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热分析指南60


ANSYS 热分析指南

第三章 稳态热分析

3.1 稳态传热的定义
ANSYS/Multiphysics,ANSYS/Mechanical,ANSYS/FLOTRAN 和 ANSYS/Professional 这些产品支 持稳态热分析。稳态传热用于分析稳定的热载荷对系统或部件的影响。通常在进行瞬态热分析以前, 进行稳态热分析用

于确定初始温度分布。也可以在所有瞬态效应消失后,将稳态热分析作为瞬态热 分析的最后一步进行分析。 稳态热分析可以计算确定由于不随时间变化的热载荷引起的温度、热梯度、热流率、热流密度 等参数。这些热载荷包括: ? 对流 ? 辐射 ? 热流率 ? 热流密度(单位面积热流) ? 热生成率(单位体积热流) ? 固定温度的边界条件 稳态热分析可用于材料属性固定不变的线性问题和材料性质随温度变化的非线性问题。 事实上, 大多数材料的热性能都随温度变化,因此在通常情况下,热分析都是非线性的。当然,如果在分析 中考虑辐射,则分析也是非线性的。

3.2 热分析的单元
ANSYS 和 ANSYS/Professional 中大约有 40 种单元有助于进行稳态分析。有关单元的详细描述 请参考《ANSYS Element Reference》,该手册以单元编号来讲述单元,第一个单元是 LINK1。单元 名采用大写,所有的单元都可用于稳态和瞬态热分析。其中 SOLID70 单元还具有补偿在恒定速度场 下由于传质导致的热流的功能。这些热分析单元如下: 表 3-1 二维实体单元 单元 PLANE35 PLANE55 PLANE75 PLANE77 PLANE38 维数 二维 二维 二维 二维 二维 形状及特点 六节点三角形单元 四节点四边形单元 四节点谐单元 八节点四边形单元 八节点谐单元 自由度 温度(每个节点) 温度(每个节点) 温度(每个节点) 温度(每个节点) 温度(每个节点)

表 3-2 三维实体单元 单元 SOLID70 SOLID87 SOLID90 维数 三维 三维 三维 形状及特点 八节点六面体单元 十节点四面体单元 二十节点六单元 自由度 温度(每个节点) 温度(每个节点) 温度(每个节点)

3-1

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表 3-3 辐射连接单元 单元 LINK31 维数 二维或三维 形状及特点 二节点线单元 自由度 温度(每个节点)

表 3-4 传导杆单元 单元 LINK32 LINK33 维数 二维 三维 形状及特点 二节点线单元 二节点线单元 自由度 温度(每个节点) 温度(每个节点)

表 3-5 对流连接单元 单元 LINK34 维数 三维 形状及特点 二节点线单元 自由度 温度(每个节点)

表 3-6 壳单元 单元 SHELL57 维数 三维 形状及特点 四节点四边形单元 自由度 温度(每个节点)

表 3-7 耦合场单元 单元 PLANE13 维数 二维 形状及特点 四节点热-应力耦合单元 自由度 温 度、结构位移、电位、磁矢量 位 温度、结构位移 温度、结构位移 温度、压力 温 度、结构位移、电位、磁标量 位 温 度、结构位移、电位、磁矢量 位 温度、电位 温度、电位 温度、电位 温度、电位

CONTACT48 CONTACT49 FLUID116 SOLID5

二维 三维 三维 三维

三节点热-应力接触单元 热-应力接触单元 二或四节点热-流单元 八节点热-应力和热-电 单元 十节点热-应力和热-电 单元 四节点热-电单元 两节点热-电单元 八节点热-电单元 四节点热-电单元

SOLID98

三维

PLANE67 LINK68 SOLID69 SHELL157

二维 三维 三维 三维

表 3-8 特殊单元 单元 MASS71 COMBINE37 SURF151 SURF152 MATRIX50 维数 一维到三维 一维 二维 三维 由包括在超 单元中的单 元类型决定 形状及特点 一个节点的质量单元 四节点控制单元 二到四节点面效应单元 四到九节点面效应单元 没有固定形状的矩阵或辐 射矩阵超单元 温度 温度、结构位移、转动、压力 温度 温度 由包括在超单元中的单元类型决 定 自由度

3-2

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INFIN9 INFIN47 COMBINE14 COMBINE39 COMBINE40

二维 三维 一维到三维 一维 一维

二节点无限边界单元 四节点无限边界单元 两节点弹簧-阻尼单元 两节点非线性弹簧单元 两节点组合单元

温度、磁矢量位 温度、磁矢量位 温度、结构位移、转动、压力 温度、结构位移、转动、压力 温度、结构位移、转动、压力

3.3 热分析的基本过程
ANSYS 热分析包含如下三个主要步骤: ? 前处理: 建模 ? 求解: 施加荷载并求解 ? 后处理: 查看结果 以下的内容将讲述如何执行上面的步骤。首先,对每一步的任务进行总体的介绍,然后通过一 个管接处的稳态热分析的实例来引导读者如何按照 GUI 路径逐步完成一个稳态热分析。最后,本章 提供了该实例等效的命令流文件。

3.4 建模
建立一个模型的内容包括:首先为分析指定 jobname 和 title;然后在前处理器(PREP7)中定 义单元类型,单元实常数,材料属性以及建立几何实体。 《ANSYS Modeling and Meshing Guide》中 对本部分有详细说明。 对于热分析有: ? 定义单元类型 命令:ET E GUI:Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete ? 定义固定材料属性 命令:MP MP GUI:Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models>Thermal 定义温度相关的材料属性,首先要定义温度表,然后定义对应的材料属性值。通过下面的方法 定义温度表 命令:MPTEMP 或 MPTEGN MPTEGN,然后定义对应的材料属性,使用 MPDATA MPTEMP GUI:Main Menu>Preprocessor>Material Props> Material Models>Thermal 对于温度相关的对流换热系数也是通过上述的 GUI 路径和命令来定义的。 注意--如果以多项式的形式定义了与温度相关的膜系数,则在定义其它具有固定属性的材料之 注意 前,必须定义一个温度表。 创建几何模型及划分划分网格的过程,请参阅《ANSYS Modeling and Meshing Guide》

