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专题复习教案——常用逻辑用语(学生用)


专题复习:

常用逻辑用语

【学法导航】 1.活用“定义法”解题,重视“数形结合” 涉及本单元知识点的高考题,综合性大题不多,所以在复习中不宜做过多过高的要求, 只要灵活掌握小型综合题型就可以了。 定义是一切法则和性质的基础, 是解题的基本出发点, 注意方法的选择,抽象到直观的转化. 2.有意识地在各模块复习中渗透数学思维方法 数学是理性思维的学科,高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”简易逻辑用于可 以和各章融合命题,正是这一理性思维的体现,学生只有在思维能力上有所提高才能让数学 学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的,因此,在第一轮各模块的复习中应尽 量加强学生思维能力方面的培养 3.夯实基础的同时加大信息量 夯实双基是提高数学能力的必要条件, 只有对数学基础知识和数学规律、 性质有一定的 了解才谈得上思维能力的开拓,因此必须注重数学基础的学习。 同时,对于有能力的学生,加大信息量,在教材之外,适当的把一些数学思想,以及与 高中数学相关的部分高等数学内容和思想方法进行适当的渗透,都有助其解决问题 【典例精析】 1. 四种命题的关系 关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述: 第一:交换原命题的条件和结论,所得的命题为逆命题; 第二:同时否定原命题的条件和结论,所得的命题为否命题; 第三:交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题为逆否命题; 例 1(2009 重庆卷文)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数,则它是负数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” )

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2 例 2(07 重庆)命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(



,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

a b 例 3(2005 年江苏卷)命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为__________.

2 命题真假的判断 例 4(07 北京)对于函数① f ?x? ? lg x ? 2 ? 1 ,② f ?x? ? ?x ? 2? ,
2

?

?

③ f ?x ? ? cos?x ? 2? .判断如下三个命题的真假:

?? ?,2?上是减函数,在区间 ?2,??? 上 命题甲: f ?x ? 2? 是偶函数;命题乙: f ?x ?在区间
是增函数;命题丙: f ?x ? 2? ? f ?x ? 在 ?? ?,??? 上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真 的所有函数的序号是() A.①③ B.①② C. ③ D. ②

例 5(08 广东理)已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命 题中为真命题的是( D ) A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q)

例 6(2009 江西卷文)下列命题是真命题的为 A.若

1 1 ? ,则 x ? y x y

B.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? y ,则 x ?

y

2 2 D.若 x ? y ,则 x ? y

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(山东卷)下列四个命题中,真命题的序号有

(写出所有真命题的序号).

①将函数 y= x ? 1 的图象按向量 v=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y= x ②圆 x2+y2+4x+2y+1=0 与直线 y= ③若 sin( ? + ? )=

1 2

1 x 相交,所得弦长为 2 2 1 ,sin( ? - ? )= ,则 tan ? cot ? =5 3

④如图,已知正方体 ABCD- A1B1C1D1,P 为底面 ABCD 内一动点, P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的距离相等,则 P 点的轨迹是 抛物线的一部分.

2.全称命题和特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是特称命题.但同一个特称或全称命题由 于语言环境的不同,可有不同的表述方法,在实际应用中要灵活选择. 例 7(2009 天津卷理)命题“存在 x0 ? R, 2 A. 不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x x0

? 0”的否定是
x0

B. 存在 x0 ? R, 2

?0
x

C. 对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

D. 对任意的 x ? R, 2 >0

例 8(07 宁夏)已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则( A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1



B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

例 9(07 山东)命题“对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( )
3 2

A.不存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

D. 对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

3 充要条件的判断 处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论,然后才能进行推理和判断.不仅 要深刻理解充分、必要条件的概念,而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念.确定
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条件为不充分或不必要的条件时,常用构造反例的方法来说明.等价变换是判断充分、必要 条件的重要手段之一,特别是对于否定的命题,常通过它的等价命题,即逆否命题来考查条 件与结论间的充分、 必要关系. 对于充要条件的证明题, 既要证明充分性, 又要证明必要性, 从命题角度出发,证原命题为真,逆命题也为真;求结论成立的充要条件可以从结论等价变 形(换)而得到,也可以从结论推导必要条件,再说明具有充分性.对一个命题而言,使结 论成立的充分条件可能不止一个,必要条件也可能不止一个.

