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北京市东城区2016届高三数学5月综合练习试题(二)文


北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (文科)
学校_____________班级_____ __________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项) (1)已知集合 A ? {x ? N x ? 4}, B ? {x ? N x ? 2} ,那么 A ? B ? (A) {3 , 4} (C) N (B) {0 , 1, 2 , 3 , 4} (D) R

(2)如图,根据样本的频率分布直方图,估计样本的中位数是 (A) 10 (C) 13 (B) 12 ( D) 16

(3)执行如图所示程序框图,则输出的结果是

1 6 9 (C) 10
(A)

3 4 11 (D) 12
(B)

(4)已知 A , B 为圆 x ? ( y ? 1) ? 4 上关于点 P(1, 2) 对称的两点,则直线 AB 的方程为
2 2

(A) x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? 3 y ? 7 ? 0

(B) x ? y ? 3 ? 0 (D) 3x ? y ? 1 ? 0

(5)设 a , b 为实数,则“ ab ? 1 ”是“ 0 ? a ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

1 ”的 b

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (3) ? 4 ,则 f (?3) ? (A) ?4 (B) ?2
1

(C) 0

(D) 4

??? ? ??? ? ??? ? ( 7 )已知向量 OA ? (cos ? , sin ? ) ,将向量 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 ? 角得到向量 OB

(0 ? ? ? 90? ) ,则下列说法不正确的是 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (A) OA ? OB ? OA ? OB
(C) OA ? OB ? OA ? OB

(B) AB ?

??? ?

2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(D) (OA ? OB) ? (OA ? OB)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(8) 如图, 在边长为 m 的正方形组成的网格中, 有椭圆 C1 ,C2 ,C3 , 它们的离心率分别为 e1 ,e2 ,

e3 ,则

(A) e1 ? e2 ? e3 (C) e1 ? e2 ? e3

(B) e2 ? e3 ? e1 (D) e2 ? e3 ? e1

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z ,则复数 z ? . . .

(10) 若函数 f ( x) ? a ? sin x 在区间 [?, 2?] 上有且只有一个零点, 则实数 a ?

y2 (11)已知双曲线 x ? 2 ? 1(b ? 0) 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 b ? b
2

(12)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面中, 最大面积为________.

2

n?N , (13) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? ?2 , 且 an +1 = an ? an?2 , 则 a5 ?
?

; 数列 ?an ?

的前 2016 项的和为________. (14 )一名顾客计划到某商场购物,他有三张商场的优惠劵,商场规定每购买一件商品只能使用一 张优惠券.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下: 优惠劵 A:若商品标价超过 50 元,则付款时减免标价的 10% ; 优惠劵 B:若商品标价超过 100 元,则付款时减免 20 元; 优惠劵 C:若商品标价超过 100 元,则付款时减免超过 100 元部分的 18% . 某顾客想购买一件标价为 150 元的商品,若想减免钱款最多,则应该 使用优惠劵 (填 A,B,C);若顾客想使用优惠券 C,并希望比优惠券 A 和 B 减免的钱款都多, 则他购买的商品 的标价应高于________元.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出 文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,且 a ? 3bc .
2

(Ⅰ)若 sin A ? sin C ,求 cos A ; (Ⅱ)若 A ?

? ,且 a ? 3 ,求△ ABC 的面积. 4

(16)(本小题共 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,其前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 (n ? N? ) ,求数列 ?bn ? 的前 8 项和. Sn ? n

(17)(本小题共 14 分)
3

? 在 梯 形 A B C D中 , AB ? CD, AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60 . 平 面 A C E F ⊥ 平 面

A B C D,四边形 ACEF 是矩形, AF ? a ,点 M 在线段 EF 上.

(Ⅰ)求证: BC ? AM ; (Ⅱ)试问当 AM 为何值时, AM ? 平面 BDE ?证明你的结论. (Ⅲ)求三棱锥 A ? BFD 的体积.

(18) (本小题共 13 分) 某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了 140 辆纯电动汽车作为运营车辆.目前 我国主流纯电动汽车按续航里程数 R (单位:公里)分为 3 类,即 A 类: 80 ? R ? 150 , B 类:

150 ? R ? 250 , C 类: R ? 250 .该公司对这 140 辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表:
类型 已行驶总里程不超过 10 万公里的车辆数 已行驶总里程超过 10 万公里的车辆数

A类

B类

C类

10
20

40
20

30
20

(Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取一辆,求该车行驶总里程超过 10 万公里的概率; (Ⅱ)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取 14 辆车进行车况分析,按表中描述的六种情况进 行分层抽样,设从 C 类车中抽取了 n 辆车. (ⅰ)求 n 的值; (ⅱ)如果从这 n 辆车中随机选取两辆车,求恰有一辆车行驶总里程超过 10 万公里的概率.

