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等比数列的前n项和(第一课时)教学设计


读 写算 

2 0 1 1 年

第2 8期 

文学教 1 r 研霓  

等 比数 列 的前 n项 和 ( 第 一课 时 ) 教 学 设 计 
赵 宁 

( 温州职 业 中专   浙 江  温州  3 2 5 0 0 0 )  


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教材 分 析 :  

“ 等 比数 列 的前 n项 和 ” 是人教版职高数学 ( 必修 ) 上 册 第  四章 《 数 列》 第4 . 3 《 等 比数 列 》 第二节 , 其 内容 是 : 等 比数 列 前 n   项 和 公式 的推 导及 简 单 的 应 用 . 在此 之前 , 学 生 已经 学 习 了 函  数, 还 有 本 章前 面几 节 课 : 数列的定义、 等 差 数列 的概 念 、 通 项 公  式 和 前 n项 公 式 , 等 比数 列 的 概念 , 通 项 公 式 等 内容 . 在 这 个 基  础上 , 教 材 安排 了 这 一 节 内容 , 是 对 等 比数 列 的 再 认 识 和 再 运  用, 它 对 学生 进 一步 掌握 理 解 等 比数列 以及 数 列 的知 识 有 着 很  重 要 的作 用 . 首 先 它有 着承 前 启 后 的 重 要 作 用 .其 次 , 从 知 识 的  应 用 价值 上 看 , 它 是从 大量 数学 问题 和 现 实 问 题 中抽 象 出来 的  个模型 , 在现 实生 活 中有 着 广 泛 的 实 际 应 用 , 如储蓄、 分期付  款 的有关 计 算 等等 . 再次 , 公 式 推 导 过程 中所 渗 透 的观 察 、 分析 、   猜想、 类 比、 化归、 分类 讨 论 、 整体变换和方程等思想 方法 , 都是  学 生 今后 学 习 和工 作 中必 备 的数 学 素养 .  


我一点“ 小意思” : 第一天给我 1分钱, 第二天给我 2分钱 , 第 三  天 给我 4分 钱 …… 即后 一天 的钱 数 是前 一 天 的 2倍 , 你们 愿不   愿意? 此 问题一 出 立 即 引起 学 生 的 极 大 兴 趣 , 许 多 同 学 已 经算   了, 我 得给 他们 三 万 元 , 那么 他们 得 给 我多 少 呢?这 么 “诱人 ”   的条件 到底 有 没 有 陷 阱? 只有算 出 “ 收支 ”对 比 , 才 能 回答 愿  
与不愿 ,“支 ”就 是 1 , 2 , 4, 8 , …2  ( 2  这 里 要 同 学 写 出 , 教 师  不 是直 接 给 出 ) 的和 , 它 是一 个首 项 为 1 , 公 比为 2的等 比数 列 的  求 和 的 问题 , 如何 求 出这 个 等 比数 列 的和 呢?   情 境解 答 : ( 板书 ) 设s =1 + 2+ 4+ 8+…2   ( 1 )   ( 1 ) 式 的两 端 同乘 以 2得 :   贝   2 s = 2+ 4+ 8+…2 ∞+ 2 3 0   ( 2 )   ( 2 ) 一( 1 ) 得( 这种 方 法 叫作 错位 相 消法 )  
2s— s=23 o一 1  

二、 学 情分 析 :  

