可知 1 - sin ? ? 0, cos ? ? 0, cos ? 1 ? sin ? 所以 ? 1 ? sin ? cos ?
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证明等式的常用方法: 1.从等式的一边证得它等于另一边; 2.先证明另外一个等式成立,从而推出需要 证明的等式成立; 3.利用作差(作商)的方法。

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巩固练习:
求证 :

1 ? 2sin ? cos ? cos ? ? sin ? ? 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? 2sin ? cos ?
2 2

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例2:求证: sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x
4 4 2 2

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?1? (cos? ?1)
2

2

? sin ? ? 2 ? 2cos ?
2

(2) tan ? ? sin ? ? tan ? sin ?
2 2 2

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同角三角函数的基本关系式

4 ? 2m m?3 例3. 已知 sin ? ? , cos ? ? , m?5 m?5 ? 是第四象限角, 求 tan ?的值. 4 ? 2m 2 m ? 3 2 2 2 解: ? sin ? ? cos ? ? 1? ( ) ?( ) ?1 m?5 m?5 化简, 整理得 : m(m ? 8) ? 0, 则, m ? 0或m ? 8.
4 3 当m ? 0时, sin? ? , cos ? ? ? (与?是第四象限角不合 ) 5 5

12 5 12 当m ? 8时, sin? ? ? , cos ? ? ,? tan ? ? ? . 13 13 5 2015/9/25 16 研修班

巩固练习:

要注意方程有两根的条件
2

1.已知 sin ?、 cos ?是关于x的方程4 x ? 2mx ? m ? 0的 两个根,则m的值为
2.已知方程2 x ? (
2

m ? 1? 5
3 ? 1) x ? m ? 0

的两个根分别是 sin ? 、 cos ? ( m ? R ). sin ? cos ? 则 ? 的值为 1 1 ? tan ? 1? tan ?

3 ?1 2

提示:先化简后求值.
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3、已知 sin ?、 cos ?是关于x的方程x ? ax ? a ? 0的
2

两个根(a ? R) . ( 1 )求 sin 3 ? ? cos 3 ?的值; (2)求 tan ? ? cot ?的值.

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同角三角函数的基本关系式





sin ? sin ? ? cos ? ? 1, ? tan ? , cos ?
2 2

注意点:

(1)能根据三角函数的定义导出同角 三角函数基本关系式. (2)正确运用基本关系式进行三角函 数式的求值、化简运算及证明.

(1)根据角α终边所在象限求出三角函数值. (2)如何灵活的正用、逆用、变用、活用公式.
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