(19)(本小题共 13 分)
4

已知椭圆 C :

x2 y 2 + ? 1 (a ? b ? 0) 与 y 轴交于 B1, B2 两点, F1 为椭圆 C 的左焦点,且△ a 2 b2

F1B1B2 是边长为 2 等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P ,Q 两点, 点 P 关于 x 轴的对称点为 P , 1( P 1 与 Q 不重合) 则直线 PQ 1 与 x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是, 请说明理由.

(20)(本小题共 14 分)

a ? x ,a?R . x 1 (Ⅰ)若 a ? ?1 ,求 f ( x ) 在区间 [ , 3] 上的最大值; 2
设函数 f ( x) ? (Ⅱ)设 b ? 0 ,求证:当 a ? ?1 时,过点 P(b , ? b) 有且只有一条直线与曲线 y ? f ( x) 相切; (Ⅲ)若对任意的 x ? [ , 2] ,均有 f ( x) x ?1 ? 1成立,求 a 的取值范围.

1 2

5

北京市东城区 2015-2016 学年第二学期高三综合练习(二) 数学参考答案及评分标准 (文科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)B (2)C (6)B (3)D (7)C (4)A (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2 ? i (11) 2 (13) 2 (10) 1 (12) 2 3

0

(14)B

225

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)由 sin A ? sin C ,得 a ? c . 又 a ? 3bc ,所以 c ? 3b .
2

由余弦定理可得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 9b2 ? 9b 2 1 ? ? . 2bc 2b ? 3b 6

????????6 分

2 (Ⅱ)由已知 a ? 3bc ,且 a ? 3 ,

所以 bc ? 3 . 故△ ABC 的面积 S ? (16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 由 a5 ? a7 ? 26,得 a6 ? 13 , 又 a6 ? a3 ? 3d ? 6 ,解得 d ? 2 . 所以 an ? a3 ? (n ? 3)d ? 7 ? 2(n ? 3) ? 2n ? 1. 所以 Sn ? (Ⅱ)由 bn ?

1 1 2 3 bc sin A ? ? 3 ? ? 2. 2 2 2 4

??????? 13 分

a1 ? an 3 ? 2n ? 1 ?n ? ? n ? n 2 ? 2n . 2 2

????????6 分

1 1 1 1 1 ? ? ? ,得 bn ? 2 . n ? n n(n ? 1) n n ? 1 Sn ? n

6

设 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 则 T8 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1 ? 故数列 ?bn ? 的前 8 项和为 (17)(共 14 分) 证明:(Ⅰ)由题意知,梯形 ABCD 为等腰梯形,且 AB ? 2a , AC ? 3a ,
2 2 2 由 AB ? BC ? AC ,可知 AC ? BC .

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 1 8 9

1 8 ? . 9 9
??????? 13 分

8 . 9

又 平 面 ACEF? 平 面 A B C D, 且 平 面 ACEF ? 平 面 A B C D ? AC , BC ? 平 面

A B C D,
所以 BC ? 平面 ACEF . 又 AM ? 平面 ACEF , 所以 BC ? AM . (Ⅱ)当 AM ? ????????5 分

2 3a 时, AM ? 平面 BDE . 3

证明如下: 当 AM ?

2 2 3 3a ,可得 FM ? 3a a ,故 EM ? 3 3 3

在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连结 EN ,由已知可得 CN : NA ? 1: 2 , 所以 AN ?

2 3a . 3

所以 EM ? AN . 又 EM ? AN , 所以四边形 ANEM 为平行四边形. 所以 AM ? NE . 又 NE ? 平面 BDE , AM ? 平面 BDE , 所以 AM ? 平面 BDE . 当 AM ?

2 3a 时, AM ? 平面 BDE . 3

??????? 11 分

(Ⅲ)由已知可得△ ABD 的面积 S ? 故 VA? BFD ? VF ? ABD ?

3 2 a , 2

1 1 3 2 3 3 ? AF ? S△ABD ? ? a ? a ? a . 3 3 2 6
???? 14 分
7

(18)(共 13 分) 解:(Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取一辆,则该车行驶总里程超过 10 万公里的概率为

20 ? 20 ? 20 3 ? . 140 7 30 ? 20 ? 14 ? 5 . (Ⅱ)(ⅰ)依题意 n ? 140 P 1 ?