3.5 施加荷载和求解
在这一步骤中,必须指定所要进行的分析类型及其选项,对模型施加荷载,定义荷载选项,最 后执行求解。 3.5.1 指定分析类型 .5.1

3-3

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在这一步中,可以如下指定分析类型: ? GUI: Main Menu>Solution>New Analysis>Steady-state(static) ? 命令:ANTYPE ANTYPE,STATIC,NEW ANTYPE ? 如果是重新启动以前的分析,比如,附加一个荷载。命令: ANTYPE ANTYPE,STATIC,rest。 (条件是先前分析的 jobname.ESAV、jobname.DB 等文件是可以利用的) 3.5.2 3.5.2 施加荷载 可以直接在实体模型(点、线、面、体)或有限元模型(节点和单元)上施加载荷和边界条件, 这些载荷和边界条件可以是单值的,也可以是用表格或函数的方式来定义复杂的边界条件,详见 《ANSYS 基本分析过程指南》 。 可以定义以下五种热载荷: 3.5.2.1 3.5.2.1 恒定的温度 (TEMP) 通常作为自由度约束施加于温度已知的边界上。 3.5.2.2 热流率(HEAT) 热流率(HEAT) 热流率作为节点集中载荷,主要用于线单元(如传导杆、辐射连接单元等)模型中,而这些线 单元模型通常不能直接施加对流和热流密度载荷。如果输入的值为正,表示热流流入节点,即单元 获取热量。如果温度与热流率同时施加在一节点上,则温度约束条件优先。 注意--如果在实体单元的某一节点上施加热流率,则此节点周围的单元应该密一些;特别是与 注意 该节点相连的单元的导热系数差别很大时,尤其要注意,不然可能会得到异常的温度值。因此,只 要有可能,都应该使用热生成或热流密度边界条件,这些热荷载即使是在网格较为粗糙的时候都能 得到较好的结果。 对流(CONV) 3.5.2.3 对流(CONV) 对流边界条件作为面载施加于分析模型的外表面上,用于计算与模型周围流体介质的热交换, 它仅可施加于实体和壳模型上。对于线单元模型,可以通过对流杆单元 LINK34 来定义对流。 3.5.2.4 热流密度(HEAT) 3.5.2.4 热流密度(HEAT) 热流密度也是一种面载荷。当通过单位面积的热流率已知或通过 FLOTRAN CFD 的计算可得到时, 可以在模型相应的外表面或表面效应单元上施加热流密度。如果输入的值为正,表示热流流入单元。 热流密度也仅适用于实体和壳单元。单元的表面可以施加热流密度也可以施加对流,但 ANSYS 仅读 取最后施加的面载进行计算。 热生成率(HGEN) 3.5.2.5 热生成率(HGEN) .5.2. 热生成率作为体载施加于单元上,可以模拟单元内的热生成,比如化学反应生热或电流生热。 它的单位是单位体积的热流率。 下表总结了在热分析中的载荷类型: 表 3-9 热荷载类型 载荷类型 温度 (TEMP) 类别 约束 命令族 D GUI 路径 Main Menu>Solution>-Loads-Apply> -Thermal-Temperature Main Menu>Solution>-Loads-Apply> -Thermal-Heat Flow Main Menu>Solution>-Loads-Apply>

热流率 (HEAT) 对 流 (CONV), 热

力 面载荷

F SF

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流密度 (HFLUX)

-Thermal-Convection Main Menu>Solution>-Loads-Apply> -Thermal-Heat Flux 体载荷 BF Main Menu>Solution>-Loads-Apply> -Thermal-Heat Generat

热生成率 (HGEN)

下表详细列出了热分析中用于施加载荷,删除载荷,对载荷进行操作、列表的所以命令: 表 3-10 热荷载相关的命令 载荷类型 温度 " 热流率 " 对流, 热流密度 " " 实体或有限 实体 元模型 实体模型 有限元模型 实体模型 有限元模型 实体模型 实体模型 有限元模型 关键点 节点 关键点 节点 线 面 节点 施加 DK D FK F SFL SFA SF 删除 DKDELE DDELE FKDELE FDELE SFLDELE SFADELE SFDELE 列表显示 DKLIST DLIST FKLIST FLIST SFLLIST SFALIST SFLIST 运算 DTRAN DSCALE FTRAN FSCALE SFTRAN SFTRAN SFSCALE 设置 -DCUM TUNIF -FCUM SFGRAD SFGRAD SFGRAD SFGRAD SFCUM SFBEAM SFCUM SFFUN SFGRAD ----BFCUM BFCUM

"

有限元模型

单元

SFE

SFEDELE

SFELIST

SFSCALE

生热率 " " " " "

实体模型 实体模型 实体模型 实体模型 有限元模型 "

关键点 线 面 体 节点 单元

BFK BFL BFA BFV BF BFE

BFKDELE BFLDELE BFADELE BFVDELE BFDELE BFEDELE

BFKLIST BFLLIST BFALIST BFVLIST BFLIST BFELIST

BFTRAN BFTRAN BFTRAN BFTRAN BFSCALE BFSCALE

3.5.3 采用表格和函数边界条件 除了一般的使用表格来定义边界条件的方法,本节讨论热分析中特有的一些问题。关于定义表 参数的详细叙述,请参考《ANSYS APDL Programmer’s Guide》 。 本节内容对单元类型没有特别的限制。 下表列出了热分析中能够用于每一种边界条件的自变量: 表 3-11 荷载边界条件及其自变量 热边界条件 固定温度 热流 对流换热系数 (对流) 环境温度 (对流) 热流密度 D F SF SF SF 命令族 自变量 TIME, X, Y, Z TIME, X, Y, Z, TEMP TIME, X, Y, Z, TEMP, VELOCITY TIME, X, Y, Z TIME, X, Y, Z, TEMP

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热生成

BF

TIME, X, Y, Z, TEMP

流体单元(FLUID116) 边界条件 流率 压力 SFE D TIME TIME, X, Y, Z

后面有一个例题详细介绍在一个稳态热分析中如何采用表格边界条件。 为了使用更加灵活的热传导系数,可以使用函数的方式来定义边界条件。有关这种用法的详细 说明,可以参考《ANSYS Basic Analysis Procedures Guide》 。除了上述自变量外,函数边界条件 还可用下面的参数作为函数的自变量: ? 表面温度(TS)(SURF151、SURF152 单元的表面温度) ? 密度( ρ )(材料属性 DENS)
? 比热(材料属性 C) ? 导热率(材料属性 kxx) ? 导热率(材料属性 kyy) ? 导热率(材料属性 kzz) ? 粘度(材料属性μ) ? 辐射率(材料属性ε)

3.5.4 定义载荷步选项 .5.4 对于一个热分析,可以确定通用选项、非线性选项以及输出控制。下表列出了热分析中可能用 到的载荷步选项: 表 3-12 分析中的载荷步选项 选项 通用选项 时间 TIME Main Menu>Solution>-Load Step Opts-Time /Frequenc>Time-Time Step Main Menu>Solution> -Load Step Opts-Time /Frequenc>Time and Substps Main Menu>Solution> -Load Step Opts-Time /Frequenc>Time-Time Step Main Menu>Solution> -Load Step Opts-Time /Frequenc>Time -Time Step 命令 GUI 路径

