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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含解析)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含解析)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、 已知 A、1+i 【答案】D 【解析】 试题分析:.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数 z 的代数式; 由题

(1 ? i ) 2 =1+i(i 为

虚数单位) ,则复数 z=( z
B、1-i

) D、-1-i

C、-1+i

(1 ? i)2 (1 ? i) 2 ?2i ?2i(1 ? i) ? 1 ? i,? z ? ? ? ? ?1 ? i ,故选 D. z 1? i 1? i 2

考点: 复数的运算 2、 在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)如图 I 所示;

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间[139,151] 上的运动员人数为( ) A、 3 【答案】B B、4 C、5 D、6

考点:茎叶图 3、设 x ? R,则“x>1”是“ x >1”的(
2

) B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分不必要条件 C、充要条件 【答案】C 【解析】

1

试题分析: .由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系; 由题易知 “x>1” 可以推得 “ x >1” , “ x >1”可以得到“x>1” ,所以“x>1”是“ x >1”的充要条件,故选 C. 考点:命题与条件
2 2

2

?x ? y ? 1 ? 4、若变量 x、y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,则 z=2x-y 的最小值为( ? x ?1 ?
A、-1 【答案】A B、0 C、1

)

D、2

考点:简单的线性规划 5、执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 n=3,中输入的 S=( )

2

A、

6 7

B、

3 7

C、

8 9

D、

4 9

【答案】B

考点:程序框图

x2 y 2 6、若双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,则此双曲线的离心率为 a b
A、

7 3

B、

5 4

C、

4 3

D、

5 3

【答案】D 【解析】 试题分析:由题利用双曲线的渐近线方程经过的 点,得到 a、b 关系式,然后求出双曲线的离心率即可. 因为双曲线 故选 D.
3

x2 y 2 2 ? 4a? , 9( c?a ?2 ) 1 6a ?2e ?, ? 2 ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,? 3b 2 a b

c 5 = . a 3

考点:双曲线的简单性质 7、若实数 a,b 满足 A、 2 【答案】C

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值为( a b
B、2

) D、4

C、2 2

考点:基本不等式 8、设函数 f(x)=ln (1+x)-ln(1-x) ,则 f(x)是( A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数 【答案】A 【解析】 试题分析:求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可. 函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x) ,函数的定义域为(-1,1) ,函数 f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln (1+x)-ln(1-x)]=-f(x) ,所以函数是奇函数. ) B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

f '? x? ?

1 1 1 ? ? ,已知在(0,1)上 f ' ? x ? ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上单调递增,故选 A. 1 ? x 1 ? x 1 ? x2

考点:利用导数研究函数的性质
2 2 9、已知点 A,B,C 在圆 x ? y ? 1上运动,且 AB ? BC,若点 P 的坐标为(2,0) ,则 PA ? PB ? PC 的最

??? ? ??? ? ??? ?

大值为 A、 6 【答案】B 【解析】 试题分析:由题根据所给条件不难得到该圆 x ? y ? 1是一 AC 位直径的圆,然后根据所给条件结合向量的
2 2

B、7

C、8

D、9

4

几何关系不难得到 PA ? PB ? PC ? 2 PO ? PB ? 4 ? PB ,易知当 B 为(-1,0)时取得最大值. 由题意,AC 为直径,所以 PA ? PB ? PC ? 2 PO ? PB ? 4 ? PB ,已知 B 为(-1,0)时, 4 ? PB 取得 最大值 7,故选 B. 考点:直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 10、某工作的三视图如图 3 所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使 新工件的一个面落在原工作的一 个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的 体积) A、

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

8? 9

B、

8 27?

C、

24( 2 ? 1) 2

?

D、

8( 2 ? 1) 2

?

【答案】A

5

考点:三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、已知集合 U= ?1,2,3,4? ,A= ?1,3? ,B= ?1,3, 4? ,则 A ? ( ? U B )=_____. 【答案】{1,2,3}.

考点:集合的运算 12、在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为

? ? 2sin? ,则曲线 C 的直角坐标方程为_____.
【答案】 x ? (y ?1 )? 1
2 2

【解析】 试题分析:将极坐标化为直角坐标,求解即可. 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sn?, ? ? 2 ? 2? sn? ,它的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ,
2 2 故答案为: x2 ? ? x2 ? (y ? 1 ) ?1 . (y ?1 ) ? 1.

