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函数的概念


函数的三要素 一【基础知识讲解】 1. 函数的定义 (1)设 A,B 是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对应于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ?x? 和它对应,那么就 称; f :A 为从集合 A 到 B 的一个函数,记做 y .其中 x 叫做自变 ? B ? f?? x x?A 量,x 的取值集合叫做函数的定义域;与 x 的值

相对应的 y 的值叫做函数值,函 ? 数值得集合 ? 叫做函数的值域。 f?? xx ? A 注意: A,B 都是非空数集,因此定义域、值域为空集的函数不存在。 (2)函数的三要素:对应关系、定义域、值域。其中对应关系是核心,定义域 是根本,当定义域和对应关系已确定,则值域也就确定了。 ① 函数的定义域 函数的定义域是自变量的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,如 果没有标明定义域, 则认为定义域为是使函数解析式有意义或使实际问题有 意义的 x 的取值范围。 具体函数的定义域 A:若函数为整式函数,则函数的定义域为 R. B:偶次根式的定义域是:使被开方数大于等于 0 的 x 的取值范围; C:零指数型函数的定义域是:使底数不为 0 的 x 的取值范围; D:基本初等函数(三角函数,指数、对数函数)的定义域,以后再讲。 E:分式函数的定义域是:使分母不为 0 的 x 的取值范围; F:若函数由两个函数相加构成,则定义域为两个函数的定义域取交集。 如:求下列函数的定义域: (1) y ? ?x ?1?0 x ?x (2) y ? 3 2 ?5 ? x x? 3 2 1 ② 函数对应法则 (1)对应关系 f 是函数关系的本质特征, y ? f?? x的意义是:y 就是 x 在关 ?? 系 f 下的对应值, 而f是 “对应” 得以实现的方法和途径。 如f , x ? 3 x ? 5 ? ? 表示 3 倍的自变量加上 5,如: f 3 ? 3 ? 3 ? 5 ? 14 1 (2) f ?x?与 f ?a?的区别: f ?a?表示当 x=a 时函数 f ?x?的值,是一个量,而 f ?x?是自变量 x 的函数, 在一般情况下,它是一个变量。 f ?a?是 f ?x?的一个特殊值。如一次函数 ,当 x?8时, f 是一个量。 ?? ? ? f x ? 3 x ? 4 8 ? 3 ? 8 ? 4 ? 28 (3)当对应法则施加的对象是解析式中表述的对象不一致时,该解析式不能 2 正确的施加法则,比如: f?? ,左端是对 x 施加法则,右端也是 x? x ? 1 2 关于 x 的解析式, 此式是以自变量 x 的函数解析式; 而对于 f ? ? x ? 1 ? x ? 1 左端是对 x+1 施加法则,右端是关于 x 的解析式,二者不能统一,这时 此式既不是关于 x 的函数解析式,也不是关于 x+1 的解析式。 ③函数的值域 对于函数 y 如函数 y ?x2 x?A ,与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值。 ? f?? x, 2 ,当 x=3 时, y 叫 x=3 时的函数值,函数值的集 ? 5 x ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? 3 ? 27 ? 合? 叫做函数的值域。 f?? xx ? A 注:基本初等函数的值域 ?:一次函数 f 的值域为 R; ? ? ? ? x ? kx ? b k ? 0 ?:反比例函数 f? ?? ? ??k? ?的值域为 ? ? ? , 0 ? 0 , ?? x k? 0 x 2 ?: 二次函数 f 的值域(略) ? ? ?

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