时间步数

NSUBST

时间步长

DELTIM

阶跃或斜坡加载 非线性选项 最大平衡迭代数

KBC

NEQIT

Main Menu>Solution> -Load Step Opts -Nonlinear>Equilibrium Iter Main Menu>Solution> -Load Step Opts-Time /Frequenc>Time-Time Step Main Menu>Solution> -Load Step Opts -Nonlinear>Convergence Crit Main Menu>Solution> -Load Step Opts -Nonlinear>Criteria to Stop Main Menu>Solution> -Load Step Opts -Nonlinear>Line Search

自动时间步长

AUTOTS

收敛容差

CNVTOL

求解中断选项

NCNV

线性搜索选项

LNSRCH

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预测-矫正因子 输出控制选项 打印输出

PRED

Main Menu>Solution> -Load Step Opts -Nonlinear>Predictor

OUTPR

Main Menu>Solution> Ctrls>Solu Printout

-Load

Step

Opts-Output

数据库和结果文件输出

OUTRES

Main Menu>Solution> -Load Step Opts-Output Ctrls>DB/Results File Main Menu>Solution> -Load Step Opts-Output Ctrls>Integration Pt

结果外插

ERESX

3.5.5 通用选项 .5.5
? 时间选项

该选项定义载荷步的结束时间,虽然对于稳态热分析来说,时间选项并没有实际的物理意义, 但它提供了一个方便的设置载荷步和载荷子步的方法。 缺省情况下,第一个荷载步结束的时间是 1.0,此后的荷载步对应的时间强逐次加 1.0。 ? 每载荷步中子步的数量或时间步大小 对于非线性分析,每一载荷步需要多个子步。缺省情况下每个荷载步有一个子步。 ? 阶跃或斜坡加载 如果定义阶跃载荷,则载荷值在这个载荷步内保持不变;如果为斜坡加载,则载荷值在当前载 荷步的每一子步内线性变化。 3.5.6 非线性选项 .5.6 如果存在非线性则需要定义非线性荷载步选项,包括
? 平衡迭代次数

本选项设置每一子步允许的最大迭代次数, 默认值为 25, 对大多数非线性热分析问题已经足够。 ? 自动时间步长 对于非线性问题,可以自动设定子步间载荷的增量,保证求解的稳定性和准确性。 ? 收敛容差 只要运算满足所说明的收敛判据,程序就认为它收敛,收敛判据可以基于温度、也可以是热流 率,或二者都有。在实际定义时,需要说明一个典型值(CNVTOL 命令的 VALUE 域)和收敛容差(TOLER 域),程序将 VALUE*TOLER 的值视为收敛判据。例如,如说明温度的典型值为 500,容差为 0.001, 那么收敛判据则为 0.5 度。 对于温度,ANSYS 将连续两次平衡迭代之间节点上温度的变化量( ?T = Ti ? Ti ?1 )与收敛准则 进行比较来判断是否收敛。就上面的例子来说,如果在某两次平衡迭代间,每个节点的温度变化都 小于 0.5 度,则认为求解收敛。 对于热流率,ANSYS 比较不平衡载荷矢量与收敛标准。不平衡载荷矢量表示所施加的热流与内 部(计算)热流之间的差值。 ANSYS 公司推荐 VALUE 值由缺省确定,TOLER 的值缺省为 1.0e-3。 ? 求解结束选项 假如在规定平衡迭代数内,其解并不收敛,那么 ANSYS 程序会根据用户设置的终止选项,来决 定程序停止计算或是继续进行下一个载荷步。 ? 线性搜索 设置本选项可使 ANSYS 用 Newton-Raphson 方法进行线性搜索

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? 预测-矫正

本选项在每一子步的第一次迭代时,对自由度求解进行预测矫正。 3.5.6.1 用图形跟踪收敛 .5.6.1 进行非线性热分析时,ANSYS 在每次平衡迭代完成后,都计算收敛范数,并与相应的收敛标准 比较。 不管是使用在批处理还是交互式方式的方法, 都可以在计算过程中, 使用图形求解跟踪 (GST) 来显示计算的收敛范数和收敛标准。在交互式时,缺省为图形求解跟踪(GST)打开,批处理运行时, 缺省为 GST 关闭。使用下面的方法可以,可打开或关闭 GST: 命令:/GST /GST GUI:Main Menu>Solution>Load Step Opts-Output Ctrls>Grph Solu Track 下图是一个典型的 GST 图形。 图 3-1 使用 GST 追踪收敛范数

