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交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:圆锥曲线与方程(word版含答案)


上海交通大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分 必备单元训练:圆锥曲线与方程
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知圆 的倾斜角为

( A. 【答案】A 2.已知双曲线 ) B. C. D. 与直线 仅有一个公共点,则直线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在双曲线第一象限 a 2 b2
1 , tan ?AF2 F1 ? ?2 ,则双曲线 2

的图象上,若△ AF1 F2 的面积为 1,且 tan ?AF1 F2 ? 方程为( A. ) B.

12 x 2 ? 3y2 ? 1 5
2

5x 2 y 2 ? ?1 12 3 x2 5 y2 ? ?1 3 12

C. 3 x ? 【答案】A

12 y 2 ?1 5

D.

2 3.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ,则

?AOB 的面积为(
A.

) B.

2 2

2

C.

3 2 2

D. 2 2

【答案】C 4.已知点 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双 a 2 b2

曲线交于 A 、 B 两点,若 ? ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) A. (1, ??) 【答案】D B. (1, 3) C. (1,2) D. (1,1 ? 2)

第 1 页 共 10 页

5. 椭圆

x2 过 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 , F1 作垂直于 x 轴直线与椭圆相交一个交点为 P, 4
)

则 P 到 F2 的距离为(

A.

3 2

B. 3

C.

7 2

D.4

【答案】C

x2 y2 6. “方程 ? ? 1 表示双曲线”的一个充分不必要条件是( 2 ? m 1? m

)

A. ?2 ? m ? ?1 B. m ? ?2 或 m ? ?1 C. m ? 0 D. m ? 0 【答案】D 7.已知 A(1,3)和直线 l :2x+3y-6=0,点 B 在 l 上运动,点 P 是有向线段 AB 上的分点,且

AP ?

1 PB ,则点 P 的轨迹方程是( 2
B.6x-9y+28=0

) C.6x+9y-28=0 D.6x+9y+28=0 )
2

A.6x-9y-28=0 【答案】C A. y ? ?8 x
2

8.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是( B. y ? ?4 x
2

C. y ? 8 x
2

D. y ? 4 x

【答案】C 9.已知曲线 C: y ? ( ) A. (? 2 ? 1, 2 ) B. (?2, 2 ? 1) C. [0, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1) )

? x 2 ? 2 x 与直线 l : x ? y ? m ? 0 有两个交点,则 m 的取值范围是

【答案】C 2 2 10.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是(

【答案】B 3 2 2 11.已知曲线 f(x)=x +x +x+3 在 x= -1 处的切线恰好与抛物线 y=2px 相切,则过该抛物线 的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为( ) A.4 B. C.8 【答案】A 2 2 12.椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于( 第 2 页 共 10 页 D. )

A.-1 【答案】B

B.1

C.

5

D. -

5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 F1 、 F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为 9 27
.

(2,0), AM 为 ?F1 AF2 的平分线.则 | AF2 |? 【答案】6

14.直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A、B 两点,与 x 轴相交于点 F ,若
2

??? ? ??? ? ??? ? ? OF ? ? OA ? ? OB (? ? ? ) ,则 ?

?



【答案】

1 3

x2 y 2 15.设 AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a b
则 k AB ? kOM ? ____________。 【答案】 ?

b2 a2


2 16.若曲线 y ? x ? 2 与直线 y ? 3x ? k 恰有三个公共点,则 k 的值为

【答案】无解 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知定点 C (?1, 0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点.
2 2

(1)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2
???? ????

(2)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求 出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 2 2 将 y=k(x+1)代入 x +3y =5, 消去 y 整理得 2 2 2 2 (3k +1)x +6k x+3k -5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

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由线段 AB 中点的横坐标是- , 得
x1 ? x 2 3k 2 1 3 =- 2 =- ,解得 k=± ,适合①. 3 2 2 3k ? 1

1 2

所以直线 AB 的方程为 x- 3 y+1=0,或 x+ 3 y+1=0. (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0) ,使 MA? MB 为常数. 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 x1+x2=- ?
6k 2 3k ? 1
2

,x1x2=

3k 2 ? 5 3k 2 ? 1

. ③

所以 MA? MB =(x1-m) 2-m)+y1y2 (x 2 =(x1-m) 2-m)+k (x1+1) 2+1) (x (x 2 2 2 2 =(k +1)x1x2+(k -m) 1+x2)+k +m . (x ?9 分 将③代入,整理得 MA? MB =
1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? 3 3 +m2 = 3k 2 ? 1

(6m ? 1)k 2 ? 5 3k ? 1
2

+m

2

=m +2m- -

2

1 3

6m ? 14 3(3k 2 ? 1)



注意到 MA? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=- ,此时 MA? MB = . 所以,在 x 轴上存在定点 M ? ? ,0 ? ,使 MA? MB 为常数. ? ?
7 ? 3 ?

