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第一章


第一章

集合与函数概念单元测试题

一、选择题 5分 ?10 ? 50分

?

?

y-3 ? 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ? = 1? , ?( x, y ) | x-2 ? ?
P={(x,y)| y≠x+1},那么 CU(M∪

P)等于( A. ? B.{(2,3)} C.(2,3) ). D.{(x,y)| y=x+1} ).

2.若 A={a,b},B ?A,则集合 B 中元素的个数是( A.0 B.1 C.2 D.0 或 1 或 2

3.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是( A.1 B.0 C.0 或 1 D.1 或 2

).

4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7

).

5. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图 所示,则( ). B.b∈(0,1) D.b∈(2,+∞)
(第 5 题)

A.b∈(-∞,0) C.b∈(1,2) 6.设函数 f(x)= ?

? x 2+bx+c,x ≤0 ? c,x> 0
). B.2

, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方

程 f(x)=x 的解的个数为( A.1

C.3

D.4

7.设集合 A={x | 0≤x≤6},B={y | 0≤y≤2},下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射 的是( ).

A.f:x→y=

1 x 2

1 B.f:x→y= x 3

C.f:x→y=

1 x 4

D.f:x→y=

1 x 6

8.有下面四个命题: ① 偶函数的图象一定与 y 轴相交; ② 奇函数的图象一定通过原点;

③ 偶函数的图象关于 y 轴对称;④ 既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ). C.3 D.4 ).

9.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是(
第 1 页 共 9 页

A.递减函数

B.递增函数

C.先递减再递增

D.先递增再递减 ).

10.二次函数 y=x2+bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有( A.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) 二、填空题 5分 ? 5 ? 25分

B.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

?

?


11.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是

12.若集合 A={x | x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=___,b=___. 13.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平 方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 14.已知 f(x+1)=x2-2x,则 f(x)= ;f(x-2)= . . 元.

15.y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围 三、解答题 本题共6个小题,共 75分

?

?

16. (12 分)已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值.

17. (12 分)已知集合 A={x∈R| ax2-3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R. ① 若 A 是空集,求 a 的范围; ② 若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③ 若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围.

第 2 页 共 9 页

18.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5? (1)当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数

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19.(12 分)已知某商品的价格上涨 x%,销售的数量就减少 mx%,其中 m 为正的常数。 (1)当 m=

1 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最大? 2

(2)如果适当地涨价,能使销售总金额增加,求 m 的取值范围?

2 20.(13 分)已知集合 A ? x x ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 , B ? x x ? 0 ,若 A ? B ? ? ,

?

?

?

?

求实数 的取值范围.

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21. (14 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 。 (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像; (2) 设集合 A ? x f ( x) ? 5 , 试判断集合 A 和 B B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) 。 之间的关系,并给出证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f ( x) 图像的上 方.

?

?

第 4 页 共 9 页

第一章
一、选择题

集合与函数概念单元测试题

(参考答案)

1.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是坐标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合, 那么 M ? P 就是坐标平面上不含点(2, 3)的所有点组成的集合.因此 CU(M ? P)就是点(2,3)的集合.CU(M ? P)={(2,3)}. 2.D 解析:∵ A 的子集有 ? ,{a},{b},{a,b}.∴ 集合 B 可能是 ? ,{a},{b},{a, b}中的某一个,∴ 选 D. 3.C 解析:由函数的定义知,函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 是有可能没有交点的, 如果有交点,那么对于 x=1 仅有一个函数值. 4.B 解析:∵ g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴ g(x)=2x-1. 5.A 解析:要善于从函数的图象中分析出函数的特点. 解法 1 :设 f(x) =ax(x -1)(x - 2)= ax3 - 3ax2 + 2ax,比较系数得 b=-3a,c=2a,d=0.由 f(x)的图 象可以知道 f(3)>0,所以 f(3)=3a(3-1)(3-2) =6a>0,即 a>0,所以 b <0.所以正确答案为 A. 解法 2:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax3+bx2+cx+d 中,求得 d=0,a=
(第 5 题)

2 2 1 1 bx 3 1 - b,c=- b. ∴ f(x)=b(- x3+x2- x)=- [(x- )2- ] . 3 2 4 3 3 3 3
由函数图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x- x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x- x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x-

3 2 1 ) - ]>0,∴ b<0. 2 4

3 2 1 ) - ]>0,∴ b<0. 2 4 3 2 1 ) - ]<0,∴ b<0. 2 4 3 2 1 ) - ]>0,∴ b<0. 2 4

x∈(2,+∞)时,f(x)>0,又[(x- 故 b∈(-∞,0).