3.5.7 输出控制 .5.7 可以控制下列三种输出: ? 控制打印输出 本选项控制将何种结果数据输出到打印输出文件(jobname.out)中。 ? 控制数据库和结果文件输出 该选项控制将何种结果数据输出到结果文件(jobname.rth)中。 ? 外推结果 该选项可将单元积分点结果拷贝到节点上,而不是按常规的方式外推到节点上(缺省采用外推 方式) 。 3.5.8 定义分析选项 .5.8 可考虑的分析选项有:
? Newton-Raphson 选项。该选项仅对非线性分析有用,用以定义在求解过程中切线矩阵的更新
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频率,有四种选择: 1. Program-chosen (程序选择,此为默认值,在热分析中建议采用) 2. Full(完全法) 3. Modified(修正法) 4. Initial Stiffness(初适刚度法) 注意--对于单物理场非线性热分析,ANSYS 通常采用全 N-R 算法。 注意 要定义该选项,或打开/关闭 N-R 自适应下降功能(只对全 N-R 法有效) ,方发如下: 命令:NROPT NROPT GUI:Main Menu>Solution>Unabridged Menu>Analysis Options ? 选择求解器 ANSYS 中可以选择下列的求解器: 1. Sparse 求解器(静态和全瞬态分析的默认求解器) 2. Frontal 求解器 3. Jacobi Conjugate Gradient(JCG) 求解器 4. JCG out-of-memory 求解器 5. Incomplete Cholesky Conjugate Gradient(ICCG) 求解器 6. Pre-Conditioned Conjugate Gradient (PCG) 求解器 7. PCG out-of-memory 求解器 8. Algebraic Multigrid (AMG) 求解器 9. Distributed Domain Solver (DDS) 求解器 10. Iterative(程序自动选择求解器) 注意--AMG 和 DDS 求解器属并行求解器,需要单独的 ANSYS 产品支持。在《ANSYS Advanced 注意 Analysis Techniques Guide》中对并行求解有更详细描述。选择求解器的方法如下: 命令:EQSLV EQSLV GUI: Main Menu>Solution>Analysis Options 注意:对于不含超单元(辐射分析中用 AUX12 可产生超单元)的热分析模型,可选用 Iterative (快速求解)求解器,但对于含相变的传热问题,则不建议采用(可用 sparse 或 frontal 求解器) 。 该求解器在解算过程中不生成 Jobname.EMAT 和 Jobname.EROT 文件。 ? 定义温度偏移 温度偏移为当前所采用温度系统的零度与绝对零度之间的差值。温度偏移包含在相关单元(诸 如有辐射效应或蠕变特性的的单元)计算中。偏移温度输入可以是摄氏度,也可以是华氏度,在进 行热辐射分析时,要将目前的温度值换算为绝对温度。如果使用的温度单位是摄氏度,此值应设定 为 273;如果使用的是华氏度,则为 460。在后处理中,不同的温度可以用同样的方法进行处理。设 置温度偏移的方式如下: 命令:TOFFST GUI:Main Menu>Solution>Analysis Options 3.5.9 保存模型 .5.9 在完成了加载和指定分析类型后,通常建议保存数据库文件,以备在求解过程中由于计算机系 统故障而导致数据丢失后能够恢复数据。 命令: SAVE GUI: 点击 ANSYS 工具条 SAVE_DB 3.5.10 求解 .5.10 命令: SOLVE
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GUI: Main Menu>Solution>Current LS 3.5.11 后处理 .5.11 ANSYS 将热分析的结果写入热结果文件 jobname.rth 中,该文件包含如下数据: ? 基本数据:节点温度 ? 导出数据: 节点及单元的热流密度(TFX, TFY, TFZ, TFSUM) 节点及单元的热梯度(TGX, TGY, TGZ, TGSUM) 单元热流率 节点的反作用热流率 其它 可以用通用后处理器 POST1 进行后处理,下面将讲述在热分析中典型的后处理功能。关于后处 理的完整描述,可参阅《ANSYS Basic Analysis Procedures Guide》 。 注意:在通用后处理器中查看结果时,数据库必须与结果有相同的模型(可以使用命令 RESUME 注意 恢复模型) 。此外,结果文件 jobname.rth 必须可用。 3.5.12 3.5.12 读入结果 进入 POST1 后,首先应读入想要看的载荷步和子步的计算结果: 命令: SET GUI: Main Menu>General Postproc>-Read Results-By Load Step 可通过编号选择要读入的载荷步,可以直接读入第一载荷步、或最后载荷步、或下一载荷步等。 如果是使用 GUI,将会出现一个对话框提示选择要读入的荷载步。用 SET 命令的 TIME 域可读入指定 时刻的计算结果,如在指定时刻无计算结果,则程序根据附近时间点的值线性插值计算得到此时刻 的结果。 3.5.13 查看结果 3.5.13 图 3-2 结果显示云图

3-10

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? 彩色云图显示

命令:PLESOL,PLETAB 或 PLNSOL GUI:Main Menu>General Postproc>Plot Results>Element Solu Main Menu>General Postproc>Plot Results>Elem Table Main Menu>General Postproc>Plot Results>Nodal Solu ? 矢量图显示 命令:PLVECT GUI:Main Menu>General Postproc>Plot Results>Pre-defined or Userdefined 图 3-2 矢量结果显示

? 列表显示

命令:PRESOL,PRNSOL,PRRSOL GUI:Main Menu>General Postproc>List Results>Element Solution Main Menu>General Postproc>List Results>Nodal Solution Main Menu>General Postproc>List Results>Reaction Solu

3.6 稳态热分析的实例1-带接管的圆筒罐 稳态热分析的实例1
本例讲述了如何逐步对一个带接管的圆筒罐进行稳态热分析, 包括批处理的方式和 GUI 的方式。 3.6.1 3.6.1 问题描述 本例题的主要部分为一个圆筒形罐,其上沿径向有一材料一样的接管(如图 4 所所示) ,罐内流 动着 450°F(232°C)的高温流体,接管内流动着 100°F(38 °C)的低温流体,两个流体区域由 2 o 2 薄壁管隔离。罐的对流换热系数为 250Btu/hr-ft - F(1420watts/m -°K) ,接管的对流换热系数随 管壁温度而变,它的热物理性能如表 3-13 所示。要求计算罐与接管的温度分布。 注意:注意:本例只是很多可能的热分析中的一个,并不是所有的热分析都完全按照与本例相 注意 同的步骤。材料属性及其周围的环境条件决定了一个分析应该包括哪些步骤。

3-11

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表 3-13 实例的材料属性
o

温度 密度 导热系数 比热 对流换热系数

70 0.285 8.35 0.113 426

200 0.285 8.90 0.117 405

300 0.285 9.35 0.119 352

400 0.285 9.8 0.122 275

500 0.285 10.23 0.125 221

F
3

lb/in
o

Btu/hr-ft- F
o

Btu/lb- F
2 o

Btu/hr-ft - F

图 3-3 圆柱罐与接管的相接模型(所有单位均为英制)

接管: 内径 di=0.8 外径 do=1.0

接管: 内径 di=2.6 外径 do=3.0 分析模型只建立图中切 下来的那一部分

3.6.2 3.6.2 分析方法 取四分之一对称模型进行分析。假定罐体足够长,使其端部温度能保持常数华氏 450 度。同样 的假设也用于 Y=0 的平面上。建模时,先定义两个圆柱体,再进行“overlap”布尔运算。采用映射 网格划分(全六面体网格) ,分网时可能会出现警告信息说有扭曲单元存在,但可以不理会该警告, 因为所产生的扭曲单元远离所关心的区域(两个柱体相交处) 。 由于材料性质与温度相关,该分析需要多个子载荷步(本例用了 50 个子载荷步) ,同时,采用 了自动时间步长功能。求解完毕后,温度云图和热流密度向量图详细显示了计算结果。 3.6.3 3.6.3 菜单操作过程 3.6.3.1 设置分析标题 1、选择“Utility Menu>File>Change Title” 。 2、输入“Steady-State analysis of pipe junction” ,点击“OK” 。 3.6.3.2 设置单位制 .6.3.2 在命令提示行输入 /UNITS,BIN(该命令无法通过菜单完成) 。