学 生 在学 习本 节 内容 之 前 已经 学 习 等 差 、 等 比数 列 的概 念   和通 项公 式 , 等 差 数列 的前 n项 和 的公 式 , 学 生 已经 积 累 了 相关   的学 习 经 验 , 且 具 备 了思考 问题 的方 法 , 能够 就 接 下 来 的 内容展   开思 考 。但 是 职业 高 中 的学 生 在 学 习 数 学 时 存 在 很 多 的 问题 :   1 、 推 导公 式 的欠缺 , 所 以本 案 中 削弱 了对 公 式 的 推 导 . 而 是 利 用  学生 的好 奇心 理 , 以一 个 很 诱 人 的实 际 问 题 ( 见教学过程 ) 为 切  入 点, 通 过 对 实际 问题 的计 算 引 出公 式 的推 导 , 由于 很 多 同学 毕  业 之后 面 临 的就 是就 业 问题 , 他 们对 计 算 工 资 的问 题 很 是 敏感 ,   所 以这 一 问题 作 为 引入 , 便 于调 动学 生学 习 的积 极 性 . 2 、 计 算 速  度较 慢 , 而 且 质量 不是 很 高 , 所 以本 节 课 的 例 题 和练 习题 都 是 围  绕 最基 本 的公 式 应用 展开 的 , 通 过反 复训 练 , 让学 生 在 一 节 课 里  记 住公 式 , 学会公 式 的简 单应 用 , 从 而 达 到 教 学 大 纲 的 基 本  要 求.   三、 教 学 理念 、 目标及 重 难 点 :   ( 一) 教 学理 念  数 学 是一 门培 养 和发 展 人 的 思 维 的 重 要 学 科 , 因 此 在 教 学  中不仅 要 让学 生 “ 知其然” , 还要 “ 知 其 所 以然 ” , 体 现 以 学 生 发  展 为本 , 遵循学生 的认知规律 , 体 现 循 序 渐 进 和 启 发 式 教 学 原  则, 指 导学 生 学会 “ 探 究式 发 现法 ” 的学 习方 法 , 从 类 比猜想 中探  索 研究 从 而 找 到问题 的思路 和 方 法 . 强 调 过程 , 强 调学 生探 索 新  知 识 的经 历 和获 得 新 知 的 体 验 , 不 能 让 教 学 脱 离 学 生 的 内心 感  受, 基 于 以上 原 因 , 在设计本节课时 , 我 考 虑 的不 是 简 单 地 告 诉   学 生 等 比数列 的求 和公 式 , 而是 按 照 “ 创 设情 景 , 类 比联 想 , 例题  讲解 , 实 时训 练 , 总结 提 炼 , 布置 作 业 ” 的顺 序 展 开 , 让 学 生 从 推  出等 比数 列 的前 n 项 和 公式 的过程 体 验 有 些 看 似 非 常 难 的 知识  并 不都 是 高 不 可攀 的事 情 , 在这 个 过 程 中 , 学 生 在 课 堂 上 的 主体   地 位得 到 充 分 发挥 , 极 大地 激发 了学 生 的 学 习 兴趣 , 也 提 高 了他  们 分 析 问题 , 解 决 问题 的能 力 .   ( 二) 教 学 目标 :   1 、 知 识 目标 : 了解 等 比数列 前 n项 和公 式 的推 导 方 法 , 掌握   等 比数 列 前 n项和 公式 及应 用 .   2 、 能 力 目标 : 培 养 学生 观察 、 分析 、 猜想、 类 比、 分类讨论 、 整  体 变换 和 方 程 等数 学 方 法 的 能 力 , 提 高 学 生 分 析 问题 解 决 问题   的能 力 , 锻炼 数 学思 维 能力 .  

即s = 2  一 1=1 0 7 3 7 4 1 8 2 3分 =1 0 7 3 7 4 1 8 . 2 3元 ( 此结 果 一  出, 但 仍有 许 多 同学 不相 信 是 这是 真 的 , 这 种轰 动 对 学生 的震撼   是 无 与伦 比的. )   千 多 万显 然 同学 不 愿 意给 老师 了.   设计 意 图 : 通 过 这 个 例 子 不 但 使 学 生 产 生 求 知 的 热情 及 浓  厚 的兴趣 , 而 且对 引 出等 比数 列 的 求 和公 式 起 到 自然 引 入 的 作  用. 利 用 学生 求 知好 奇 心理 , 以一 个 源 于生 活 , 贴 近生 活 , 非 常 敏  感 的问题 为 切入 点 , 增 加本 节 课 的趣 味 性 , 便 于调 动 学 生学 习 本  节课 的积 极 性 , 在 创 设 引入 情 境 问 题 时 , 更 能 激发 学 生 的 兴趣 ,   引起 求 知欲 , 适 合学 生 的 胃口.  


( 二) 类 比联 想 , 推 导公 式 :  

( 幻灯) 仿 照 公 比为 2的等 比数列 求 和方 法 , 等 式 两 边 应 同  乘 以等 比数 列 的公 比 q , 由于 
s h=a I +a 2+a j+a ?+- ? - a ^ . 1 +置 -,   即s  口al +a l q+s   2 q  + a l q’ +. . 且 l q  ’+a I q   .  