考点:圆的极坐标方程 13. 若直线 3x-4y+5=0 与圆 x ? y ? r
2 2 2

,则 ?r ? 0? 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? 120o (O 为坐标原点)

r=_____. 【答案】 【解析】 试题分析:直线 3x-4y+5=0 与圆 x ? y ? r(r>0) 交于 A、B 两点,∠AOB=120°,则△AOB 为顶角为 120°
2 2 2

的等腰三角形,顶点(圆心)到直线 3x-4y+5=0 的距离为

1 r ,代入点到直线距离公式,可构造关于 r 的方 2
6

程,解方程可得答案.
2 如图直线 3x-4y+5=0 与圆 x2 ? y 2 ? r( r>0)交于 A、B 两点,O 为坐标原点,且∠AOB=120°,则圆心(0,

0)到直线 3x-4y+5=0 的距离为

1 5 1 r , ? r, ? r =2 .故答案为 2. 2 32 ? 42 2

考点:直线与圆的位置关系 14、若函数 f(x)=| 2 -2 |-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是_____. 【答案】0<b<2
x

7

考点:函数零点 15、 已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中, 距离最短的两个交点的距离为 2 3 , 则? =_____. 【答案】 ? ?

?
2

考点:三角函数图像与性质 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:

B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 , a2 和 2 个白球 b1 , b2 的乙箱中, 从装有 2 个红球 A 各随机摸出 1 1, A 2 和 1 个白球
个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。 (I)用球的标号列出所有可能的摸出结果; (II)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说 明理由。 【答案】 (I) {A 1 , a1},{A 1 , a2 },{A 1, b 1},{ A 1 , b2 },{ A 2 , a1},{ A 2 , a2 },

{A2 , b1},{A2 , b2},{B, a1},{B, a2},{B, b1},{B, b2}, (II) 说法不正确;

8

【解析】 试题分析: (I)利用列举法列出所有可能的结果即可;(II)在(I)中摸出的 2 个球都是红球的结果数,然 后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率,什么镇江概率大于不中奖概率是错误的; 试题解析: (I)所有可能的摸出结果是: {A 1 , a1},{A 1 , a2 },{A 1, b 1},{ A 1 , b2 },{ A 2 , a1},{ A 2 , a2 },

{A2 , b1},{A2 , b2},{B, a1},{B, a2},{B, b1},{B, b2},
(II)不正确,理由如下: 由(I)知,所有可能的摸出结果共 12 种,其中摸出的 2 个球都是红球的结果为

{A1 , a1},{A1 , a2},{A2 , a1},{A2 , a2}, 共 4 种,所以中奖的概率为
这种说法不正确。 考点:概率统计

4 1 1 2 1 ? ,不中奖的概率为 1 ? ? ? ,故 12 3 3 3 3

17. (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A 。 (I)证明: sin B ? cos A ;

(II)若 sin C ? sin A cos B ?

3 ,且 B 为锐角,求 A, B, C 。 4

【答案】 (I)略;(II) A ? 30? , B ? 120? , C ? 30?. 【解析】

sin A sin A ? ,所以 sin B ? cos A ;(II)根据 cos A sin B 3 3 2 两角和公式化简所给条件可得 sin C ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,可得 sin B ? ,结合所给角 B 的范 4 4
试题分析: (I)由题根据正弦定理结合所给已知条件可得 围可得角 B,进而可得角 A,由三角形内角和可得角 C. 试题解析: (I)由 a ? b tan A 及正弦定理,得

sin A a sin A ? ? ,所以 sin B ? cos A 。 cos A b sin B
?

(II)因为 sin C ? sin A cos B ? sin[180 ? ( A ? B)] ? sin A cos B

? sin( A ? B) ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B
? cos A sin B ? 3 4
2

有(I)知 sin B ? cos A ,因此 sin B ?

3 3 ,又B为钝角,所以 sin B ? , 4 2

故 B ? 120 ,由 cos A ? sin B ?
?

3 ? ? ? 知 A ? 30 ,从而 C ? 180 ? ( A ? B) ? 30 , 2

9

综上所述, A ? 30? , B ? 120? , C ? 30? , 考点:正弦定理及其运用 18. (本小题满分 12 分)如图 4,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, E , F 分别是

BC, CC1 的中点。
(I)证明:平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ;

F ? AEC 的体积。 (II)若直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角为 45 ,求三棱锥
?

【答案】 (I)略;(II) 【解析】

6 . 12

试题分析: (I)首先证明 AE ? BB1 , AE ? BC ,得到 AE ? 平面 B1BCC1 ,利用面面垂直的判定与性质 定理可得平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ; (II)设 AB 的中点为 D,证明直线 ?CA 1 与平面 A 1D 直线 AC 1 ABB 1所
? 成的角,由题设知 ?CA 1D ? 45 ,求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.

