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2012年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅, 只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.函数 f ( x) ?
x ?1 的值域为_______

_________. x ? 4x ? 7
2

2 2 2 . 已 知 3 s i ?n? 2 s i ?n? 1 , 3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 , 则

c o (?s? ? ) ? _______________. 2

? an ? a n 为偶数, 3.已知数列 {a n } 满足: a1 为正整数, a n ?1 ? ? 2 , 如果 a1 ? a 2 ? a3 ? 29 , ?3a n ? 1, a n 为奇数, ?

则 a1 ? . 4. 设集合 S ? {1,2,3, ?,12} ,A ? {a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集, 且满足 a1 ? a 2 ? a3 ,a3 ? a 2 ? 5 , 那么满足条件的子集 A 的个数为
2 2


y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异 2 a b

5.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C :

于 M , N 的 任 一 点 . 若 直 线 PM, PN 的 斜 率 之 积 为 ? _______________.

1 ,则椭圆 C 的离心率为 3

6.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC , 则
p 的值为_______________. q

7.在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,已知 AC ? 1, B1C ? 2 , AB1 ? p ,则长方体的体积最大 时, p 为_______________.
2012

8.设 [x] 表示不超过 x 的最大整数,则

?[
k ?0

2012 ? 2k ]? 2k ?1



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
2 9.已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ? 1 ? an ? 1 ? 3 an an ? 1 且 a1 ? 1 ,

a2 ? 8 ,求 {an } 的通项公式.

10.已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的取值范围.

11.已知点 E(m, n) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 内一定点,过 E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条 直线交抛物线于 A, B, C, D ,且 M , N 分别是线段 AB, CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0, ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点.


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