7 3

4 9

18.已知动点 P 的轨迹是曲线 C ,满足点 P 到点 F (?4, 的距离与它到直线 l : x ? ?1的距离 0)
PQ 之比为常数,又点 (2, 在曲线 C 上. 0)

(1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在直线 y ? kx ? 2 与曲线 C 交于不同的两点 M 和 N ,且线段 MN 的中点为 A(1, 1) 。若存在求出求实数 k 的值,若不存在说明理由。 【答案】 (1)设 P( x,y) ,且
0) ∵ 点 (2, 在曲线 C 上,∴ e ?

PF PQ

? e (常数)

2 ? (?4) ?2. 2 ? (?1)



PF PQ

?

( x ? 4)2 ? y 2 x2 y 2 ? 2 .整理,得 ? ?1. x ?1 4 12

第 4 页 共 10 页

? y ? kx ? 2, ? (2)由 ? x 2 y 2 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 16 ? 0 , ? ?1 , ? ? 4 12
?3 ? k 2 ? 0, ? 则? 2 2 ?? ? (4k ) ? 4 ? (3 ? k ) ? (?16) ? 0. ?

解得 ?2 ? k ? 2 ,且 k ? ? 3 . 实数 k 的取值范围 ?2 ? k ? 2 ,且 k ? ? 3 , 设 M ?x1 , y1 ? ,N ? x 2 , y 2 ? 则

x1 ? x2 2k ?? ?1 2 3? k2
解得 k=3 或 k=-1 -1 ? k ? 2 ? k ? 2, 且k ? ? 3 ,故 k=-1(舍去) 19.已知抛物线的顶点是椭圆 C :

?

?

x2 y2 ? ? 1 的中心 O ,焦点与该椭圆的右焦点重合. 4 3

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的右准线交 x 轴于点 Q,过点 Q 的直线 l 交抛物线于 D、E 两点。求 ?ODE 面 积的最小值; (Ⅲ) A 、 分别为椭圆 C 的左、 设 右顶点, P 为右准线上不同于点 Q 的任意一点, 若直线 AP 、 B BP 分别与椭圆相交于异于 A 、 B 的点 M 、 N 。求证:点 B 在以 MN 为直径的圆内. 【答案】 (1)由题意,可设抛物线方程为 y ? 2 px? p ? 0? .
2

由 a 2 ? b 2 ? 4 ? 3 ? 1 ,得 c ? 1 . ?抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? p ? 2 .

?抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . (2)?椭圆的右准线方程为 x ? 4 ,? Q(4,0) 设直线 l 的方程为 x ? ay ? 4 , D?x1 , y1 ? , E ?x2 , y2 ? . ? x ? ay ? 4 2 联立 ? 2 ,整理得: y ? 4ay ? 16 ? 0 ? y1 ? y2 ? 4a, y1 y2 ? ?16 ? y ? 4x 1 ? S?ODE ? OQ ? y1 ? y2 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 8 a 2 ? 4 2 ?当 a ? 0 时, ( S?ODE )min ? 16
(3) ? A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0,y0) (-2<x0<2). ∵M 点在椭圆上,∴y0=

3 2 (4-x0 ). 4

1 ○

又直线 AP 的方程为 y=

6 y0 y0 ). ( x ? 2) ,则 P(4, x0 ? 2 x0 ? 2

第 5 页 共 10 页

从而 BM =(x0-2,y0) BP =(2, ,
2

6 y0 ). x0 ? 2
2 ○

6 y0 2 2 2 ∴ BM · BP =2x0-4+ = (x0 -4+3y0 ). x0 ? 2 x0 ? 2
将○代入○,化简得 BM · BP = 1 2

5 (2-x0). 2

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 20.已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- . (1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨迹方程; 2 2 (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3) +y =2 的切线,切点分别是 M,N.当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值. 2 【答案】 (1)抛物线方程为:y =2x. (2)①当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=k(x- ),代入 y =2x,得:k x -(k +2)x+ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1+x2=
k2 ?2 2 ,y1+y2=k(x1+x2-1)= . k k2
1 2
2 2 2 2

1 2

1 2

k2 ?0. 4

? 0 ? x1 ? x 2 k 2 ? 2 ? ?x ? ? 3 3k 2 2 2 2 ? 设△AOB 的重心为 G(x,y)则 ? 0 ? y1 ? y 2 2 ,消去 k 得 y = x ? 为所求, y? ? 3 9 ? 3 3k ?