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3.6.3.3 定义单元类型 .6.3.3 1、选择“Main Menu>Preprocesor>Element Type>Add/Edit/Delete” 。 2、点击 Add,打开单元类型库对话框。 3、选择 Thermal Solid,Brick 20 node 90 号单元,点击 OK 和 Close 关闭单元选择菜单。 3.6.3.4 定义材料属性 .6.3.4 1、选择“Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models” 在弹出的材料定义窗 口中顺序双击 Thermal 选项。 2、点击 Density,弹出一个对话框,在 DENS 框中输入 0.285,材料编号 1 出现在材料定义窗口 的左边。 3、在材料定义窗口中顺序双击 Conductivity,Isotropic,弹出一个对话框。 4、点击 Add Temperature 按钮四次,增加四列。 5、在 T1 到 T5 域,分别输入温度值: 70,200,300,400,500,选择温度行,用 Ctrl-C 拷贝 温度值。 6、在 KXX 框中,按温度的顺序,序列输入下列值(注意,各 KXX 值都要除以 12,以保证单位 制一致) 8.35/12,8.9/12,9.35/12,9.8/12,10.23/12。 : 7、在材料定义窗口中双击 Specific Heat,弹出一个对话框 8、点击 Add Temperature 按钮四次,增加四列 9、将鼠标置于 T1 域,用 Ctrl-v 粘贴 5 个温度值 10、在 C 框中,按温度的顺序,序列输入下列值 0.113,0.117,0.119,0.122,0.125 11、在材料定义窗口中选择 Material>New Model,建立新材料号 2 12、在材料定义窗口,双击 Convection 或 Film Coef 13、点击 Add Temperature 按钮四次,增加四列 14、将鼠标置于 T1 域,用 Ctrl-v 粘贴 5 个温度值 15、在 HF(对流换热系数)框中,按温度的顺序,序列输入下列值(注意,各 HF 值都要除以 1144,以保证单位制一致)426/144,405/144,352/144,275/144, 221/144; 16、点击 Graph 按钮,查看对流换热系数与温度的关系曲线,然后点击 OK 17、在材料定义窗口中选择 Material>Exit 退出材料定义窗口 18、在工具栏点击 SAVE_DB 保存数据库。 3.6.3.5 定义几何模型参数 .6.3.5 选择 “Utility Menu>Parameters>Scalar Parameters” 输入 ri1=1.3, , ro1=1.5, z1=2, ri2=0.4, ro2=0.5,z2=2;然后点击 Close。 3.6.3.6 创建几何模型 .6.3.6 1、 “Main Menu>Preprocessor>-Modeling->Create>-Volumes->Cylinder>By Dimensions” 选择 , 在弹出菜单的 Outer radius 框中输入 ro1,Optional inner radium 框中输入 ri1,Z coordinates 框中输入 0 和 Z1,Ending angle 框中输入 90。 2、选择“Utility Menu>WorkPlane>Offset WP by Increments”, 在“XY,YZ,ZXAngles”框 中输入 0,-90。 3、选择“Main Menu>Preprocessor>-Modeling->Create>-Volumes->Cylinder>By Dimensions” , Outer radius 框中输入 ro2 , Optional inner radium 框中输入 ri2,Z coordinates 框中输入 0 和 Z2,Starting angle 框中输入-90,Ending angle 框中输入 0。 4、选择“Utility Menu>WorkPlane>Align WP with>Global Cartesian”。

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3.6.3.7 进行布尔运算 .6.3.7 选择“Main Menu>Preprocessor>-Modeling->Operate>-Booleans->Overlap>Volumes” ,选择 Pick All。 3.6.3.8 观察几何模型 .6.3.8 1、选择“Utility Menu>PlotCtrls>Numbering” ,将 volumes 设置为 ON。 2、选择“Utility Menu>PlotCtrls>View Direction” ,在“Coords of view point”框中输入 -3,-1,1。 3、在工具栏点击 SAVE_DB 保存数据库。 3.6.3.9 删除多余实体 .6.3.9 选择“Main Menu>Preprocessor>-Modeling->Delete>Volume and Below” ,拾取第三,四号体, 或在命令输入行输入 3,4 回车。 AREMOTE 3.6.3.10 创建组件AREMOTE .6.3.10 创建组件AREMOT 本步将选择圆罐的 Y,Z 端面,并将它们定义为一个组件 AREMOTE。 1、选择“Utility Menu>Select>Entities” ,打开选择实体对话框。 2、在对话框中自上而下依次选择:Area,By location,Z Coordinates,在“Min, Max”框 中输入 Z1,选择 From Full,点击 APPLY。 3、接下来选择 Y Coordinates,在“Min, Max”框中输入 0,选择 Also Select,点击 OK。 4、选择“Utility Menu>Select>Comp/Assembly>Create Component” ,在“Component name” 框中输入 AREMOTE, 在“Components is made of”菜单中选择 AREA 3.6.3.11 将线叠加在面上显示 .6.3.11 1、选择“Utility 2、选择“Utility 3、选择“Utility 4、选择“Utility 5、选择“Utility 3.6.3.12 连接面及线 .6.3.12 为划分映射式网格,连接端部的面和线。 1、选择“Main Menu>Preprocessor>-Meshing->-Concatenate-Area” ,选择 Pick all。 2、选择“Main Menu>Preprocessor>-Meshing->Mesh>-Concatenate->Lines” ,拾取 12 和 7 号 线(或在命令行中输入 12,7 并回车) ,点击 APPLY;拾取 10 和 5 号线(或在命令行中输入 10,5 并 回车) ,点击 OK。 3.6.3.13 设定网格密度 .6.3.13 1、选择“Main Menu>Preprocessor>-Meshing->Size Cntrls>Picked Lines” ,选择线 6 和 20, 点击 OK,在 No. of element divisions 框中输入 4,点击 OK。 2、选择“Main Menu>Preprocessor>-Meshing->Size Cntrls>Picked Lines” ,选择线 40,点 击 OK,在 No. of element divisions 框中输入 6,点击 OK。 3、选择“Utility Menu>Select>Everything” 。 4、选择“Main Menu>Preprocessor>-Meshing->Size Cntrls>-Global->Size” ,在 element edge length 框中输入 0.4,点击 OK。 Menu>PlotCtrls>Numbering” ,打开 Area 和 Line 的编号 Menu>Plot>Areas” Menu>PlotCtrls>Erase Options” ,将 Erase between Plots 按钮设置成 Off Menu>Plot>Lines” Menu>PlotCtrls>Erase Options” ,将 Erase between Plots 按钮设置成 On