‘ 3 ) 两精同秉 以  褥q s ^=a I q+a l q’+a I q ’+…a l q I - 】 +al q ¨ +a l q  

C 3 ) ? ( 4 )得 s t —q s ^;  l —a a   q “ ?  
s   ( 1 一q )= a l n —q   )   ( 揽同学 生如伺处 理 .适时提 醒学生 注意 q的取值 )  

当q ≠耐 ,由 ( 5 )得。   :  

.  
5  

很显然.当q =耐 .由 (   得 =n ^ l  
于最 

f   MI 妇  1 )  

④ @   ④  

1 I  
1 一q  

( 口  1 )  

( 引导学 生—起 分析 公式 的特征-以 便 记t 己 . )  

设计 意 图: 本 推 导 过程 以幻 灯 的 方式 呈 现 . 因 为我 们 的 学 生  对 公 式 的推 导很 惧 怕 , 但 忽 视 公式 的推 导 和条 件 , 直 接 给 出公式   的结论 又 是 违 背 教 学 规 律 的做 法 , 这样 可以突出重点 , 简化难  点, 符 合 职高 学生 的认 知特 点 , 可 以将 更 多 的 时 间放在 公 式 的熟  
练应 用上 .   ( 三) 例题讲解, 巩 固公 式 :  

3 、 情感 目标 : 通过公式的推导与简单应用 , 使学生获得发现  的成 就感 , 优化 思维 品质 , 培 养 学 生学 习 数学 的积 极性 .   ( 三) 教 学 方法 : 启发 引 导 , 探索发现( 多媒 体 辅 助教 学 )   ( 四) 教 学重 点 , 难点: 重 点是 等 比数列 的前 n 项 和 公 式 及 简  单应用 ; 难 点是 等 比数 列前 n项 和公 式 的推 导 .   四、 案 例过 程 及设 计 思路 :   ( 一) 创 设 情境 , 引 出课 题 :   同学们 , 老 师今 天 很 高兴 , 愿意在一个月 ( 按3 0 天算 ) 内每  天 给班 级 1 0 0 0元 , 但 我有 一 个要 求 , 在这个月 内, 你 们 必 须 回馈 

例1 、 求等 比数列 1 , 3 , 9 , 2 7 , …… 的前 l O 项 的和 。   例2 、 远望 巍 巍 塔七 层 , 红 光点 点 二倍 增 , 共 灯 三百 八 十一 ,   请 问顶层 几 盏灯 ?  

?

2 O5 ?  

万方数据

般 学教 育研 究  

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第2 8期 

读 写算 

设计意图: 例1 是 对 等 比数列 求 和 公式 的基 本 应用 , 在 公 式  中, 找出a 。 , q , S   , 四个 元 素 中 已知 的元 素 , 求 未 知 的元 素 . 例2   是 明代数 学 家 吴 敬 ( 今浙 江杭州人 ) 编著 的《 九 章 算 法 比 类 大  全》 中的 一道 题 目, 将此 引入课堂 , 可谓活跃课堂气氛 , 陶 冶 情  操, 为课 堂 注入 生 机 , 令 课 堂有 趣 , 也从 侧 面 对 我 们 的学 生 进 行  爱 国主义 教 育 .   ( 四) 实时 训练 , 检测落实:  

( 六) 任务延续, 布 置作 业 :   1 、 请 同学 们上 网查 找有 关古 代 印 度有 一 位 国际 象棋 大 师 西 

练 习: 已知等 比数列 中,  
l 、a , =2 , q=3 , n= 5 ,习 之 s   ;   2 、a , =l , q=- 2 , n=6 J习 《 s   ;  
1   .  

3 、a , =3 ,q   二, , 习 之 s . ;  
‘   2  

4 、a l =l J  q=2 ,a  =1 6 ,求 s   .  

萨和 国王 的 故事 . 同学 们 帮国王 算 一 下 , 请 同学 们 算算 西 萨 需 要  多少公 斤 小麦 ?假设 一公 斤小 麦 约有 2 0 0 0粒 , 若全 世界 以 6 0 亿  人 计算 , 每人 可分 到多 少公斤 ?   2 、 P 1 2 5 练 习 A的第 1 题.   3 、 求和: x+ 2 x   + 3 x   +… + 2 0 x   。 . ( 已选 )   设计 思路 : 作 业第 1 题 的 一个 出发 点 是 利 用 等 比数列 的 公  式求解 , 另 一 个 是 让学 生 亲 自计 算 数 据 , 感 受 小 麦 数 量 的惊 人 ,   更 加加 深 对等 比数 列 的求 和 的 印象 .它 的 最 大 成功 之 处 在 于 化  学生 学 习被 动为 主动 , 作业 第 2题 完全 是 模 仿 课 堂练 习 的 , 让 同  学通 过反 复 的公 式应 用 , 巩 固有 关 等 比 数列 的几个 公 式 , 第 3选  做题 的 目的是 注 意分 层 教 学 和 因材 施 教 , 为学 有 余 力 的 学 生 提  供思 考 的空 间 , 也 对本 案 中 比较 难 的数 学 方法 加 以巩 固.  
五、 板 书设计 :  