试题解析: (I)如图,因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AE ? BB1 ,又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点, 所以 AE ? BC ,因此 AE ? 平面 B1BCC1 ,而 AE ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面 B1BCC1 。 (II) 设 AB 的中点为 D , 连接 A1D, CD , 因为 ?ABC 是正三角形, 所以 CD ? AB , 又三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD ? AA1 ,因此 CD ? 平面 A 1 AB 1B ,于是 ?CA 1 与平面 A 1D 直线 AC 1 ABB 1 所成的角,

10

? 由题设知 ?CA 1D ? 45 ,

所以 A1D ? CD ?

3 AB ? 3 , 3
A1 D 2 ? AD 2 ? 3 ? 1 ? 2 ,所以 FC ?

AA1 ? 在 Rt ?AA 1D 中,

1 2 AA1 ? 2 2

故三棱锥 F ? AEC 的体积 V ?

1 1 3 2 6 。 S AEC ? FC ? ? ? ? 3 3 2 2 12

考点:柱体、椎体、台体的体积;面面垂直的判定与性质 19. (本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 ? 3Sn

?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
(I)证明: an?2 ? 3an ; (II)求 Sn 。
n?2 ?3 2 (5 ? 3 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 【答案】 (I)略;(II) Sn ? ? n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2

【解析】 试题分析: (I) 当 n ? N , n ? 2 时, 由题可得 an?2 ? 3Sn ?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) , an?1 ? 3Sn?1 ?Sn ? 3,(n ? N ) ,
*

*

两式子相减可得 an?2 ? an?1 ? 3an ? an?1 ,即 an?2 ? 3an,( n ?2) ,然后验证当 n=1 时,命题成立即可; (II) 通过求解数列 {an } 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前 n 项和的通项公式.

11

试题解析: (I)由条件,对任意 n ? N ,有 an?2 ? 3Sn ?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
*

因而对任意 n ? N * , n ? 2 ,有 an?1 ? 3Sn?1 ?Sn ? 3,(n ? N * ) , 两式相减,得 an?2 ? an?1 ? 3an ? an?1 ,即 an?2 ? 3an ,(n ? 2) , 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 a3 ? 3S1 ? S2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1 , 故对一切 n ? N , an?2 ? 3an 。
*

(II) 由 (I) 知,an ? 0 , 所以

an ? 2 ? 3 ,于是数列 {a2n?1} 是首项 a1 ? 1 ,公比为 3 的等比数列,数列 {a2 n } an

是首项 a1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,所以 a2n?1 ? 3n?1, a2n ? 2 ? 3n?1 , 于是 S2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ? (a1 ? a3 ? ?? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ?? a2n )

? (1 ? 3 ? ?3n?1 ) ? 2(1 ? 3 ? ?3n?1 ) ? 3(1 ? 3 ? ?3n?1 ) ?

3(3n ? 1) 2

从而 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ?

3(3n ? 1) 3 ? 2 ? 3n?1 ? (5 ? 3n?2 ? 1) , 2 2

n?2 ?3 2 (5 ? 3 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 综上所述, Sn ? ? 。 n 3 ? (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2

考点:数列递推关系、数列求和

y 2 x2 20. (本小题满分 13 分)已知抛物线 C1 : x ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 a b
2

(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点,与 C2 相交
于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向。 (I)求 C2 的方程; (II)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率。

??? ?

??? ?

【答案】 (I)

y 2 x2 6 ? ? 1 ;(II) ? . 9 8 4
12

【解析】 试题分析: (I) 由题通过 F 的坐标为 (0,1) , 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 可得 a ? b ? 1, 根据 C1 与 C2
2 2

的公共弦长为 2 6 ,C1 与 C2 都关于 y 轴对称可得

9 6 ? 2 ? 1,然后得到对应曲线方程即可; 2 4a b ??? ? ??? ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), 根据 AC ? BD ,可得

(II) 设

( x3 ? x4 )2 ? 4x3 x4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ,设直线 l 的斜 率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,联立直线与抛物线
方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果. 试题解析: (I) 由 C1 : x2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) , 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 所以 a ? b ? 1
2 2

①; 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 C1 : x2 ? 4 y ,由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( ? 6, ) ,?

3 2

9 6 ? 2 ?1 2 4a b

②,

联立①②得 a2 ? 9, b2 ? 8 ,故 C2 的方程为

y 2 x2 ? ? 1。 9 8

(II)如图,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ),

因 AC 与 BD 同向,且 AC ? BD , 所以 AC ? BD ,从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 ,即 x3 ? x4 ? x1 ? x2 ,于是

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

( x3 ? x4 )2 ? 4x3 x4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2
设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,



由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,由 x1 , x2 是这个方程的两根,? x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ④
2

13

? y ? kx ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 (9 ? 8k 2 ) x2 ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根, ?1 ? ? 9 ?8
x3 ? x4 ? ? 16k 64 , x3 x4 ? ? , 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2


将④、⑤代入③,得 16(k 2 ? 1) ?