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3.6.3.14 划分网格 .6.3.14 1、 “Main Menu>Preprocessor>-MeshTool” 弹出 选择 , “MeshTool” 对话框, 用选择 Hex, Mapped。 2、点击 Mesh,选择 Pick All。ANSYS 对实体划分网格后,将会弹出一个对话框显示对单元形 状的警告,点击 Close 将其关闭。 3、选择“Utility Menu>PlotCtrls>Numbering” ,将 Line, Area, and Volume 的按钮设置为 Off,点击 OK。 4、在工具栏点击 SAVE_DB 保存数据库。 3.6.3.15 定义求解类型及选项 .6.3.15 1、选择“Main Menu>Solution>-Analysis Type->New Analysis” ,点击 OK 以选择缺省设置 (Steady-State) 。 2、选择“Main Menu>Solution>-Analysis Options” ,点击 OK 以接受 Newton- Raphson option 的缺省设置(Program-chosen) 。 3.6.3.16 设定均一的起始温度 .6.3.16 选择“Main Menu>Solution>- Loads-Apply> -Thermal- Temperature> Uniform Temp” ,在弹 出窗口的 Uniform temperature 框中输入 450。 3.6.3.17 施加对流载荷 .6.3.17 1、选择“Utility Menu>WorkPlane>Change Active CS to>Global Cylindrical” 。 2、选择“Utility Menu>Select>Entities” ,在对话框中自上而下依次选择:Nodes, By location, X,在“Min, Max”框中输入 ri1,选择 From Full, 点击 OK。 3、选择“Main Menu>Solution>- Loads-Apply> -Thermal-Convection>On Nodes” ,选择 Pick All,在“Film coefficient”和“Bulk temperature”框中分别 输入 250/144 及 450,点击 OK。 AREMOTE组件上施加温度约束 3.6.3.18 在AREMOTE组件上施加温度约束 .6.3.18 1、 “Utility Menu>Select>Comp/Assembly>Select Comp/Assembly”点击 OK 以选中 AREMOTE 选择 , (当前只有一个组件) 。 2、选择“Utility Menu>Select>Entities” ,在对话框中自上而下依次选择:Nodes,Attached to,Area,All,选择 From Full,点击 OK。 3、 “Main Menu>Solution>-Loads-Apply>-Thermal-Temperature>On Nodes”选择 Pick all, 选择 , 在 Load TEMP value 框中输入 450,点击 OK。 3.6.3.19 施加与温度有关的对流边界条件 .6.3.19 在接管的内表面施加随温度变化的对流边界条件。 1、选择“Utility Menu>WorkPlane>Offset WP by Increments” ,在“XY,YZ,ZX Angles”框中 输入 0,-90,点击 OK。 2、 “Utility Menu>WorkPlane>Local Coordinate Systems>Create Local CS> At WP Origin” 选择 , 在 Type of coordinate system 菜单中,选择 Cylindrical 1,点击 OK。 3、 “Utility Menu>Select Entities” 在对话框中自上而下依次选择: 选择 , Nodes, By location, X, 在 Min, Max 框中输入 ri2,选择 From Full,点击 OK。 4、选择“Main Menu>Solution>- Loads-Apply> -Thermal-Convection>On Nodes” ,选择 Pick All,在 Film coefficient 框中输入-2,在 Bulk temperature 框中输入 100,点击 OK。 5、选择“Utility Menu>Select>Everything” 。 6、选择“Utility Menu>PlotCtrls>Symbols” ,在 Show pres and convect as 菜单中选择 Arrow,

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点击 OK。 5、选择“Utility Menu>Plot>Nodes” 。 3.6.3.20 恢复工作平面及坐标系统 .6.3.20 1、选择“Utility Menu>WorkPlane>Change Active CS to>Global Cartesian” 。 2、选择“Utility Menu>WorkPlane>Align WP with>Global Cartesian” 。 3.6.3.21 设定载荷步选项 .6.3.21 要为分析定义 50 个子步, “Main Menu>Solution>-Load Step Options->Time/Frequenc>Time 选择 and Substeps” ,在 Number of substeps 框中输入 50,设置 Automatic time stepping 为 On。 在工具栏点击 SAVE_DB 保存数据库。 3.6.3.22 求解 .6.3.22 选择“Main Menu>Solution>-Solve->Current LS” ,查看分析选项是否正确,关闭/STAT 窗口, 点击 OK。 3.6.3.23 观察节点温度结果 .6.3.23 1、选择“Utility Menu>PlotCtrls>Style>Edge Options” ,设置“Element outlines”框为 Edge only,点击 OK。 2、选择“Main Menu>General Postproc>Plot Results>-Contour Plot-Nodal Solu” ,在弹出 菜单的 Item to be contoured 项选择左边的 DOF solution,右边的 Temperature TEMP,点击 OK。 3.6.3.24 绘制热流矢量图 .6.3.24 1 、 选 择 “ Utility Menu>WorkPlane>Change Active CS to>Specified Coord Sys ” 设 置 , Coordinate system number 为 11,点击 OK。 2、 “Utility Menu>Select>Entities” 在对话框中自上而下依次选择: 选择 , Nodes, Location, By X Coordinates,在“Min,Max”域输入 ro2,点击 Apply;选择 Elements,Attached To,点击 Apply; 选择 Nodes,Attached To,点击 OK; 2、选择“Main Menu>General Postproc>Plot Results>-Vector Plot-Predefined” ,在 Vector item to be plotted 域选择左边的 Flux & gradient,右边的 Thermal flux TF,点击 OK。 3.6.3.25 退出ANSYS .6.3.25 退出ANSYS 点击工具栏中的 QUIT,选择一种退出方式并点击 OK。 3.6.2 3.6.2 等效的命令流方法 /PREP7 /TITLE,Steady-state thermal analysis of pipe junction /UNITS,BIN ET,1,90 MP,DENS,1,.285 MPTEMP,,70,200,300,400,500 MPDATA,KXX,1,,8.35/12,8.90/12,9.35/12,9.80/12,10.23/12 MPDATA,C,1,,.113,.117,.119,.122,.125 MPDATA,HF,2,,426/144,405/144,352/144,275/144,221/144 ! 定义几何模型参数 RI1=1.3

! ! ! ! ! ! !

