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2.2.1《双曲线及其标准方程》教案(新人教版B选修1-1)


双曲线及其标准方程
一、教学目标 o.m
(一)知识教学点 使学生掌握双曲线的定义和标准方程,以及标准方程的推导. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、推理等能力. (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用, 与椭圆进行类比、 设想, 使学生得到关于双曲线的定义、 标准方程一个比较深刻的认识.

/>二、教材分析
1.重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程. (解决办法:通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;对于双曲线的 标准方程通过比较加深认识.) 2.难点:双曲线的标准方程的推导. (解决办法:引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.) 3.疑点:双曲线的方程是二次函数关系吗? (解决办法:教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在课 外去研究在什么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式.)

三、活动设计
提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.

四、教学过程
(一)复习提问 平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数 2a 时,形成的轨迹? (1)平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆. (2)到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段. (3)常数 2a ? |F1F2|时,无轨迹. (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢? 1.回顾利用两组同心圆描交点画出“与 F1,F2 两点的距离的和等于 12”的椭圆。

教师可以先找出满足条件的两个交点,然后引导学生描出剩余的点并连成平滑的曲线。 2.利用两组同心圆描交点画出 “与 F1,F2 两点的距离的差等于 8”的交点” ,再描点画出

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“与 F1,F2 两点的距离的差等于 8”的交点” ;最后用平滑的曲线连起来.

教师可以先找出满足条件的两个交点, 然后引导学生描出剩余的点并连成平滑的曲线, 生成 双曲线. 3.通过图象概括定义 在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义: 平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 两个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记. (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程. 我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程. 这时设问: 求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答, 主要引起学生思考, 随即引导学生 给出双曲线的方程的推导. 标准方程的推导: (1)建系设点 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴(如图 2-24)

建立直角坐标系.

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设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是 2c(c>0),那么 F1、F2 的坐标分别是(-c, 0)、(c,0).又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合 由定义可知,双曲线就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}. (3)代数方程

(4)化简方程 将这个方程移项,两边平方得:

两边再平方,整理得:

(c2 ? a 2 )x 2 ? a 2 y2 ? a 2 (c2 ? a 2 )
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义,2c>2a
2 2 2

即 c>a,所以 c ? a ? 0
2 2

设 c ? a ? b (b>0),代入上式得:

这就是双曲线的标准方程. 两种标准方程的比较(引导学生归纳):

教师指出: (1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; (2)如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴 上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. (3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c2=a2+b2,不同于椭圆方程中 c2=a2-b2. (四)练习与例题 (1)已知双曲线的焦点为 F1(-5,0)和 F2(5,0),双曲线上的点P到 F1 与 F2 的距离之差的绝对值为 6,求双曲线的标准方程。(变题) (2)已知双曲线的焦点为 F1(0,-6)和 F2(0,6), 且经过点(2,-5) 。 教师讲解给出正确的答案,引导学生处理第二题. (五)小结

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1.定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.

3.图形(见图 2-25):

4.焦点:F1(-c,0)、F2(c,0);F1(0,-c)、F2(0,c). 5.a、b、c 的关系:c2=a2+b2;c=a2+b2.

五、布置作业
课后习题,自己写出小节.

六、板书设计

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