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2014年海珠区高二数学竞赛试题及答案


2014 年海珠区高二数学竞赛试题
2014. 4 考生注意:1.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上;
2.不准使用计算器; 3.考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分. 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)

2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1,l2 , 当直线 l1,l2 关于 y ? x 对 称时,它们之间的夹角为( A. 90 B. 60 ) C. 45 D. 30 ( )

2. 函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 是 A.最小正周期为

C.最小正周期为 ? 的奇函数

? 的奇函数 2

B.最小正周期为

D.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的偶函数 2

3 .设等差数列 ?an ? ( n ? N * )的前 n 项和为 Sn ,该数列是单调递增数列,若 S4 ? 10, S5 ? 15 , 则 a4 的取值范围是 ( A. ? ) B.

?5 ? ,4 ?2 ? ?

?5 ? ? , ?? ? ?2 ?

C.

? ??, 4?

D.

? 3, ?? ?

4.已知 P 是 ?ABC 内一点,且满足 PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ,记 ?ABP 、 ?BCP 、 ?ACP 的面积 依次为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 : S2 : S3 等于( A. 1: 2 : 3 B. ) C.

1: 4 : 9

6 :1: 2

D.

3 :1: 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5.设函数 f ( x) ? ?

?2 x ,

x ? 0,

?log 2 x, x ? 0

,若关于 x 的方程 f ( x) ? af ( x) ? 0 恰有三 个不同的实数解,
2

则实数 a 的取值范围为__________
2014 年海珠高二数学竞赛 第 1 页 共 9 页

6.如图,在正方体 ABCD—A1 B 1 C1 D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体底面 ABCD 上的 射影可能是
D1 A1 C1

P

B1
C

D
① ② ③ ④ ;

A

B

7.按右图所示的程序框图,若输入 x ? 8 ,则输出 k ? 若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是 .

8.已知点 A 的坐标为 (1,1) , F 1 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是 9 5
.

椭圆上的动点,则 PA ? PF 1 的最小值为

9.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常 数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知

1 ? 2? ,32 ? 3 ? 4 , ,并且有一个非零常数 m ,使得对任意实数 x , 都 有 x ? m ? x ,则 m 的值是________.

?1? ? 的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所 ? 2n ? k ?1 示的数表,第 k 行有 2 个数,第 k 行的第 s 个数(从左数起)记为(k , 1 s),则 可记为 . 2014 1 2 1 1 4 6 1 1 1 1 8 10 12 14 1 1 1 1 1 1 1 1 16 18 20 22 24 26 28 30
10.把数列 ?

2014 年海珠高二数学竞赛 第 2 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f

? x ? ? ?a cos2x ? 2

3a sin x cos x ? 2a ? b 的定义域为 ?0 , ? ,值域为[ -5,1 ], 2? ?

?

??

求常数 a、b 的值.

12. (本小题满分 15 分) 已知斜三棱柱 ABC ? A , ?BAA 1B 1C1 中, ?BAC ? 90 , ?CAA 1 ? 60 1 ? 120

A B? A C ? 1 , AA1 ? 2 .
(1)求证: 面ABC ? 面A 1B 1C ; (2)求三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积; (3)求二面角 B ? CC1 ? A 的余弦值.

A1

C1 B1

A B

C

13. (本小题满分 20 分)

2 ? 数列 ?a n ? , a1 ? 1, an?1 ? 2an ? n ? 3n(n ? N )

2 (1)是否存在常数 ? 、 ? ,使得数列 an ? ? n ? ? n 是等比数列,若存在,求出 ? 、 ? 的

?

?

值,若不存在,说明理由。 (2)设 bn ?

1 , Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? an ? n ? 2n?1

? bn

证明: S n ?