使用英制单位 定义热单元 密度 建立温度表 导热系数 比热 接管对流系数

! 罐内半径

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RO1=1.5 ! 罐外半径 Z1=2 ! 罐长 RI2=.4 ! 接管内半径 RO2=.5 ! 接管外半径 Z2=2 ! 接管长 !建立几何模型 CYLIND,RI1,RO1,,Z1,,90 ! 1/4 罐体 WPROTA,0,-90 ! 将工作平面旋转到垂直于接管轴线 CYLIND,RI2,RO2,,Z2,-90 ! 1/4 接管 WPSTYL,DEFA ! 将工作平面恢复到默认状态 VOVLAP,1,2 ! 进行 OVERLAP 布尔操作 /PNUM,VOLU,1 ! 打开实体编号 /VIEW,,-3,-1,1 ! 定义显示角度 /TYPE,,4 /TITLE,Volumes used in building pipe/tank junction VPLOT VDELE,3,4,,1 ! 删除多余实体 ! 划分网格 ASEL,,LOC,Z,Z1 ! 选择罐上 Z=Z1 的面 ASEL,A,LOC,Y,0 ! 添加选择罐上 Y=0 的面 CM,AREMOTE,AREA ! 创建名为 AREMOTE 的面组 /PNUM,AREA,1 /PNUM,LINE,1 /TITLE,Lines showing the portion being modeled APLOT /NOERASE LPLOT /ERASE ACCAT,ALL ! 组合罐远端的面及线, 为划分映射网格作准备 LCCAT,12,7 LCCAT,10,5 LESIZE,20,,,4 ! 在接管壁厚方向分 4 等分 LESIZE,40,,,6 ! 在接管长度方向分 6 等分 LESIZE,6,,,4 ! 在罐壁厚方向分 4 等分 ALLSEL ! 选择 EVERYTHING ESIZE,.4 ! 设定默认的单元大小 MSHAPE,0,3D ! 选择 3D 映射网格 MSHKEY,1 SAVE ! 保存数据文件 VMESH,ALL ! 划分网格,产生节点与单元 /PNUM,DEFA /TITLE,Elements in portion being modeled EPLOT ! 显示单元 FINISH

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! 加载求解 /SOLU ANTYPE,STATIC ! 定义为稳态分析 NROPT,AUTO ! 设置求解选项为 Program-chosen Newton-Raphson TUNIF,450 ! 设定初始所有节点温度 CSYS,1 ! 变为柱坐标 NSEL,S,LOC,X,RI1 ! 选择罐内表面的节点 SF,ALL,CONV,250/144,450 ! 定义对流边界条件 CMSEL,,AREMOTE ! 选择 AREMOTE 面组 NSLA,,1 ! 选择属于 AREMOTE 面组的节点 D,ALL,TEMP,450 ! 定义节点温度 WPROTA,0,-90 ! 将工作平面旋转到垂直于接管轴线 CSWPLA,11,1 ! 创建局部柱坐标 NSEL,S,LOC,X,RI2 ! 选择接管内壁的节点 SF,ALL,CONV,-2,100 ! 施加材料 2 中定义的对流系数, 流体温度为 100 ALLSEL /PBC,TEMP,,1 ! 显示所有温度约束 /PSF,CONV,,2 ! 显示所有对流边界 /TITLE,Boundary conditions NPLOT WPSTYL,DEFA CSYS,0 AUTOTS,ON ! 打开自动步长 NSUBST,50 ! 设定子步数量 KBC,0 ! 设定为阶越 OUTPR,NSOL,LAST ! 设置输出 SOLVE ! 进行求解 FINISH ! 进入后处理 /POST1 /EDGE,,1 /TITLE,Temperature contours at pipe/tank junction PLNSOL,TEMP ! 显示温度云图 CSYS,11 NSEL,,LOC,X,RO2 ESLN NSLE /SHOW,,,1 ! Vector mode /TITLE,Thermal flux vectors at pipe/tank junction PLVECT,TF ! 绘制热流矢量图 FINISH /EXIT,ALL

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稳态热分析的实例2 3.7 稳态热分析的实例2-利用表格边界条件进行热分析
本例讲述了如何使用一维的表格施加荷载进行热分析。 问题:静态的热传导问题,1×2 的矩形,其一边有固定温度,其余各变为传热边,对流系数是 X 轴向的函数。 3.7.1 3.7.1 菜单操作过程 3.7.1.1 定义函数表 1、选择“Utility Menu>Parameters>Array Parameters>Define/Edit>Add” ,添加表格。 2、输入参数名称“cvtab”。 3、在参数类型中选择“Table” ;对应 I,J,K 输入 5,1,1;输入 X 作为变量,点击 OK。 4、选择 EDIT,编辑参数表。 5、在表编辑界面中,第 1 列为变量值,跳过第 1 列第 1 排,在第 1 列第 2~6 排中输入 0.0,0.5,1.0,1.5,2.0;同样在第 2 列第 2~6 排输入 20,30,50,80,120。 6、选择“File>Apply/Quit” ,退出。 3.7.1.2 定义单元类型和材料属性 .7.1.2 1、选择“Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete” ,点击 Add。 2、选择选择单元类型:左边选 Thermal Solid,右边选 Quad 4node 55,点击 OK,Close 关闭 单元类型窗口。 3、选择“Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models” ,打开材料定义窗口。 4、在材料定义窗口顺序双击 Thermal, Density,在 DENS 域输入 10.0,点击 OK。 5、双击 Conductivity, Isotropic,在 KXX 域输入 1.0,点击 OK。 6、在材料定义窗口双击 Specific Heat,在 C 域输入 100.0,OK。 7、退出:Material>Exit。 3.7.1.3 建模并划分网格 .7.1.3 1、选择“Main Menu>Preprocessor>-Modeling-Create>-Areas-Rectangle>By Dimensions” 。 2、输入模型参数:X1,X2 域输入 0,2;Y1,Y2 域输入 0,1,点击 OK。 3、选择“Main Menu>Preprocessor>MeshTool” 。 4、在 Mesh Tool 菜单的 Size Controls 区点击 Globl 下的 Set 按钮, 将弹出菜单的 Element endge length 值为 0.5;点击 OK。 5、 Mesh Tool 菜单的 Mesh 区, 在 选择 Areas 和 Map 并确认选择了 Quad 和 3/4 sided, 点击 MESH 按钮,在弹出菜单中点击 Pick All。 6、关闭 Mesh Tool 菜单并在工具栏点击 SAVE_DB 保存数据库。 3.7.1.4 应用表格边界条件 .7.1.4 1、选择“Utility Menu>Plot>Lines” 。 2、选择“Main Menu>Solution>- Loads-Apply> -Thermal-Temperature>On Lines” ,在图形中 选择 X=0 位置的垂直线(左边线) ;点击 OK。 3、在出现的对话窗中输入 TEMP 值 100;点击 OK。 4、选择“Main Menu>Solution>-Loads-Apply>-Thermal-Convection>On Lines” ,在图形中选 择除 X=0 位置的边线外的 3 条边线;点击 OK。 5、在出现窗口的下拉菜单 Apply Film Coef on lines 中选择 Existing table,删除 VALI 中

