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2014高考数学查缺补漏集中营 三视图及空间几何体的计算问题


2014 高考数学查缺补漏集中营:

三视图及空间几何体的计算问题

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如下图所示,则该几何体的俯视图为 ( ).

1 2.如图,某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几 2 何体的俯视图

可以是 ( ).

3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).

A.2π +2 3 B.4π +2 3 2 3 C.2π + 3

-1-

2 3 D.4π + 3 4.点 A、B、C、D 均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC,AD=2AB=6,则 该球的体积为( ). A.32 3π B.48π C.64 3π D.16 3π 5.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 SABC 的体积为( ). A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.一个三棱锥的正(主)视图和侧(左)视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥俯视图的面积为 ________.

7.已知某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的体积为________.

8.在三棱锥 ABCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为 ________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)已知一四棱锥 PABCD 的三视图 如右,求四棱锥 PABCD 的体积. 10.(12 分)半径为 R 的球有一个内接圆柱,这个圆柱的底面 半径为何值时,它的侧面积最大?最大值是多少? 11.(12 分)如图,已知正四棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a.求:

(1)它的外接球的体积;

-2-

(2)它的内切球的表面积.

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参考答案 1. C [如图,当俯视时,P 与 B,Q 与 C,R 与 D 重合,故选 C.]

1 2.C [因为体积为 ,而高为 1,所以底面为一个直角三角形.故选 C.] 2 3.C [由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底面边 长 为 2 , 侧 棱 长 为 2 的 正 四 棱 锥 叠 放 而 成 . 故 该 几 何 体 的 体 积 为 V = π ×12×2 + 2 3 ×( 2)2× 3=2π + ,故选 C.] 3 4.A [如图所示,O1 为三角形 ABC 的外心,过 O 做 OE⊥AD,∴OO1⊥面 ABC, ∴AO1= 3 AB= 3,∵OD=OA, 3 1 3

∴E 为 DA 的中点,∵AD⊥面 ABC, ∴AD∥OO1,∴EO=AO1= 3, ∴DO= DE2+OE2=2 3, ∴R=DO=2 3, 4 ∴V= π (2 3)3=32 3π .] 3 5.C [如图,由 Rt△ASC≌Rt△BSC,得 CB=CA,SA=SB. 设 AB 的中点为 M,则 SM⊥AB,CM⊥AB,故 AB⊥面 SMC. 故 VSABC=VASCM+VBSCM 1 = AB·S△SCM. 3 在 Rt△SAC 与 Rt△SMA 中, 可求 SA=2 3, 3 5 AC=2,SM= . 2 由 cos∠ASC=cos∠MSC·cos∠ASM, 3 5 2 3 2 5 得 =cos∠MSC· ,可得 cos∠MSC= , 2 5 2 3 故 sin∠MSC= 1-cos2∠MSC= 5 , 5

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1 1 1 3 5 5 ∴VSABC= AB·S△SCM= × 3× ×4× × = 3,故选 C.] 3 3 2 2 5 1 6.解析 该三棱锥俯视图为直角三角形,两直角边分别为 1,2,其面积为 ×1×2=1. 2 答案 1 1 7. 解析 由三视图可知该几何体为四棱锥, 底面为直角梯形其面积为 (2+1)×2=3, 高为 2, 2 1 所以 V= ×3×2=2. 3 答案 2 8.解析 该 三 棱 锥 在 一 个 长 方 体 内 , 设 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 a , b , c , 则有
?a2=c2=18, ? ∴? ? ?b2=7.

a=c, ? ? ?a2+b2=25, ? ?a2+c2=36,

1 1 外接球的半径为 a2+b2+c2= 43, 2 2 1 ∴S=4π × 432=43π . 2 答案 43 π 9.解 由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PC⊥底 1 2 面 ABCD,且 PC=2,所以 VPABCD= S 四边形 ABCD·PC= . 3 3 10.解 取圆柱的一个轴截面 ABCD,则⊙O 为球的一个大圆.设圆柱的半径为 r,高为 h,侧 面积为 S. 连接 OB,作 OH⊥AB 交 AB 于 H. h 在 Rt△OBH 中,有 2=R2-r2,即 h=2 R2-r2. 2 所以 S=2π rh=2π r·2 R2-r2=4π r· R2-r2, 所以 S2=16π 2r2(R2-r2)=-16π 2(r2)2+16π 2R2r2. 因为这是一个关于 r2 的二次函数, 16π 2R2 R2 所以,当 r2=- = , 2?-16π 2? 2 即 r= 2 R 时,S 有最大值, 2 2 R× 2 R2- 2 R2=2π R2. 2

最大值为 4π ·

2 R 时,它的侧面积最大,最大值是 2π R2. 2 11.解 (1)设外接球的半径为 R,球心为 O,则 OA=OC=OS,所以 O 为△SAC 的外心,即△ SAC 的外接圆半径就是球的半径. 故当这个圆柱的底面半径为 因为 AB=BC=a,所以 AC= 2a. 所以△SAC 为正三角形.

-5-

由正弦定理得,2R= 因此 R=

AC 2a 2 6 = = a, sin∠ASC sin 60° 3

6 4 8 6 a,则 V 外接球= π R3= π a3. 3 3 27

(2)设内切球的半径为 r. 作 SE⊥底面于 E,作 SF⊥BC 于 F,连接 EF. 则有 SF= SB2-BF2= a 7 ? 2a?2- 2= a, 2 2

1 1 7 7 所以 S△SBC= BC·SF= a× a= a2, 2 2 2 4 所以 S 棱锥全=4S△SBC+S 底=( 7+1)a2. 又 SE= SF2-EF2= 7 a 6 a2- 2= a, 2 2 2

1 1 6 6 所以 V 棱锥= S 底×h= a2× a= a3. 3 3 2 6 3V 42- 6 所以 r= = = a, S ? 7+1?a2 12 4- 7 所以 S 球=4π r2= π a2. 3 3× 6 a3 6

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