②当直线垂直于 x 轴时,A( ,1) ,B( ,-1) ,△AOB 的重心 G( ,0)也满足上述方 程.
[.Com]

1 2

1 2

1 3

综合①②得,所求的轨迹方程为 y = x ? , (3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 2 , 根据圆的性质有:|MN|=2
2

2

2 3

2 9

| MP | | MQ | | PQ | 2 ?r 2 2 ? 2r ? 2 2 ? 1? . | PQ | | PQ | 2 | PQ | 2

当|PQ| 最小时,|MN|取最小值, 2 2 2 2 2 2 设 P 点坐标为(x0,y0),则 y 0 =2x0.|PQ| =(x0-3) + y 0 = x 0 -4x0+9=(x0-2) +5, ∴当 x0=2,y0=±2 时,|PQ| 取最小值 5, 故当 P 点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值 21.双曲线的中心为原点 于 的直线分别交
2 30 5
2

,焦点在 轴上,两条渐近线分别为 于 两点.已知 第 6 页 共 10 页

,经过右焦点

垂直 与

成等差数列,且

同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

【答案】 (Ⅰ)设双曲线方程为 为 不妨设 ,则 , .

,右焦点

则 因为 所以 ,

, 且 , ,



于是得







同向,故



所以



解得

,或

(舍去) .

因此



所以双曲线的离心率 (Ⅱ)由

. ①

知,双曲线方程可化为

由 的斜率为 将②代入①并化简,得

知,直线

的方程为 .



第 7 页 共 10 页



与双曲线的两交点的坐标分别为

,则

③ 被双曲线所截得的线段长 ④

将③代入④并化简得

,而由有已知

,故





所以双曲线方程为: 22.设双曲线 S :



x2 y 2 ? ? 1, M ? x0 , y0 ? ? S ,且 x0 y0 ? 0 . N ? ? x0 , ? y0 ? ,其中 a 2 b2

2 2 b 2 x0 x0 y0 ? ? .过点 N 的直线 L 交双曲线 S 于 A, B 两点,过点 B 作斜率为 2 的直线 a y0 ? a 2 b2

1

交双曲线 S 于点 C .求证: A, M , C 三点共线.

【答案】设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? .过点 M 作斜率为

b 2 x0 的直线 m ,则直线 a 2 y0

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m 的方程为
y ? y0 ? b 2 x0 ? x ? x0 ? a 2 y0


设直线 m 交 NA 与点 P 、交 NC 于点 Q , F ? xF , y F ? 为 BC 中点. 由 B, C ? S 得:
2 2 2 2 x3 y3 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1. a 2 b2 a b

两式相减后化简后可得:

y F y0 . ? xF x0
∴ F 在直线 MN 上。从而 M 为 PQ 中点. 设直线 L 的斜率为 k ,则直线 L 的方程为 y ? ? y0 ? k ? x ? ? y0 ?
2 x2 1 故 x1 , x2 是方程 2 ? 2 ? k ? x ? ? x0 ? ? ? y0 ? ? 1 的两根.整理得: ? ? a b



? x2 y 2 ? 2 ? ? x k? y ? ? 1 k ? ? 2 ? ? x ? ? x0 ? ? 2 ? 20 ? 2 0 ? ? ? x ? ? x0 ? ? ? 2 ? 0 ? 0 ? ? 1 ? 0 ? 2 2 b ? b2 ? ?a b ? ? a ?a


1

?

?

2 2 x0 y0 ? 2 代入上式,得: a2 b

? 1 k2 ? 2 ? x0 ky0 ? ? 2 ? 2 ? ? x ? ? x0 ? ? 2? ? 2 ? 2 ? ? ? x ? ? x0 ? ? ? ? 1 ? 0 b ? ?a ?a b ?
将其视为关于 ? x ? ? x0 ? 的一元二次方程.由韦达定理,有

1 1 ?2? ? x0 ky0 ? ? ? ? ? ? x1 ? ? x0 x2 ? ? x0 ? ? 1 ? a 2 b 2 ?
联立①②,消去 y 得到



1 ? ? ky0 x0 ? ? ? ?. ? xP ? ? x0 ? ? 1 ? b 2 a 2 ?

比较③式得:

2 1 1 . ? ? xP ? ? x0 x1 ? ? x0 x2 ? ? x0

从而

2 1 1 . ? ? NP NA NB
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下面利用平几知识证明 A, M , C 三点共线.

2 1 1 . ? ? NP NA NB 过 A 做直线 AD ∥ BC ,交 NC 与 D .设 G 为 AD 中点.
首先假设 A, M , C 三点共线,来证明: 由于 AD ∥ BC ∥ PQ ,∴ AD, BC, PQ 的中点 G, F , M 共线(过点 N ) . ∴

NA AG AG AM AP NP ? NA 2 1 1 .整理即得: . ? ? ? ? ? ? ? NP NA NB NB BF FC MC BP NB ? NP 2 1 1 反之,用同一法可证明当 时 A, M , C 三点共线. ? ? NP NA NB

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