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轨迹方程教师版本


点 P 到 ?1,0 ? 的距离比到 y 轴的距离大 1 的轨迹方程为

圆方程为

y 2 ? 4 x 或 y ? 0?x ? 0?

x2 y2 ? ?1 4 2
的 坐 标 分 别 为

y2 1.设椭圆方程为 x ? ? 1 , 过点 M ?0,1? 的直线 l 交椭 4

2

(2)方法一 设 点 Q 、 A 、 B

( x, y), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 。
由 题 设 知 A P , P B,

圆于 A,B 两点,O 是坐标原点,点 P 满足 OP ? 点 N 的坐标为 ?

1 OA ? OB , 2

?

?

? ? ??

? ? ??

? ? ?? ? ? ?? AQ , Q均 B 不为零,记

?1 1? , ? .当 l 绕点 M 旋转时,求: ?2 2?
2 2

??? ? ???? AP AQ ? ? ??? ? ? ??? ? ,则 ? ? 0 且 ? ? 1 PB QB
又 A , P , B , Q 四 点 共 线 , 从 而

(1)动点 P 的轨迹方程; 4 x ? y ? y ? 0

??? ? ??? ? ???? ??? ? AP ? ?? PB, AQ ? ? QB
于 是

(2) NP 的最大值和最小值.

21 1 , 6 4

4?

1?

13.(08 浙江卷 10)如图,AB 是平面 a 的斜线段, A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP 的 面积为定值,则动点 P 的轨迹是 B (A)圆 (C)一条直线 (B)椭圆 (D)两条平行直线

y1 ? ? y2 1? ? x?

x1 ? ? x2 , 1? ?

y?

y1 ? ? y2 1? ?
从而

x1 ? ? x2 1? ?



2 x12 ? ? 2 x2 ? 4x 1? ?2



??



1



1.(08 安徽卷 22) . (本小题满分 13 分) 设椭圆 C :

y12 ? ? 2y2 2 ? y , ?? (2) 1? ? 2
又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着 a 2 b2

焦点为 F1 ( ? 2, 0) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点

x12 ? 2 y12 ? 4,?? (3)
2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,?? (4)

(1)+(2)×2 并结合(3) , (4)得 4s ?2 y ?4 即点 Q( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 方法二

A, B 时 , 在 线 段 AB 上 取 点 Q , 满 足
??? ? ??? ? ???? ??? ? AP ?QB ? AQ ?PB ,证明:点 Q 总在某定直线上
解 (1)由题意:

x 2, ,y 由)题 设 , 设 点 Q( x, y ) , A1 ( x 1, y ) ,B 2 (
??? ? ??? ? ???? ??? ? PA , PB , AQ , QB 均不为零。 ??? ? ??? ? PA PB 且 ???? ? ??? ? AQ QB


?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 ? ?c ? a ? b

,解得 a ? 4, b ? 2 ,所求椭
2 2

P, A, Q, B 四 点 共 线 , 可 设

??? ? ???? ??? ? ??? ? PA ? ?? AQ, PB ? ? BQ(? ? 0, ?1) ,于是

?F1 F2 P







G













x1 ?
(1)

4 ? ?x 1? ? y , y1 ? 1? ? 1? ? 4 ? ?x 1? ? y , y2 ? 1? ? 1? ?

x2 ? y 2 ? 1? y ? 0 ? 16 9
五、交轨法与几何法题型 例 5 抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 的顶点作互相垂直的两弦
2

x2 ?
(2)

由于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1) , ( 2) 分别代入 C 的方程 x ? 2 y ? 4,
2 2

OA、OB,求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影 M 的 轨迹。 (考例 5) 解 1(交轨法) :点 A、B 在抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 上,
2

整理得
2 2 2

( x ? 2 y ? 4)? ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(3) 设 A(
2 yB 4p 4p yA , y B ) 所以 kOA= kOB= , , y A ) ,B( 4p yA yB 4p

2

( x 2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(4) (4) - (3) 得

由 OA 垂直 OB 得 kOA kOB = -1,得 yAyB= -16p2 ,又 AB 方
2 y A ? yB yA (x ? ) , 即 ( yA+yB ) 程可求得 y ? yA ? 2 2 4p y A yB ? 4p 4p

8(2 x? y? 2 ?)?

