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类比探究专项复习


类比探究专项复习 ——由特殊到一般
郑州市第四十七中学 贾晓丽

一、 中考相关分析: 几何中的类比探究题是中考中的第 22 题,是中考数学考试中的 难点,内容形式丰富,侧重数学思想方法。如何拿下这只“拦路虎”, 对我们在中考中能否脱颖而出起着关键的作用。一般会结合几何变 换、几何模型、几何结构来考查,找思路的关键是找特征、找模型、 找结构, 观察问

题与问题之间的联系, 进而做到框架明晰、 过程简洁。 综合分析近三年中考 22 题题型,都体现了由特殊到一般的数学 思想,2012 年 22 题体现了数量关系上由特殊到一般,2013 年 22 题 体现了图形位置(旋转)上由特殊到一般,2014 年 22 题体现了图形 形状上由特殊到一般,本节课选择 2014 年中考试题作为主要分析对 象,归纳总结解决这类问题的解题思路方法。 二、 目标制定: 类比探究作为中考 22 题题型,难度较大,侧重数学思想方法。 图形多变、思路灵活,因此本节课在每一步的设置中,除了关注学生 对相关知识的掌握,更要多关注学生对图形分析的能力,和相关思想 方法的领悟。 依据中考分析,根据教材内容和学生的实际情况,确定本节课的 学习目标为: 1、通过对 2014 年中考题第 1、2 问的分析,提高对图形分析的能力, 能对边角进行正确的转化,总结前两问的解题思路和方法; 2、通过对 2014 年中考题第 3 问的分析,学会问题之间的转化,变未 知为已知,化繁为简; 3、通过对 2012 年中考题第 22 题的解题思路分析,巩固解决类比探 究题型的解题技巧,总结出类比探究题型解题的思想方法。

三、 评价设计: 针对本节课的学习目标,本节课的评价任务如下: 评价任务一:通过对 2014 年中考题第 1、2 问的解决,关注学生 是否能准确找出题中存在的不变的图形关系和思路方法.能否总结这 类题的解题思路.对应学习目标 1 评价任务二: 通过对 2014 年中考题第 3 问的分析,关注学生能否 从复杂的图形关系中构造出与前一问之间的联系 .能否变未知为已 知,对应学习目标 2 评价任务三:通过对 2012 年中考第 22 题的分析,关注学生对类 比探究题型的理解程度,进而通过课下作业完成情况,反馈学生解决 问题时出现的问题,及时纠正。 四、 教法学法: 类比探究作为中考 22 题题型,从图形上和解题思路方法上存在 多种,从前后问题的设置上还存在着递进或者并列等不同的关系,内 容较多难度较大。因此作为此类专题复习的第一堂课,本节课我首先 简单分析近三年中考此类题型,总结其中体现的的数学思想(由特殊 到一般) ,然后选择 2014 年中考 22 题题为例,详细分析,采用启发 引导、自主学习和小组合作、个人展示的教学法,边分析边总结边整 合,层层递进,最终达成本节课的学习目标. 五、 课前准备: 多媒体课件、学案、圆规等。 六、教学过程:
学习环节 一:引例 学习目标 通过引例,考察 学生对全等三角 形的判定和性质 的掌握程度。 学习评价 在学生已有的 知识基础上, 关注他们是否 掌握了全等的 判定和性质。 学习活动 已知:如图, ∠AOB=∠COD, AO=BO, CO=DO, 根据已知条件你能得出那些 结论? 设计意图 建立基本的图形 结构, 为下一步分 析中考题做铺垫.

借助问题与问题

通过学生的展

2014 年河南中考(10 分)

第一问中, 条件往

二 : 2014 年中考 22 题分析: 第1问

的联系,寻找条 件和思路,能够 准确地解决类比 探究题中的第一 问.

