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采样控制系统的仿真分析


采样控制系统的仿真分析
摘要: 摘要:采样控制系统的数学描述一般采用 Z 变换、扩展 Z 变换、差分方程和 Z 传递函数等形 式,应根据对采样控制系统不同仿真要求而确定,采样系统数学模型也可以应用 MATLAB 语 言进行相互转换。 采样控制系统中包含变量连续变化的控制器 D(s)或被控制对象 G0(s),应采用双重循环 方式。即在内环,两采样周期 kT 和(k+1)T

之间、对连续部分采用按环节离散化方法,以 计算 h 步长求取相应环节的连续变化响应值;而在外环,对整个系统则以系统采样周期 T 为 步长,计算所有离散(采样)环节和连续环节在离散时刻的离散变化相应值。 关键词: 关键词:采样控制系统 一、引言/前言 引言/ 连续系统数字仿真方法是指用数字计算机对连续系统进行仿真的方法。 采用这种方法时 首先将连续系统的数学模型转变为适合在数字计算机上进行试验的仿真模型, 实现这种转变 的计算方法主要有微分方程数值解法和离散相似法。 MATLAB 产品家族是美国 MathWorks 公司开发的用于概念设计、算法开发、建模仿真、 实时实现的理想的集成环境。 是矩阵实验室 (Matrix Laboratory) 的简称, 是美国 MathWorks 公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术 计算语言和交互式环境,主要包括 MATLAB 和 SIMULINK 两大部分。 MATLAB 由于其完整的专业体系和先进的设计开发思路,使得 MATLAB 在多种领域都有 广阔的应用空间, 特别是在科学计算、 建模仿真以及系统工程的设计开发上已经成为行业内 的首选设计工具,它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和 仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中, 为科学研究、 工程设计以及必须进 行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案, 并在很大程度上摆脱了传统非 交互式程序设计语言(如 C、Fortran)的编辑模式,代表了当今国际科学计算软件的先进 水平。 MATLAB 软件工具在自动化专业、测控技术与仪器和电气工程及其自动化等专业的本科 生学习中,经常用来计算、仿真和设计,尤其是 MATLAB 软件的仿真功能,能使我们对所学 知识有更加深入的理解和分析。 二、基本原理/系统建模 基本原理/ 采样控制系统的控制器有两种类型:模拟式和数字式,对应的控制系统如图 1-1(a)和 (b)所示。 MATLAB 语言 离散化方法

r (t ) + e (t ) e? (t ) Gh (s) 保持器

D (s )
模拟控制器

G0 (s)
对象

y (t )

(a )
r (t ) + e (t ) e? (t ) -

D( z)
数字控制器 或计算机

ur ? (t)

Gh (s)
保持器

u h (t )

G0 (s)
对象

y (t )

( b)
图 1-1 典型的采样控制系统 本实验主要讨论图 1-1(b)所示的这类系统的仿真问题。 连续系统 PID 调节器的控制规律为
t ? 1 de(t ) ? u (t ) = K p ?e(t ) + ∫ e(t )dt + Td ? Ti 0 dt ? ?

(1-1)

为了用计算机实现 PID 控制规律,要将式(6-1)转换成离散化形式。

? 1 u (kT ) = K p ?e(kT ) + Ti ?

∑ e(iT )T + T
i =0

k

d

e(kT ) ? e[(k ? 1)T ] ? ? T ?

(1-2)

对上式两边进行 z 变换后可得 PID 控制规律的脉冲传递函数 D(z)为
? T z ? T U (Z ) D( z ) = = K p ?1 + + d (1 ? z ?1 ) ? = E( z) ? Ti z ? 1 T ? Kp( T 2T T T + 1 + d ) ? K p ( d + 1) z ?1 + K p d z ?2 Ti T T T ?1 1? z

(1-3) 令

a0 = K p (

T T + 1 + d ), Ti T

a1 = K p (

2Td + 1), T

a2 = K p

Td T

则式(1-3)成为

D( z ) =

a0 ? a1 z ?1 + a2 z ?2 1 ? z ?1

1)当 Ti=∞和 Td=0 时,即为数字式比例控制器。 2)当 Td=0 时,即为数字式比例-积分控制器。 3)当 Ti= ∞ 时,即为数字式比例-微分控制器。 采样控制系统与连续控制系统不同,它有连续部分(受控对象)和离散部分(数字控制 器)组成。对于连续部分,一般采用传递函数或微分方程来描述,对于离散部分则要用脉冲 传递函数或差分方程来描述, 这两种描述的方法在采样系统仿真时要统一起来, 统一的方法 有两种: (1)当采样频率足够高(即采样周期足够短) ,同时又有保持器时,可以将离散部分近似地 看作是连续的, 即整个控制系统可以近似地看作是一个连续控制系统, 统一用传递函数或微 分方程来描述,数字仿真也是按连续系统的数字仿真来处理。