5 (n ? N * ) . 3

2014 年海珠高二数学竞赛 第 3 页 共 9 页

14. (本小题满分 20 分) 设 Q 是圆 O' : ( x ? 1) ? y 2 ? 8 上的动点, F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,线段 FQ 的垂直平
2

分线 l 交半径 O'Q 于点 P . (1)求点 P 的轨迹 C 方程; (2)斜率为 k 的直线 l ' 过点 (0, k 2 ? 1) 且与轨迹 C 交于不同的两点 A, B ,记 ?ABO 的面积为 S ? f (k ) ,若 OA OB ? m( ? m ?

3 5

3 ) ,求 f (k ) 的最大值和最小值. 4

15. (本小题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x k ? 1 ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

(1)求 a 、 b 的值; (2)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

2014 年海珠高二数学竞赛 第 4 页 共 9 页

竞赛试题解答
一、选择题: B C A D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分.

5.

?a | 0 ? a ? 1?
9. 4

6. ①

7.

4

(24, 49]

8. 6 ? 2

10. (10, 496)

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11.. 解:∵ f

? x ? ? ?a cos 2x ?

3a sin 2x ? 2a ? b ,

?? ? ? ?2a cos? 2 x ? ? ? 2a ? b ………………………..4 分 3? ?
∵ 0? x?

?
2

,∴ ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

1 ?? ? 2? ,∴ ? ? cos? 2 x ? ? ? 1 . 2 3? 3 ?

当 a > 0 时,b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b,

?3a ? b ? 1 , ∴ ? 解得 ?b ? ?5 .

?a ? 2 , …………………………..12 分 ? ?b ? ?5 .

当 a < 0 时,3a + b ≤ f ( x ) ≤ b . ∴

?3a ? b ? ?5 , 解得 ? ?b ? 1 .

? a ? ?2 , ? ?b ? 1 .
或 ?

故 a、b 的值为 ? 12. (1)

?a ? 2 ?b ? ?5

?a ? ?2 …………………………15 分 ?b ? 1
A1 D B1 C1

?CAA1 ? 60 , AC ? 1 , AA1 ? 2

2 2 ? CA1 ? AC ? AA1 ? 2 AC AA1 cos ?CAA1 ? 3

? AA12 ? CA2 ? AC 2

? C A? C1A

E

?BAC ? 90 , AB A1B1


?CA ? A1B1

A B

C

CA1

A1B1 ? A1

?CA ? 面A1B1C
2014 年海珠高二数学竞赛 第 5 页 共 9 页

CA ? 面ABC
(2)连结 AB1

?面ABC ? 面A1B1C

?BAA1 ? 120 ? ?ABB1 ? 60
2 2 ? AB1 ? AB ? BB1 ? 2 AB BB1 cos ?ABB1 ? 3

? BB12 ? AB2 ? AB12

? A B? A 1B

?BAC ? 90

AC

AB1 ? A ? AB ? 面AB1C

? A B? B 1 C

由(I)得 CA ? 面A1B1C ,? CA ? B1C

AC

AB ? A

? B1C ? 面ABC

? B1C= AB12 ? AC 2 ? 2
VABC ? A1B C ?S 1 1
ABC

B1C ?

1 2 AC CA B1C ? 2 2

(3)取 B1C1 中点 D,过点 D 作 DE ? CC1 ,连结 A 1E

A B? A C ? A1 D? B 1 C 1 从而 A 1D ? 面BB 1C1C
是二面角 B ? CC1 ? A 的平面角 ? ?A1 E D

B1 C? B ? 2 1 C 1


? ?B1C1C ? 45 ?cos ?A1DE ?
DE 3 ? A1E 3

C1 D ?

1 2 3 , ? DE ? ? A1E ? 2 2 2

?二面角 B ? CC1 ? A 所成角的余弦值为
即 an?1 ? 2an ? ?n 2 ? (? ? 2? )n ? ? ? ?

3 3

13.解:(1) 设 an?1 ? 2an ? n 2 ? 3n 可化为an?1 ? ? (n ? 1) 2 ? ? (n ? 1) ? 2(an ? ?n 2 ? ?n) ,

2014 年海珠高二数学竞赛 第 6 页 共 9 页

?? ? ?1 ? 故 ?? ? 2? ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ?
又 a1 ? 12 ? 1 ? 0 故存在 ? ? ?1, ? ? 1

?? ? ?1 解得 ? ?? ? 1

∴ an?1 ? 2an ? n2 ? 3n可化为an?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 2(an ? n2 ? n)

使得数列 an ? ?n 2 ? ?n ?是等比数列
2

?