例 10(2009 安徽 4)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 (A)p: a ? c >b+d , (B)p:a>1,b>1 (C)p: x=1, (D)p:a>1, q: a >b 且 c>d q: f ( x) ? a x ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限 q: x ? x
2

q: f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数

例 11. (2009 山东 5)已知α , β 表示两个不同的平面, m 为平面α 内的一条直线, 则 “? ? ? ” 是“ m ? ? ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

例 12. (2009 北京 5) “? ?

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的( 2



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

例 13(湖南文)“ x ? 1 ? 2 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件

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C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【专题综合】
1 开放性问题 例 1(08 全国 2) 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如两组对边分别平行, 类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① 充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件) ; .

2.知真假性求参数 例 2 已知 p: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q: 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.若 p 或 q 为 真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

3

.充要条件的证明
2

例 3 已知抛物线 C: y ? ? x ? mx ? 1和点 A(3,0) ,B(0,3).求证:抛物线 C 与线段 AB 有两 个不同的交点的充要条件是 3 ? m ? 解: (1)必要性: 由已知得,线段 AB 的方程为 y=-x+3( 0 ? x ? 3 ) 由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点, 所以方程组 ?

10 3

?

y ? ? x 2 ? mx ? 1

? y ? ? x ? 3(0 ? x ? 3)

(*)有两个不同的实数解

2 消元得: x ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 ( 0 ? x ? 3 )

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设 f ( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? 4 则有

? ? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 4 ? 0 ? f (0) ? 4 ? 0 ? ? ? f (3) ? 9 ? 3(m ? 1) ? 4 ? 0 ? m ?1 ? 0? ?3 ? ? 2
(2)充分性 当3 ? m ?

解得 3 ? m ?

10 3

10 时 3

m ? 1 ? (m ? 1)2 ? 16 m ? 1 ? (m ? 1)2 x1 ? ? ?0 2 2
10 10 ? 1 ? ( ? 1) 2 ? 16 m ? 1 ? (m ? 1) ? 16 3 3 x2 ? ? ?3 2 2
2

? 方程 x2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 3 ,
方程组(*)有两组不同的实数解。 因此, 抛物线 y ? ? x ? mx ? 1和线段 AB 有两个不同交点的充要条件是 3 ? m ?
2

10 3

例 4.(08 江苏) 若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?

x ? p1

, f2 ? x ? ? 2 3

x ? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? ? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ?

(Ⅰ)求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ;

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【专题突破】 1. 设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ? A.必要不充分条件 C.充分必要条件
2 2 ? a ?b ? a ?b ,则 p 是 q 成立的( ) ? ? 2 ? 2 ? 2

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2. ( “a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

3. 设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

4、 (07 江西)设 p:f(x)=e +In x+2x +mx+l 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则 p是q的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x

2

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

5、 (07 湖北)已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条 件, q 是 s 的必要条件。现有下列命题:① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是 必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是充分条件;④ ?p是?s 的必要条件而不是充分条件; ⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是(
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A.①④⑤

B.①②④

C.②③⑤

D. ②④⑤

6.(07 山东)下列各小题中, p 是 q 的充分必要条件的是 ① p : m ? ?2,或m ? 6;q : y ? x 2 ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点 ② p:

f ?? x ? ? 1;q : y ? f ?x ? 是偶函数 f ?x ?

③ p : cos? ? cos ?;q : tan? ? tan ?

④ p : A ? B ? A;q : CU B ? CU A A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

7.(福建卷) "tan ? ? 1" 是 "? ? (A)充分不必要条件 (C)充要条件

?
4

"的
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

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