6.C 解:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

b ? ? ? ?2 ,∴?b ? 4 . 得? 2 ? ? ?c ? 2 ? 4 ? 2 b ? c ? ? 2 ?

第 5 页 共 9 页

? x 2+4 x+2, ( x ≤ 0) ∴ f(x)= ? 2 , ( x 0 >) ?
? x≤0 由? 得 x=-1 或 x=-2;由 ? x2+4x+2=x

x>0 得 x=2. x=2

综上,方程 f(x)=x 的解的个数是 3 个. 7.A 解:在集合 A 中取元素 6,在 f:x→y= {y|0≤y≤2}中,所以答案选 A. 8.A 提示:① 不对;② 不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0;③ 正确;④ 不 对,既是奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)=0,x∈(-a,a).所以答案选 A. 9.C 解析:本题可以作出函数 y=x2-6x+10 的图象,根据图象可知函数在(2,4)上 是先递减再递增.答案选 C. 10.B解析:∵ 对称轴 x=2,∴ f(1)=f(3). ∵ y在〔2,+∞〕上单调递增, ∴ f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4). ∴ 答案选B. 二、填空题 11.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1.
? x≠3, 2 解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足 ? ? x -2x≠3, ? 2 ? x -2x≠x.

1 x 作用下应得象 3,但 3 不在集合 B= 2

解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1.

1 1 12.a= ,b= . 9 3
解析: 由题意知, 方程 x2+(a-1)x+b=0 的两根相等且 x=a, 则△=(a-1)2-4b=0① ,

1 1 将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0 ② ,由① ② 解得 a= ,b= . 9 3
13.1 760 元.解析:设水池底面的长为 x m,水池的总造价为 y 元,由已知得水池底 面面积为 4 m2.,水池底面的宽为

4 m. x

池底的造价 y1=120×4=480.

池壁的造价 y2=(2×2x+2×2×

4 16 )×80=(4x+ )×80. x x 16 )×80, x

水池的总造价为 y=y1+y2=480+(4x+ 即 y=480+320(x+

2 ?? ? 4 2 ? ?. ? x - + 4 )=480+320 ?? ? ? x ? ? x ? ? ? ?

第 6 页 共 9 页



x=

2 x

, 即x=2时,y有最小值为 480+320×4=1 760元.

14.f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15. 解析:令 x+1=t,则 x=t-1,因此 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即 f(x)=x2- 4x+3.∴ f(x-2)=(x-2)2-4(x-2)+3=x2-8x+15. 15.(-∞, 三、解答题 16.解:根据集合中元素的互异性,有 ?

1 1 ).解析:由 y =(2a-1)x+5 是减函数,知 2a-1<0,a< . 2 2

?a ? 2a
2 ?b ? b

或?

?a ? b2 ?b ? 2a

1 ? a? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? 4 解之得 ? 或? 或? ?b ? 1 ?b ? 0 ?b ? 1 ? 2 ? 1 ? a? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 4 又?当? 时, M ? N ? ?2,0,0? 不合题意应舍去 ? ? 或? ?b ? 1 ?b ? 1 ?b ? 0 ? 2 ?
17.解:① ∵ A 是空集,
0, ≠ ?a   ∴ 方程 ax2-3x+2=0 无实数根. ∴? 0, < ??=9-8a  

解得 a>

9 . 8

② ∵ A 中只有一个元素, ∴ 方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根. 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x= 当 a≠0 时,令Δ =9-8a=0,得 a= 的实数根,即 A 中只有一个元素. 由以上可知 a=0,或 a=

2 ; 3

9 ,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两个相等 8

9 时,A 中只有一个元素. 8

③ 若 A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由 ① ② 的结果可得 a=0,或 a≥

9 . 8

19. .解:(1)设商品现在定价 a 元,卖出的数量为 b 个。 由题设:当价格上涨 x%时,销售总额为 y=a(1+x%)b(1-mx%), 即 y?

ab 100 ? mx 2 ? 100 (1 ? m) x ? 10000 , (0 ? x ? ), ………3 分 10000 m
第 7 页 共 9 页

?

