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【启慧】高中数学人教版选修2-2配套课件:6.3 《数学归纳法》


6.3 数学归纳法 【课标要求】 1.了解数学归纳法的原理、证明的步骤及变形的特点. 2.会用数学归纳法证明有关几何问题.整除问题和归纳猜 想的问题. 课前探究学习 课堂讲练互动 自学导引 1. 数学归纳法是一种证明与正整数 n有关的数学命题的重要方 法. 2. 用数学归纳法证明的步骤 (1)证明当n取第一个值n0时结论正确; (2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时结论正确,证明当n= k+1 时结论也正确. 在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的 所有正整数n都正确. 课前探究学习 课堂讲练互动 3.用框图表示数学归纳法的步骤 课前探究学习 课堂讲练互动 自主探究 1.什么是不完全归纳法和完全归纳法? 提示 (1)不完全归纳法:如果我们考察了某类对象中的一部 分,由这一部分具有某种特征而得出该对象中的全体具有这 种特征的结论为不完全归纳法.由不完全归纳法得出的结论 不一定都是正确的,其正确性还需进一步证明. (2)完全归纳法:如果我们考察了某一类对象中的所有对象而 得出了该类对象全体具有某种特征的结论为完全归纳法.由 完全归纳法得到的结论一定是正确的.数学归纳法是一种完 全归纳法. 课前探究学习 课堂讲练互动 2.当n∈N+时,必须从n=1归纳吗? 提示 验证n=n0时的n0未必是1,根据题目要求,有时可以 为2,3等. 课前探究学习 课堂讲练互动 预习测评 n+2 1 - a 1.用数学归纳法证明1+a+a2+?+an+1= (n∈N 1-a + ,a≠1),在验证n=1成立时,左边所得的项为 ( B.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 ). A.1 C.1+a 答案 B 课前探究学习 课堂讲练互动 1 1 1 2.设f(n)=1+2+3+?+ (n∈N+),那么f(n+1)-f(n) 3n-1 等于 1 A. 3n+2 1 1 C. + 3n+1 3n+2 1 1 B. + 3n 3n+1 1 1 1 D. + + 3n 3n+1 3n+2 ( ). 1 1 解析 要注意末项与首项,所以f(n+1)-f(n)= + + 3n 3n+1 1 . 3n+2 答案 D 课前探究学习 课堂讲练互动 3. 用数学归纳法证明“ 2n>n2 + 1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立” 时,第一步证明中的起始值n0应取 A.2 C.5 B.3 D.6 ( ). 解析 当n取1、2、3、4时,2n>n2+1不成立, 当n=5时,25=32>52+1=26, 第一个能使2n>n2+1的n值为5, 故选C. 答案 C 课前探究学习 课堂讲练互动 4. 用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)?(n+n)=2n-1·(n2 +n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是_______. 解析 当n=k时,左端为:(1+1)(2+2)?(k+k), 当n=k+1时, 左端为:(1+1)(2+2)?(k+k)(k+1+k+1), 由k到k+1需添加的因式为:(2k+2). 答案 2k+2 课前探究学习 课堂讲练互动 要点阐释 运用数学归纳法的注意点 数学归纳法的步骤 (1) 是命题论证的基础,步骤 (2) 是判断命题 1. 的正确性能否递推下去的保证,这两个步骤缺一不可.如果缺 少步骤(2),无法对n取n0 后的数时的结论是否正确作出判断; 如果缺少步骤 (1) 这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤 (2)就没有意义了. (1)验证是基础 一般


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