设计意图: 第1 , 2 , 3三题 直接 是 公式 的简 单 应 用 , 目的是 让  学生 通 过计 算 记 住 公 式 和 提 高 计 算 能 力 , 不 过 第 三题 还 需 要 同  学 找一 下 n =? , 对于 第 4题 , 显然 不 能 直 接 代 人公 式 , 有 些 同 学  可能 先 根据 a   =a 。 q   , 计算出 n , 再 代 入公 式 计 算 , 有些 同学 翻  开课 本 找 到 了另 外 的一 个 公 式 , 直接代入 , 速 度快 多 了 , 通过此  练习, 简 单 导 出另 外 一个 公式 s  =   ( q ≠1 ) 通 过这 几 题 的 

六、 课后 反思 :  

反 复精 讲 , 一 方 面 使 学 生加 深对 公 式 的认 识 , 完 善 知识 结 构 , 另  方 面 使 学生 由简单 地模 仿 和 接受 , 变 为 对 知识 的主 动 接受 , 从  而进 一 步 提高 分 析 、 类 比和综 合 分 析问题 的学 习能力 .  


( 五) 总 结提 炼 , 突 出主题 :  

师 生 共 同 总结 : 本 节课 主要 学 习 了等 比数列 的求 和 公式 
f  


I l 8 l ( q  1 )  
:  

j f  

【1


q  

l -q ‘  

1 )  

再 次 强调 公 式 的特 点 , 等 比数 列 的求 和 公式 , 结 合 等 比数 列  的通项 公 式 共 有 a , , q , a   , l ' l , s  五 个 未 知数 , 知 道任 意 的 三 个 都  可以求 出 其 它 的两 个 . 下 节 课 继 续 学 习等 比数 列 的 前 n项 和 公  式 等 的应 用 .   设 计 思路 : 总结 过程 是 对 本节 课所 学 知 识 的一 个 梳 理 , 可 以  帮 助 同学 更好 的整 理本 节课 的 内容 .  
( 上接 第 2 0 4页 )  

1 、 本 节课 的 情 境 设 置 取 自生 活 , 是 鲜 活 的例 子 , 敏 感 的 话  题, 是 本 案 例 非 常 成功 的一 个亮 点 , 学 生 学 习完 之 后 , 感 觉 到 学  数学 有用 , 生 活离 不开 数 学 , 在 市场 经 济 中 必须 要 有 敏锐 的数 学  头脑 才行 .   2 、 职 业中学的学生 的数 学基础 比较 薄 弱 , 运算 能力 较差 , 所 以  在教学时一定要 重视基础的学习 , 比如本案 例对 公式的反复应用 .   3 、 面对“ 成功 教育 ” , “ 生本教 育” 的新 理 念 , 我 们 要 认 真 思  考怎 样 以富 于人 文 性 , 思 想 性 的学 习过 程 来 影 响学 生 的 思 想 和  才智 , 怎 样转 化学 生 比较 被动 的学 习 方 式 , 我们 教 师 必须 深 入 了   解学 生 已有 的知 识储 备 , 了解 学生 的接 受 能力 , 制 定 自己 的有 效  的教 学设 计 方案 .   结果 因过程 而精 彩 , 无论 是情 境 创设 还 是 探 究设 计 , 都 必 须  以 学生 为 主体 , 本案 中教 师为 主导 , 学 生为 主 体 , 训 练为 主 线 , 设  法从 庞杂 的知识 中 引 导学 生 去 寻 找 关 系 , 挖 掘 书 本 背后 的 数 学  思想 , 建构 基 于 学 生 发展 的知 识体 系 , 教 学 生 学会 思 考 , 让 学 生  真正 成 为课 堂 的学 习主体 .  

什 么 样 的数 , 教 材 中从 几 个 方 面 进 行 了讨 论 ?3 、 尝试 画 出 树 状  图将 实数 范 畴 内 的数分 类 。 4 、 尝试 教材 中练 习题 。   四、 预 习提 纲 的使 用说 明  1 、 课 前 的及 时 性 反 馈 。课 前 检 查 预 习提 纲 使 用 情 况 , 有 两  个 作 用 。一 是有 助 于 了解 学生 预 习 的情 况 , 确 定课 堂 讲 解 、 指 导  的重 点 , 为教 师 的课 堂 教 学 做 准 备 。 二是 有 助 于 培 养 学 生 课 前  预 习习惯 的养 成 , 在教 师 的正 常 督促 下 , 学 生逐 步养 成 了课 前 预 
习 的习惯 。  