示,观察学生 是否准确地找 到全等关系, 从而实现边角 的转化;及时 对于思路清晰 的学生,给予 及时的鼓励和 表扬。

(1)问题发现 如图 1, △ACB 和△DCE 均为等边三 角形,点 A、D、 E 在同一直线上, 连接 BE 填空: ①∠AEB 的度数 为_______ ②线段 AD 与 BE 之间的数量关系是 _____. (学生思考,发言展示,互评反思) 总结:借助问题与问题的联系,寻找 解题思路.(条件充分,易分析)

往比较充分易分 析解决问题。 这样设计一方面 可以增强学生解 决问题的信心, 另 一方面也可以检 验学生对基础知 识的掌握程度, 同 时还为下一步的 类比变形做铺垫。

变式

通过对变式的分 析,观察总结出 图形存在的相同 的几何模型, . 举一反三,培养 学生观察能力、 照搬类比意识和 创新能力.

在学生思考, 总结展示,互 评的过程中, 关注学生的理 解及表达情 况,鼓励他们 去发现问题, 解决问题.

变式 1: 如图,△ACB 和△DCE 均为等腰直角 0 三角形,∠ACB=∠DCE=90 ,点 A、D、 E 在同一直线上,连接 BE。填空: ② ∠AEB 的度数为_______ 通过变式的探究, ②线段 AD 与 BE 之间的数量关系是 让学生体会到图 ___________. 形中存在的相同 的几何变换 (旋转 变换) 、几何模型 (全等三角形) , 感受其中蕴含的 从特殊到一般的 变式 2: 数学思想, 找到变 如图,△ACB 和△DCE 均为等腰三角 化的量和不变的 形,AC=BC,DC=EC, ∠ACB=∠DCE,点 量, 树立化未知为 A、D、E 在同一直线上,连接 BE。 已知的数学化归 填空: 思想。 ① 与∠AEB 相等的角为_______

② 线段 AD 与 BE 之间的数量关系是
_____________.

二 : 2014 年中考 22 题分析: 问题 2

通过问题 2 的分 析,经历寻找图 形中存在的相 同或相似的几何 模型、 结构特征, 会利用类比、照 搬的思路方法解 决问题。

学生是否积极 主动思考,能 否用自己的语 言进行表达, 能否结合新的 条件,分析出 正确的结论。

(2)拓展探究 如图 2, △ACB 和△DCE 均为等腰直角 0 三角形,∠ACB=∠DCE=90 ,点 A、D、 E 在同一直线上,CM 为△DCE 中 DE 边上的高,连接 BE。请判断∠AEB 的 度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量 关系,并说明理由。

通过问题 2 和变 式的联系, 经历观 察图形中存在的 相同的结构特征, 沿用问题 1 中的 思路方法, 结合 新的条件, 解决问 题。 也是对解决类比 探究问题时, 所用 的思路方法的一 种很好的展示与 评价。

思路:寻找不变的几何模型,利用利 用上一问的方法, 类比解决这一问的 解题思路. 二 : 2014 年中考 22 题分析: 问题 3 通过对问题 3 的 分析研究,体会 变未知为已知的 过程,感受数学 中的化归思想和 化繁为简的数学 方法. 在学生的参与 中,1、关注孩 子对相关知识 点的理解掌握 情况, ,及时给 与补充或纠 正,2、关注孩 子的表情和状 态,掌握他们 对此深度的问 题的理解状 况. (3)解决 问题 如图 3,在正方形 ABCD 中, CD= 2 。若点 P 满足 PD=1,且∠ BPD=900,请直接写出点 A 到 BP 的 距离。 问题 3 ,较前两 问,看似没有联 系, 实则不然。 详 讲这个题, 让学生 体会建立未知与 已知的联系, 从而 从中找到思路方 法; 让学生感受到 次压轴题并没有 想象中的那么难。 从而增强他们分 析研究此类题的 信心。

思路: 1、 通过适当的辅助线,找到关键的 点和线. 2、 变未知为已知,化繁为简(类比 上一问的图形结构,构造出相同 的几何模型,类比、求解) 2012 年河南中考 22 题(10 分) 类比、转化、从特殊到一般等思想方 法,在数学学习和研究中经常用到, 如下是一个案例, 请补充完整。 原题: 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 BC 边的中点,点 F 是线段 AE 上一 点,BF 的延长线交射线 CD 于点 G。 AF CD 若 ? 3,求 的值 . EF CG (1) 尝试探究