0 ∵? ? 0,∴ 2 x ? y ? 2 ? 0

y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2 代入得 AB 方程(yA+yB) y--4px+16p2 =0 ① 又 OM 的 方 程 为

即点 Q( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 1. ?ABC

y?

y A ? yB x ? 4P


2 2



,



A?? 4,0?, B?4,0?

由①②消去得 yA+yB 即得 x ? y ? 4 px ? 0 , , 若 得 ( x ? 2 p)
2



1 sin A ? sin B ? sin C , 则 顶 点 C 的 轨 迹 方 程 是 2
x y ? ? 1?x ? 0, y ? 0? 4 12
2.已 知 动 点
2 2

? y2 ? 4 p2 。
2 2 2

所以点 M 的轨迹方程为 ( x ? 2 p) ? y ? 4 p , 其轨迹是 以 (2 p,0) 为圆心,半径为 2 p 的圆,除去点(0,0) 。

P ? x, y ?





10

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2
2 2

? 3x ? 4 y , 则 P 点 的 轨 迹 是

椭圆 3.与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,又与 y 轴相切的圆的圆心 轨迹方程为

说明:用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交 点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系 即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。 解 2(几何法) :由解 1 中 AB 方程(yA+yB)y--4px+16p2 =0 可得 AB 过定点(4p,0)而 OM 垂直 AB,所以由圆的 几法性质可知:M 点的轨迹是以 (2 p,0) 为圆心,半径为
2 2 2 所以方程为 ( x ? 2 p) ? y ? 4 p , 除去点 (0, 2 p 的圆。

y 2 ? 8 x? x ? 0 ? 和

y ? 0?x ? 0?
x2 y2 ? ? 1 上运动 , 则 4.P 在以 F1 , F2 为焦点的双曲线 16 9

0) 。

6.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F,G,H, M 分别是棱 AD , DD1 , D1 A1,A1 A, AB 的中点, 点 N 在四边形 EFGH 的四边及其内部运动,则当 N 只需满足条件________时,就有 MN ⊥ A1C1 ;当 N 只需满足条件________时, 就有 MN∥平面 B1 D1C .

即 PF 2 ? EF 2 ? PM 2 ? 1 , 得 PF 2 ? PM 2 ? 0 , ? PF=PM,故 P 点的轨迹是以 M 为焦点,以 AD 为准线的 抛物线,故选 A。 练习 1:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 D C 的侧面 ABB1A1 内有一点 P 到直线 AB 与到 A B1C1 的距离相等,则动点 B 直线 P 所在曲线 的形状为[ C ] P A.直线 B.双曲线 D1 C1 C.抛物线 D.圆 提示: ABB1A1, A1 因为 B1C1 垂直于平面 B1 所以 PB1 为点 P 到直线 B1C1 的距离,于是 问题转化为在平面 ABB1A1 内,点 P 到定点 B1 的距离 与点 P 到定直线 AB 的距离相等。故根据抛物线的定义 可知选答案 C。 练习 2: AB 是平面 ? 的斜线段,A 为斜足。若点 P 在平 面 ? 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点 P 的 轨迹是(B) A 圆 B 椭圆 C 一条直线 D 两条平行直线 说明: 这类问题要利用相关定义或直角坐标系把问题代 数化。

7.如右图所示,△ADP 为正三角形,四边形 ABCD 为正 方形,平面 PAD⊥平面 ABCD.点 M 为平面 ABCD 内的 一个动点,且满足 MP=MC.则点 M 在正方形 ABCD 内 的轨迹为( ) D D C C
P

F

A D A.

B A C D D.

B

A

G

D

C

B

E

C

A

B

A

B

例 3:知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,且 AM=

1 ,点 P 3

E A
1

D
1

C1 B1

是平面 ABCD 内的动点,且点 P 到直线 A1 D1 的距离的平方与点 P 到点 M 的距离的平方之 差为 1,则 P 点的轨迹为[ A ] A.抛物线弧 B.双曲线弧 C.线段 D.以上都不对 解:过 P 作 PF 垂直 AD 于 F,则 PF 垂直 平面 ADD1A1,过点 F 作 FE 垂直 A1D1 于 E,连 PE,则 PE 为点 P 到直线 A1D1 的距离,由已知 PE ? PM ? 1 ,
2 2

F D A M

P B

C


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