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的其它值,在 VAL2I Bulk temperature 中输入 20,点击 OK。 6、确认 Existing table 选择窗口中显示的是 CNVTAB,点击 OK 图形上将显示指向变化边界的 指示。 7、选择“Main Menu>Solution>- Loads-Apply> -Thermal-Temperature>Uniform Temp” ,输入 uniform temperature:50,点击 OK。 3.7.1.5 显示所施加的载荷 .7.1.5 1、选择“Main Menu>PlotCtrls>Symbols” ,在 Surface Load Symbols 下拉选项中选择 Convect FilmCoef,在 Show pres and convect as 下拉选项中选择 Arrows,点击 OK。 2、选择“Menu>PlotCtrls>Numbering” ,将 Table Names 设置为 on,点击 OK。 3、在工具栏点击 SAVE_DB 保存数据库。 3.7.1.6 设置分析选项并求解 .7.1.6 1、选择“Main Menu>Solution>-Analysis Type-New Analysis” ,设定分析类型 Steady-State。 2、选择“Main Menu>Solution>- Load Step Opts-Time/Frequenc> Time and Substps” ,在 Time at end of load step 域输入 60,在 Number of substeps 域输入 1,选择 Stepped,点击 OK。 3、选择“Main Menu>Solution>- Load Step Opts-Output Ctrls>DB/Results File” ,在 Item to be controlled 中选择 All items;在 File write frequency 中选择 Every substep。 4、选择“Main Menu>Solution>-Solve->Current LS” ,查看分析选项是否正确,关闭/STAT 窗 口,点击 OK。 3.7.1.7 后处理 .7.1.7 1、选择“Main Menu>General Postproc>-Read Results-Last Set” ,读入结果数据。 2、选择“Utility Menu>List>Loads>Surface Loads>On All Nodes” ,显示表面节点载荷。 3、选择“Main Menu>General Postproc>Plot Results>-Contour Plot-Nodal Solu” ,选择弹 出窗口左边的 DOF Solution,右边的 Temperature,并点击 OK 以显示节点温度等值线。 3.7.1.8 退出ANSYS .7.1.8 退出ANSYS 点击工具栏中的 QUIT,选择一种退出方式并点击 OK。 3.7.2 3.7.2 等效的命令流方法 /batch,list /show /title, Demonstration of position-varying film coefficient using Tabular BC's. /com /com * -----------------------------------------------------------------/com * Table Support of boundary conditions /com * /com * Boundary Condition Type Primary Variables Independent Parameters /com * ----------------------- ----------------- ---------------------/com * Convection:Film Coefficient X /com * /com * Problem description /com * /com * A static Heat Transfer problem. A 2 x 1 rectangular plate is /com * subjected to temperature constraint at one of its end, while the
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/com * remaining perimeter of the plate is subjected to a convection boundary /com * condition. The film coefficient is a function of X-position and is described /com * by a parametric table 'cnvtab'. /com ** *dim,cnvtab,table,5,,,x ! 定义表格 cnvtab(1,0) = 0.0,0.50,1.0,1.50,2.0 ! 自变量名 Var1 = 'X' cnvtab(1,1) = 20.0,30.0,50.0,80.0,120.0 /prep7 esize,0.5 et,1,55 rect,0,2,0,1 amesh,1 MP,KXX,,1.0 MP,DENS,,10.0 MP,C,,100.0 lsel,s,loc,x,0 dl,all,,temp,100 alls lsel,u,loc,x,0 nsll,s,1 sf,all,conv,%cnvtab%,20 alls /psf,conv,hcoef,2 ! 显示对流边界条件 /pnum,tabn,on ! 显示表格 nplot fini /solu anty,static kbc,1 nsubst,1 time,60 tunif,50 outres,all,all solve finish /post1 set,last sflist,all ! 列出对流边界条件 /pnum,tabn,off ! 关闭表格名显示 /psf,conv,hcoef,2 /pnum,sval,1 ! 显示表格边界条件的数值 eplot! convection at t=60 sec. plns,temp fini

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Manual》 3.8 《ANSYS Verification Manual》中与热分析相关的实例
《ANSYS Verification Manual》中包含了很多热分析的实例,尽管这些实例并没有逐步的指导 和所明,但也通过其中的命令及注释来学习热分析中可能会遇到的各种问题。下面列出了校验手册 中与热分析相关的实例:

VM3VM3 Thermal Loaded Support Structure VM23VM23 Thermal-structural Contact of Two Bodies VM27VM27 Thermal Expansion to Close a Gap VM32VM32 Thermal Stresses in a Long Cylinder VM58VM58 Centerline Temperature of a Heat Generating Wire VM64VM64 Thermal Expansion to Close a Gap at a Rigid Surface VM92VM92 Insulated Wall Temperature VM93VM93 Temperature-dependent Conductivity VM94 - Heat-generating Plate VM95 - Heat Transfer From a Cooling Spine VM96 - Temperature Distribution in a Short Solid Cylinder VM97 - Temperature Distribution Along a Straight Fin VM98 - Temperature Distribution Along a Tapered Fin VM99 - Temperature Distribution in a Trapezoidal Fin VM100 - Heat Conductivity Across a Chimney Section VM101 - Temperature Distribution in a Short Solid Cylinder VM102 - Cylinder with Temperature Dependent Conductivity VM103 - Thin Plate with a Central Heat Source VM104 - Liquid-solid Phase Change VM105 - Heat-generation Coil with Temperature Dependent Conductivity VM106 - Radiant Energy Emission VM107 - Thermocouple Radiation VM108 - Temperature Gradient Across a Solid Cylinder VM109 - Temperature Response of a Suddenly-cooled Wire VM110 - Transient Temperature Distribution in a Slab VM111 - Cooling of a Spherical Body VM112 - Cooling of a Spherical Body VM113 - Transient Temperature Distribution in an Orthotropic Metal Bar VM114 - Temperature Response to a Linearly Rising Surface Temperature VM115 - Thermal Response of a Heat-generating Slab VM116 - Heat-conducting Plate with Sudden Cooling VM118 - Centerline Temperature of a Heat Generating Wire VM119 - Centerline Temperature of an Electrical Wire VM121 - Laminar Flow through a Pipe with Uniform Heat Flux VM122 - Pressure Drop in a Turbulent Flowing Fluid VM123 - Laminar Flow in a Piping System

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VM124 - Discharge of Water from a Reservoir VM125 - Radiation Heat Transfer Between Concentric Cylinders VM126 - Heat Transferred to a Flowing Fluid VM147 - Gray-body Radiation Within a Frustrum of a Cone VM159 - Temperature Controlled Heater VM160 - Solid Cylinder with Harmonic Temperature Load VM161 - Heat Flow from an Insulated Pipe VM162 - Cooling of a Circular Fin of Rectangular Profile VM164 - Drying of a Thick Wooden Slab VM192 - Cooling of a Billet by Radiation VM193 - Adaptive Analysis of Two-dimensional Heat Transfer with Convection

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