(2)将连续部分的传递函数 G(s) 变成脉冲传递函数 G(z),即:G(z)=z{Gh(s)G(s)}然后对 整个系统统一用脉冲传递函数来分析研究,本实验主要介绍这种仿真方法。 用上述第二种方法对系统进行仿真研究时,要注意到离散部分是每隔一个采样周期 T 计算一次,对连续部分则每隔一个计算步长 h 计算一次,一般取 T>>h,且 T 为 h 的整数倍 关系。 因为只有这样, 连续部分的输入/输出才能在每个周期的最后一刻与离散部分的输入/ 输出达到同步, 即连续部分才能将每个周期最后一个计算步长的输出值和系统的输入比较作 为下一个周期数字控制器的输入, 同时离散部分的输出信号再次传递给连续部分, 以作为连 续部分下一时刻的起始值,如此循环,直到仿真过程结束。 1、数字控制器的程序实现 然后按差分方程编写程序。 由计算机程序来实现 D(z), 首先要将 D(z)转换成差分方程, 设数字控制器的脉冲传递函数为

Ur ( z ) g 0 + g 1 z ?1 + L + gmz ? m D( z ) = = E ( z ) 1 + f 1 z ?1 + f 2 z ?2 + L + fnz ? n
则相应的差分方程为

(1-4)

ur (k ) = ?[ f1ur (k ? 1) + f 2ur (k ? 2) + L + f n ur (k ? n)] + g 0 e(k ) + g 2 e(k ? 1) + L + g m e(k ? m)

(1-5)

由上式知, 为得到当前时刻的数字控制器的输出值, 不但需要当前时刻控制器的输入值

e(k), 而且还需要过去若干个时刻的输入和输出值。 利用计算机对以上高阶差分方程求解时,
首先应在计算机内存中设置两个行向量 Gr 和 Fr 分别存放数字控制器的分子、分母系数; 设置两个列向量 Er 和 Ur 分别存放数字控制器的当前时刻以及过去若干个时刻的输入和输 出值,即

Gr = [ g0 g1 L g m ] ;

Fr = [ f1 f 2 L f n ]
T T

Er = [ e(k ) e(k ? 1) L e(k ? m)] ; U r = [ur (k ? 1) ur (k ? 2) L ur (k ? n)]
则式(5-5)可写成向量的形式

ur (k ) = ? FrU r + Gr Er
利用上式便可得到当前时刻的数字控制器的输出值 ur(k)。 2、连续部分的程序实现

(1-6)

当系统采用零阶保持器时,在采样周期 kT 时刻,离散部分即数字控制器的输出信号

ur(kT)经零阶保持器传递到连续部分,并保持一个周期。在这周期内连续部分以步长 h 计
算其各环节的的变化情况,直到下一采样时刻(k+1)T。因此,在采样时刻之间连续部分的输 入为常数,此时,可将连续部分当作输入信号为阶跃函数的连续系统来处理。这样对连续部 分仍可按照前面所述的连续系统按环节离散化的方法来进行仿真, 其连续部分各环节的参数 和连接矩阵的建立同前,此处不再介绍,但要注意以下几点: (1)保持器不单独作为一个典型环节,它在这里仅将离散部分输出值保持一个周期; (2)因数字控制器的输出 ur(kT) 作为连续部分的参考输入,在编写连接矩阵 W0 时,要把典 型环节与 ur(kT)有关联的情况反映进去; (3)数字控制器的输入关系:e(t)=r(t)-xn(t) 已通过程序反映了,故反馈到数字控制器输 入端的连接关系不再编入连接矩阵 W 中, 但应把与数字控制器输入端相连的典型环节编为最

大号 n,以与上式相对应。 采样控制系统与连续控制系统不 同,它有连续部分(受控对象)和离散 部分(数字控制器)组成。对于连续部 分,一般采用传递函数或微分方程来描 述,对于离散部分则要用脉冲传递函数 或差分方程来描述,这两种描述的方法 在采样系统仿真时要统一起来,统一的 方法有两种: (1)当采样频率足够高(即采样周期足 够短) ,同时又有保持器时,可以将离散 部分近似地看作是连续的,即整个控制 系统可以近似地看作是一个连续控制系 统, 统一用传递函数或微分方程来描述, 数字仿真也是按连续系统的数字仿真来 处理。 (2)将连续部分的传递函数 G(s) 变成 脉 冲 传 递 函 数
t=t+h