?

取m ?

1 ab 9 ? ( x ? 50) 2 ? 22500 ,当 x=50 时, ymax ? ab , 得: y ? 2 20000 8
ab 50(1 ? m) ? ? ? mx 2 ? 100 (1 ? m) x ? 10000 , ,在 ? ? ?, ? 上递增, 10000 m ? ?

?

?

即:该商品的价格上涨 50%时,销售总金额最大。…………6 分 (2)二次函数 y ?

?

?

在?

? 50(1 ? m) ? ,?? ? 上递减,…………8 分 m ? ?
适当地涨价能使销售总金额增加,即 在 ? 0,

? 100 ? ? 内存在一个区间,使函数 y 在此区间 ? m ?

50(1 ? m) ?0 , m 解得 0 ? m ? 1 ,即所求 m 的取值范围是(0,1).…………12 分
上是增函数,所以 20.解:方法 1 ? A ? B ? ? ,

? A 中至少含有一个负数,即方程 x 2 ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 至少有一个负根。……1 分

?? ? 16a 2 ? 4(2a ? 6) ? 0 ? 当方程有两个负根时, ?4a ? 0 , ?2 a ? 6 ? 0 ?
当方程有一个负根与一个正根时, ?

,…………4 分

?? ? 16a 2 ? 4(2a ? 6) ? 0 ?2a ? 6 ? 0

…………7 分

?? ? 16a 2 ? 4(2a ? 6) ? 0 ? 当方程有一个负根与一个零根时, ?4a ? 0 ?2 a ? 6 ? 0 ?
? a ? ?3或 ? 3 ? a ? ?1或a ? ?3
从而实数 a 的取值范围为 ?? ?,?1?

? a ? ?1

……10 分 …………12 分
2

方法 2:? A ? B ? ? ,? A 中至少含有一个负数,即方程 x ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 至少 有一个负根。……1 分取全集 U ? a ? ? 16a ? 4(2a ? 6) ? 0 ? ?a a ?
2

?

?

? ?

? 3 或a ? ?1? ,…4 2 ?



?? ? 16a 2 ? 4(2a ? 6) ? 0 ? 当 A 中的元素全是非负数时, ?4a ? 0 , ?2 a ? 6 ? 0 ?

第 8 页 共 9 页

所以当 A ? B ? ? 时的实数 a 的取值范围为 P ? ?a a ?

? ?

3? ? …………10 分 2?

从而当? A ? B ? ? 时的实数 a 的取值范围为 CU P ? a a ? ?1 …………12 分 21. (1)

?

?

………………………………4 分 ( 2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f ( x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? .
A.

?

?

?

?

…………………………6 分

由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ∴B 错误!未指定书签。 错误!未找到引用源。 ………………………………8 分 (3)[解法一] 当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5)
4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? , ? x ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? ? x ? ? ? 2 ? 4 ? 4?k ? k ? 2, ? ? 1 . 又 ? 1 ? x ? 5 ,……………………10 分 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . g ( x) min ? ? 4 4 2 ? 16 ? (k ? 10) ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 , 则 g ( x) min ? 0 . …………………………………………………………12 分 4?k g ( x) min = 2k ? 0 . ② 当 ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , 2 由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方.…………14 分
2
2

?

?

解法二:当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 。

? y ? k ( x ? 3), 由? 得 x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , 2 y ? ? x ? 4 x ? 5 , ? 令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 18 ,……………………………10 分 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像没有交点.
如图可知,由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k ? 2 时,直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线

y ? 2( x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到。
因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方。……14 分
第 9 页 共 9 页

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