162 k 3 4 ? 64 162 ? 9(k 2 ? 1) 2 。即 ? 16( k ? 1) ? (9 ? 8k 2 )2 9 ? 8k 2 (9 ? 8k 2 )2
6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? 4 4

所以 (9 ? 8k 2 )2 ? 16 ? 9 ,解得 k ? ?

考点:直线与圆锥曲线的位置关系;椭圆的性质 21. (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? ae2 cos x( x ?[0, ??) ,记 xn 为 f ( x ) 的从小到大的第 n(n ? N * ) 个极 值点。 (I)证明:数列 { f ( xn )} 是等比数列; (II)若对一切 n ? N , xn ? f ( x n ) 恒成立,求 a 的取值范围。
*

【答案】 (I)略;(II) [ 【解析】

2? ? ? e 2 , ??) 4

试题分析: (I)由题 f ?( x) ?

2ae x cos( x ? ) ,令 f ?( x) ? 0 ,求出函数的极值点,根据等比数列 4
n? ? 3? 4

?

2 e et ? 定义即可得到结果;(II)由题问题等价于 恒 成立问题,设 g (t ) ? (t ? 0) ,然后运用导数 3? a t n? ? 4

5? ? 4 ? 2 4 ? 2 ), g ( x 2 )] ? min[ g ( ), g ( )] ? g ( ) ? e , 所 以 知 识 得 到 [ g ( xn )]m i n ? min[ g ( x 1 ? e2 ,求得 4 4 4 ? a ?

?

2? ? ? a? e 2 ,得到 a 的取值范围; 4

试题解析: (I) f ?( x) ? ae cos x ? ae sin x ?
x x

2ae x cos( x ? ) 4 ? ? 3? ,m? N* , 令 f ?( x) ? 0 ,由 x ? 0 ,得 x ? ? m? ? ,即 x ? m? ? 4 2 4

?

14

而对于 cos( x ? 若 2 k? ?

?
4

) ,当 k ? Z 时,

3? ? ? ? x ? 2k? ? ,则 cos( x ? ) ? 0 ; 2 4 2 4 4 4 ? ? 3? ? 5? ? 若 2 k? ? ? x ? ? 2 k? ? ,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ,则 cos( x ? ) ? 0 ; 2 4 2 4 4 4 3? 3? ? ) 与 ( m? ? , m? ? ) 上, f ?( x ) 的符号总相反,于是当 因此,在区间 ((m ? 1)? , m? ? 4 4 4 3? 3? x ? m? ? , m ? N * 时, f ( x) 取得极值,所以 xn ? n? ? , n ? N * ,此时, 4 4 ? x? ? 2k? ?
,即 2k? ?

?

?

?

f ( xn ) ? ae

n? ?

3? 4

cos(n? ?

? 3? 2 n? ? 34 ,易知 f ( xn ) ? 0 ,而 ) ? (?1)n?1 ae 4 2

? 2 ( n ?1)? ? 34 ae f ( xn ?1 ) 2 ? ? ?e? 是常数, 3? f ( xn ) 2 n? ? 4 (?1) n ?1 ae 2

(?1) n ? 2

故数列 { f ( xn )} 是首项为 f ( x1 ) ?

2 ? ae 4 ,公比为 ?e? 的等比数列。 2
? 3? 2 n? ? 34 恒成立,亦即 ? ae 4 2

(II)对一切 n ? N * , xn ? f ( x n ) 恒成立,即 n? ?
n? ? 3?

2 e 4 ? 恒成立, 3? a n? ? 4

et et (t ? 1) ? 设 g (t ) ? (t ? 0) ,则 g (t ) ? ,令 g ?(t ) ? 0 得 t ? 1 , t t2
当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减; 当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间 (1, ??) 上单调递增; 因为 xn ? (0,1) ,且当 n ? 2 时, xn ? (1, ??), xn ? xn?1 , 所以

? 5? ? 4 ? [ g ( xn )]min ? min[ g ( x1 ), g ( x2 )] ? min[ g ( ), g ( )] ? g ( ) ? e 2 4 4 4 ?
因此, n ? N , xn ? f ( x n ) 恒成立,当且仅当
*

2 4 ? 2? ? ? ? e 2 ,解得 a ? e 2, a ? 4

15

故实数 a 的取值范围是 [

2? ? ? e 2 , ??) 。 4

考点:恒成立问题;等比数列的性质

16


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