2 、 课 堂 的 针对 性 运用 。根 据 不 同 的课 型 , 结 合预 习情 况 , 教  师可 以针 对 性 地开 展 课 堂教 学 活动 。   ( 1 ) 验 证新 规 律 : 初 中数 学 课 中常 见 的课 型之 一 是 “ 规 律 探  究课 ” 。对 于 这 类课 , 学 生 通过 课前 预 习 已经 在 书本 上 找 到 了规  律、 方法或定理 , 那 么课 堂上 还有 没 有 探 究 , 师 生 双边 活动 该 怎  么进 行 呢 ?笔 者 以 为 , 可 以 在课 堂 上 引导 学生 以验 证 新 规 律 为  目的 , 展 示新 规 律 的探 究 过程 。   ( 2 ) 巩 固新方 法 : 初 中 数 学 中另 一 类 常 见 的课 型是 “ 方 法 运  用课 ” 。这种 课 题 中 “ 方法” 容 易理 解 , 与侧 重 于 “ 运用 ” 。学 生  通过 课 前 预 习 , 很容 易掌握方法 , 但 是 运 用 起 来 正 确 率 不 一 定  高, 常见 于计 算 课 、 说 理 课 等 。 在教 学 《 分 式 的加 减 》 前, 学 生 已  经进 行 了课 前 预 习 , 知道 了分 式 加 减法 法 则 , 那 么该 课 是 否 可 以  过关 了呢 ?其 实 不 然 。学 生 虽 然 理 解 了计 算 方 法 , 但 是 在 实 际  运用 中还存 在 许 多 细节 问题 , 容 易 出 错 。 因此 课 堂 的任 务 应 该  是组 织学 生 大量 地 运 用 , 巩 固新 方 法 , 克服 计 算 缺 陷 , 直 至 正 确  熟 练计 算 。   ( 3 ) 辨 析新 概念 : 初 中数 学 教 材 中有 些 概念 比较 抽 象 , 学 生 
?

学起 来 比较 困 难 。概 念课 的教 学 在课 前 预 习后该 怎 么 进 行 ?我  以为, 预习后 的课 堂 要 注重新 概念 的辨 析 , 加 深理 解 。   3 、 课 后 的有 效 性 评价 。课 后 , 对 预 习 提 纲 的使 用 成 效 及 时  评价, 能够 给 学 生 树 立 学 习成 就 感 , 激 发 学 生 自主 预 习 的 积 极  性, 调 动参 与课 堂 的热 情 。同时 , 及 时 的预 习评 价 也 能 让学 生 学  会 评判 自己 的预 习能力 , 增强 自觉意识 。   五、 预 习提纲 设计 和使 用 中值 得 注 意 的问题 。   1 、 编 写上 的三 个不 良倾 向 。一是 容 量 过 大 , 二 是难 度 过 深 ,   三 是 形式 单一 。前 两 种 倾 向 会 给学 生 预 习带 来 困难 , 导 致 不 能  按 时 完成 预 习任务 ; 后 一种倾 向会 使学 生 预 习 的兴 趣 逐渐 缺 失 ,   久 而 久之 , 预 习将 不能 正常 进行 。   2 、 使用 上 的两 个不 良倾 向 。一是 目中无 “ 纲” , 是 指 教 师 不  注 重 预习 提纲 使用 的课 前 检查 、 课后 评 价 , 导 致 学生 产 生 了用 与  不 用 一个 样 , 预习 与不 预 习一个 样 的学 习态 度 , 严重 忽 视 了学 生 

主体 预习 的 主观 能动 性 的调动 。二 是 目中无 “ 人” 。是 指 在课 堂  教 学 中教 师完 全按 照 自己 预设 好 的 “ 剧本” 在 那 里 尽情 地 表 演 ,   对 学 生 的课前 预 习熟 视 无 睹 , 对 学 生 在 预 习 中产 生 的 疑 问置 之  不顾 ; 学生 对 于教 师 的课堂 表演 , 就 像 是 在 观看 一 部看 过 多遍 的  老 电影 , 新 鲜 感荡 然无 存 。预 习后 再 听这 样 的课 还 有 什 么价 值 ?   尝不 到 预 习 的 甜 头 , 预 习又 要 花 费很 多 时 间 , 还 是 不 预 习为 好 。   所 以, 教 师 的课堂 教 学 与 预 习要 求 的不 一 致 性 是 导 致 学 生 没有  养 成 预 习 习惯 的关键 所在 。  
参 考文 献 

[ 1 ]   新《 初 中数 学课 程标 准》   [ 2 ]  《 苏科版 初 中数 学教参 》  

2 0 6?  

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