开始

给定参考输入

给定离散部分的分子分母系数矩阵及 连续部分的 P,W, W0和Wc阵

Tf 、采样周期 T 和计算步长 h m
求连续部分的参数 E,F,G,H,L,P

计算离散部分的输出 ur(k)

计算连续部分各环节的输出
n

t=t+Tm

t=Tm
y n

G(z) , 即 :

G(z)=z{Gh(s)G(s)}然后对整个系统统
一用脉冲传递函数来分析研究,本实验 主要介绍这种仿真方法。 3、程序框图如图 1-2 所示 三、仿真实验/结果分析 仿真实验/
图 1-2

t=Tf
y

输出结果 采样控制系统的仿真程序框图

在控制对象前引入零阶保持器,将连续环节部分按环节离散化:

?1 ? e?Ts ? ?1 ? e?Ts e ?T3s ? e ?T3s Z ?Gh ( s ) G ( s ) ? = Z ? =Z ? ? ? ? ? (T1s + 1)(T2 s + 1) ? (T1s + 1) 2 ? ? s ? s
设a =

1 ,为简化运算及编程,取 T3 为 T 的整数倍 T1

Z ?Gh ( s ) G ( s ) ? = ? ?

(1 ? aTe ? aT ? aT ) z

?1?

T3 T

+ (e?2 aT ? e? aT + aTe ? aT ) z
?1? T3 T

?2 ?

T3 T

1 ? 2e ? aT z

+ e ?2 aT z

?2 ?

T3 T

对上式进行 Z 逆变换,得到

z

?1?

T3 T

+z

?2 ?

T3 T ?2 ? T3 T

1 ? 2e? aT z c

T ?1? 3 T

+ e ?2 aT z

Y (k ) = (1 ? aTe ? aT ? aT )U (k ? e?2 aT Y (k ? T3 ? 2) T

T3 T3 T3 ? 1) + (e ?2 aT ? e? aT + aTe ? aT )U (k ? ? 2) + 2e? aT Y (k ? ? 1) ? T T T

由此可编写仿真程序。 >> KP=0.65;TI=0.7;TD=0.2; >> T1=0.3;a=1/T1;T3=0.4; >> T=0.1;h=0.001;Tf=10; %离散化后各参数为: A=1-a*h*exp(-a*h)-exp(-a*h);B=exp(-2*a*h)-exp(-a*h)+a*h*exp(-a*h);C=2*exp(-a*h);D=e xp(-2*a*h); P=KP*(1+T/TI+TD/T);H=KP*(1+2*TD/T);M=KP*TD/T; %系统初始值为: E=zeros(1,3);U=zeros(1,2+T3/T+1);Y=zeros(1,2+T3/h+1);R=1; yk=0;yt=0;t=0; %仿真迭代运算: for K1=1:Tf/T ek=R-Y(1); E=[ek,E(1:2)]; uk=P*E(1)-H*E(2)+M*E(3)+U(1); U=[uk,U(1:(2+T3/T))]; for K2=1:T/h yk=A*U(T3/T+1+1)+B*U(T3/T+2+1)+C*Y(T3/h+1)-D*Y(T3/h+2); Y=[yk,Y(1:(2+T3/h))]; end yt=[yt,yk]; t=[t,K1*T]; end %输出波形: plot(t,yt) 运行结果为:

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

此题可以用 SIMULINK 仿真进行验证: 建立 SIMULINK 仿真模型:

运行结果为: 运行结果为:

结果分析:因为离散化过程中对原连续系统引入了虚拟采样开关和零阶(一阶)保持器,造 成的滞后使得仿真计算误差增大,严重时甚至会引起系统数值计算比稳定。所以,相比较之 下,simulink 仿真法比较精确。 四、结论 通过这个实验,我们就清楚地了解了连续系统离散化数字仿真的特点: (1)将连续系统离散化后进行仿真,可以用得到的离散方程递推求解状态和输出,避 免了数值积分方法中繁琐的龙格库塔系数的求取过程,计算简便。 (2)按环节离散化仿真,每步都可求出各环节输入、输出,很容易推广用以解决非线 性系统仿真问题。


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