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浙江高考历年真题之三角函数大题(文科)


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浙江历年文科高考题之三角函数大题
(教师版)

1、 (2005 年)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x

? (Ⅰ) 求 f ( ) 的值; 4

(Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ), f ( ) ?

>?

2

2 ,求 sin ? 的值. 2
?
王新敞
奎屯 新疆

? ? 解析:(Ⅰ)∵ f ? x ? ? sin 2x ? cos2x ∴ f ? ? ? sin ? cos ? 1 2 2 ?4?

?

?

? ? (Ⅱ) f ? ? ? cos ? ? sin ? ? 2 ?2?

?

2

?? 1 ?? 3 ? ? . ∴ sin ? ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? ? ? 4? 2 4? 2 ? ?

? ?? 1 2 3 2 2? 6 ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4? 2 2 2 2 4 ?
∵ ? ? ? 0,? ? , ∴ sin ? ? 0 , 故 sin ? ?

王新敞
奎屯

新疆

2? 6 4

2、 (2006 年)如图,函数 y=2sin(π x+φ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ (Ⅰ)求φ 的值;

? )的图象与 y 轴交于点(0,1). 2

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角 .

解析: (Ⅰ)因为函数图象过点(0,1) ,
所以 2sin x ? 1 ,,即 sin x ? 因为 0 ? l ?

?
2

,所以 l ?

(Ⅱ)由函数 y ? 2sin(? x ?

1 1 5 ) 及其图象,得 M (? , 0), P( , 2), N ( , 0), 6 6 3 6 ???? ? ???? 1 1 所以 PM ? (? , ?2, ) PN ? ( , ?2) , 2 2 ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? 15 15 PM ? PN 从而 cos ? PM , PN ?? ???? ,故 ? PM , PN ?? arccos . ? ???? ? 17 17 PM ? PN

?

? . 6

1 ? 2

3、 (2007 年)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6
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解析: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 .
(II)由 △ ABC 的面积 由余弦定理,得 cos C ? 所以 C ? 60 .
?

1 1 1 BC ?AC ? sin C ? sin C ,得 BC ?AC ? , 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC ?BC 2 AC ?BC 2

4、 (2009 年)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (Ⅰ)求 ? ABC 的面积; (Ⅱ)若 c=1,求 a 的值.

? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

2 解析: (Ⅰ) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所以 bc ? 5 , 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

5、 ( 2010 年) 在△ ABC 中 ,角 A , B , C 所对 的边 分别为 a,b,c, 设 S 为△ ABC 的 面积, 满足

S?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4
(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

(Ⅰ)求角 C 的大小;

解析: (Ⅰ)由题意可知
1 3 absinC= ,2abcosC. 2 4
所以 tanC= 3 . 因为 0<C< π , 所以 C=

π . 3

(Ⅱ)由已知 sinA+sinB=sinA+sin( π -C-A)=sinA+sin(

2π 1 π 3 -A)=sinA+ A+ sinA= 3 sin(A+ )≤ 3 . 3 2 6 2

当△ABC 为正三角形时取等号,所以 sinA+sinB 的最大值是 3 . 6、 (2011 年)已知函数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 ,0 ? ? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像,如

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图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?

2? ,求 A 的值. 3

解析: (Ⅰ)由题意得, T ?

2?

?

?6

3
因为 P(1, A) 在 y ? A sin( 又因为 0 ? ? ?

?
3

x ? ? ) 的图像上,所以 sin(

?
3

? ? ) ? 1.

?
2

,所以 ? ?

?
6

(Ⅱ)设点 Q 的坐标为( x0 , A ).

2? ,得 x0 ? 4 ,所以 Q(4, ? A) 3 6 3 2? 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3
由题意可知

?

x0 ?

?

?

cos ?PRQ ?

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? A2 ) 1 ? ? , 2RP.RP 2 2 3. 9 ? A2

解得 A2=3,又 A>0,所以 A= 3 。 7、 (2012 年)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,且 b sin A ? 3a cos B. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 3,sin C ? 2sin A, 求 a,c 的值。

Ⅰ ) 解析:( 由 b sin A ? 3a cos B. 及正弦定理

a b ? ,得 sin A sin B .

sin B?

3 co Bs ?

tB a? n

?3 B ? 3

?

( Ⅱ ) 由 sin C ? 2sin A 及

a c ? , 得 c ? 2a, sin A sin C

由 b ? 3 及余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, 得9 ? a2 ? c2 ? ac. 所以

a ? 3, c ? 2 3.

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浙江历年文科高考题之三角函数大题
1、 (2005 年)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x

? (Ⅰ) 求 f ( ) 的值; 4

(Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ), f ( ) ?

?

2

2 ,求 sin ? 的值. 2

2、 (2006 年)如图,函数 y=2sin(π x+φ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ (Ⅰ)求φ 的值;

? )的图象与 y 轴交于点(0,1). 2

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角 .

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3、 (2007 年)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

4、 (2009 年)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (Ⅰ)求 ? ABC 的面积; (Ⅱ)若 c=1,求 a 的值.

? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

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5、 ( 2010 年) 在△ ABC 中 ,角 A , B , C 所对 的边 分别为 a,b,c, 设 S 为△ ABC 的 面积, 满足

S?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4
(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

(Ⅰ)求角 C 的大小;

6、 (2011 年)已知函数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 ,0 ? ? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像,如

图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?

2? ,求 A 的值. 3

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7、 (2012 年)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,且 b sin A ? 3a cos B. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 3,sin C ? 2sin A, 求 a,c 的值。

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