????????3 分 ????????6 分

(ⅱ) 5 辆车中已行驶总里程不超过 10 万公里的车有 3 辆,记为 a, b, c ;

5 辆车中已行驶总里程超过 10 万公里的车有 2 辆,记为 m, n .
“ 从 5 辆 车 中 随 机 选 取 两 辆 车 ” 的 所 有 选 法 共 10 种 :

ab , ac , am , an , bc , bm , bn , cm , cn , mn .
“ 从 5 辆 车 中 随 机 选 取 两 辆 车 , 恰 有 一 辆 车 行 驶 里 程 超 过 10 万 公 里 ” 的 选 法 共 6 种 :

am , an , bm , bn , cm , cn .
则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过 10 万公里的概率 P2 ? 分 (19)(共 13 分) 解:(Ⅰ)依题意可得 2b ? 2 ,且 a ? b ? c ? 4 ,
2 2 2

6 3 ? .??????? 13 10 5

解得 b ? 1 . 所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????? 5 分

? x2 2 ? ? y ? 1, (Ⅱ)由 ? 4 消 x ,得 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 1 ?
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 P 1 ( x1 , ? y1 ) . 且 y1 ? y2 ? ?

2m 3 , y1 y2 ? ? 2 . 2 m ?4 m ?4

经过点 P 1 ( x1 , ? y1 ) , Q( x2 , y2 ) 的直线方程为 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ). x2 ? x1

令 y ? 0 ,则 x ?

x2 ? x1 ( x ? x ) y ? x ( y ? y2 ) x2 y1 ? x1 y2 y1 ? x1 ? 2 1 1 1 1 ? . y2 ? y1 y1 ? y2 y1 ? y2

又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1,

8





y?0





x?

(m y2 ? 1 ) y 1 ? (m y 1 ? 1)y 2 ? y1 ? y2

2m1y 2y ? ( 1? y y1? y2

6m ? 2 y) 2 . ? m ?4 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 2m ? 2 m ?4
??????? 13 分

即直线 PQ 1 与 x 轴交于定点 (4 , 0) . (20)(共 14 分) 解:(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x ) ? ?

1 ? x. x 1 ?( x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? 2 ? 1 ? . x x2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 1 . 当 x ? [ , 1) ,有 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 [ , 1) 上是增函数; 当 x ? (1 , 3] 时,有 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 (1 , 3] 上是减函数; 所以 f ( x ) 在区间 [ , 3] 上的最大值为 f (1) ? ?2 . 5分 (Ⅱ)设过点 P(b , ? b) 的直线与曲线 y ? f ( x) 相切于点 Q( x0 , y0 ) , 则 y0 ? ?

1 2

1 2

1 2

???????

1 1 ? x0 ,且切线斜率为 k ? f ?( x0 ) ? 2 ? 1 . x0 x0

?1 ? x0 ? b x0 y0 ? (?b) 1 ? 2 ?1 . 所以 ? f ?( x0 ) ,即 x0 ? b x0 ? b x0
所以 (

b ?1 ? x0 ? b) x0 2 ? (1 ? x0 2 )( x0 ? b) ,解得 x0 ? . 2 x0 b 2 b , ? ? ). 2 b 2
??????? 9 分

即存在唯一 的切点 (

所以过点 P(b , ? b) 有且只有一条直线与曲线 y ? f ( x) 相切. (Ⅲ)当 x ? 1 时,对任意 a ? R ,不等式显然成立; 当 x ? 1 时,不等式等价于 a ? x ?
2

x . x ?1
2

当 x ? [ , 1) 时,不等式等价于 a ? x ?

1 2

x 恒成立. 1? x
9

令 g ( x) ? x ?
2

x 1 , x ? [ , 1) , 1? x 2
1 1 ,当 x ? [ , 1) 时,显然 g ?( x) ? 0 , 2 2 ( x ? 1)

则 g ?( x) ? 2 x ?

1 2 1 1 5 所以 g ( x) 在区间 [ , 1) 上有最小值 g ( ) ? . 2 2 4 5 所以 a ? . 4 x 2 当 x ? (1, 2] 时,不等式等价于 a ? x ? 恒成立. x ?1 x 2 令 h( x ) ? x ? , x ? (1, 2] , x ?1 x 1 2 =x 2 ? 1 ? ? x2 ? 1 ? 2 , 当 x ? (1, 2] 时, h( x) ? x ? x ?1 x ?1 5 x 2 所以,当 a ? 时,不等式 a ? x ? 对 x ? (1, 2] 恒成立. 4 x ?1 5 综上,实数 a 的取值范围是 ( ?? , ] . 4
所以 g ( x) 在区间 [ , 1) 上单调递增, 分

??????? 14

10


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