三: 2012 年中 考 22 题的 分析比较

通过 2012 年的 中考试题做题思 路方法的分析, 体会类比探究题 的部分出题模 式,分析总结出 解决此类问题的 思想方法。

分 析时, 关 注学生的参与 度,和记笔记 的情况。 此 部分还 作 为课下作业, 要求学生完 成,从而进一 步反馈,学生 对相关知识的 掌握程度。

观察图形中存在 的几何变换、 几何 模型、 几何结构来 考查, 找思路的关 键是找特征、 找模 型、 找结构, 观察 问题与问题之间 的联系, 进而做到 框架明晰、 过程简 洁。 这两道题, 只做思 路方法的分析 (图 形分析、条件转

关 注学生 对 第一问条件充 A 字型、8 字型 分, 能够利用相 相似三角形的 似找到边与边之 判定的掌握程 间的转化,由简 度。关注学生 到繁, 层层递进, 能否对边进行 解决问题。 转化。

在图 1 中,过点 E 作 EH // AB 交 BG 化) ,对详细的计 于点 H,则 AB 和 EH 的数量关系是 算过程和结果不 ________, CG 和 EH 的数量关系是 做要求。 CD _____________, 的值是 ______。 CG 当问题较复杂时, 一个问题分为几 个问题,由易到 难, (提示出了做 题的思路方法) , 从而解决问题。

体现类比探究解 题的思路方法。

关 注学生 对 边的转化掌握 的灵活程度

借助问题与问题之间的联系, 准确找 到解题思路方法(利用相似)。 (2)类比延伸 如图 2,在原题的条件下,若 AF ? m(m ? 0), EF

由特殊到一般, 找 到其中存在的相 同的结构特征和 几何模型( A 字 CD 8 字型相似三 (用含 m 的代数 型、 则 的值是 ______ CG 角形) ,体现类比 式表示), 试写出解答过程. 探究中寻找思路 分析图形中体现的结构特征, 找出几 方法的规律特征。 何模型 (A 字型、 8 字型相似三角形) , 解决问题。 (3)拓展迁移 如图 3,梯形 ABCD 中 , DC//AB, 点E是 BC 的延长线上 一点,AE 和 BD 相交于点 F. 若 AB , ?a CD 只需让学生简单 感知边与边之间 存在的关系, 从而 可以通过边的转 化, 实现问题的解 决。 类比上一问图形, 建立前后的联系, 体现类比思想, 和 化未知为已知的 BC AF ? b(a ? 0,b ? 0),则 的值是 数学化归思想。 BE EF

通过方法的类比 指导, 简单体会, 边之间的关系, 利于边的转化准 确,直接。

关 注学生 辅 助线添加的正 确度,能否对 照前一问构造 出与之相同的 几何模型,关 注学生能否对 边进行准确地 转化。

______(用含 a,b 的代数式表示个) 由特殊到一般, 利用相同的几何模型 (相似三角形),类比照搬上一问解 题过程,变未知为已知。

五:课堂小结: 本节课你有什么收获?

(学生谈自身的收获,各抒己见、相互补充、必要时老师继续补充) 总结:类比探究问题的解题思路方法: 第一问:①条件充分,易解决; ②推理有 难度;此时往往会给提示:辅助线的做法、边角 的转化: (小明是这样做的, ) 第二问:①观察分析图形中存在相同的结构特征、几何模型、或者是 其中蕴含的几何变换。 ②类比、照搬上一问的解题思路方法,进行分析求解; 第三问:①变未知为已知,化繁为简,抽象出与前一问相同或相似的 几何结构或模型,提高做题效率。 六:作业布置: 完成 2012 年和 2013 年中考 22 题的书面详解. 设计意图:通过相关习题的练习和处理,可以及时反馈学生对类比探 究掌握的程度,反馈课堂上对问题解决的掌握程度。 七:课后反思:


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