(2)证明:由(I)得 an ? n ? n ? (a1 ?12 ? 1) ? 2n?1 故 bn ?

∴ an ? 2 n?1 ? n 2 ? n ,

1 1 ? 2 n ?1 an ? n ? 2 n

5 ,成立; 3 1 4 4 2 2 当 n ? 2 时,∵ bn ? 2 ? ? 2 ? ? 2 n 4n 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2 2 ∴ n ? 2时, Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 5 5 7 2 2 5 ?1 ? ? ? 3 2 n? 1 3
当 n ? 1 时, bn ? 1 ?

?(

2 2 ? ) 2n ? 1 2n ? 1

14.解: (1)由题意得: O' (?1,0) 半径 R ? 2 2, F (1,0) ,又因为线段 FQ 的垂直平分线l 交 半径 O'Q 于点 P ,所以 PQ ? PF ,又 PO ' ? PQ ? R ,故有: PO ' ? PF ? 2 2 由椭圆的定义得:点 P 的轨迹 C 是 O ' , F 以为焦点的椭圆,则 a ? 2, c ? 1, b2 ? a2 ? c2 ? 1 故点 P 的轨迹 C 方程为:

x2 2 +y ? 1 2

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,其中 t ?
'

k 2 ? 1 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

? y ? kx ? t ? 2 ,消去 y,得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4ktx ? 2t 2 ? 2 ? 0 , ?x 2 ? ? y ?1 ?2
而 k ? 0,?? ? (4kt ) ? 4(2k ? 1)(2t ? 2) ? 8k ? 0
2 2 2 2

所以 x1 ? x2 ? ?

4kt 2t 2 ? 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2014 年海珠高二数学竞赛 第 7 页 共 9 页

则 OA OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 所以

k 2 ?1 ?m 2k 2 ? 1

,而

3 3 3 k 2 ?1 3 ?m? ? ? 2 ? 5 4 5 2k ? 1 4

1 ? k2 ? 2 2

而 AB ?

k 2 ?1

2 2k 2 2k 2 ? 1

原点 O 到直线的距离 d ?

t k 2 ?1

?1

所以 f (k ) ? S ?

1 2k 2 (k 2 ? 1) 1 1 ? AB ? d ? ? [1 ? ] 2 2 2 2 (2k ? 1) 2 (2k 2 ? 1)

当k ?
2

1 6 2 3 时, f (k ) min ? ,当 k 2 ? 2 时, f (k )max ? 2 4 5

15.解: (1) f '( x) ?

a(

x ?1 ? ln x) b x ? 2, 2 ( x ? 1) x
1 ,且过点 (1,1) , 2
解得 a ? 1 , b ? 1

直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ?

? f (1) ? 1, ?b ? 1, ? ? ?? 1 即 ?a 1 f '(1) ? ? , ? ? b ? ? , ? ? 2 ?2 2
(2)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

ln x k ? 1 1 k ( x 2 ? 1) ln x 1 ? ,所以 f ( x) ? ( ? )? [2ln x ? ]。 x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x k ( x 2 ? 1) kx 2 ? 2 x ? k ( x ? 0) ,则 g '( x) ? x x2 kx 2 ? 2 x ? k , x2

设 g ( x) ? 2ln x ?

(1) 当 k ? ?1 时,由 g '( x) ?

当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 为减函数,而 g (1) ? 0 ,

?当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,可得

1 g ( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 g ( x) ? 0 当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,可得 1 ? x2
2014 年海珠高二数学竞赛 第 8 页 共 9 页

从而当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x) ? (

ln x k ? 1 ln x k ? 1 . ? ) ? 0 ,即 f ( x) ? ? x ?1 x x ?1 x

(2)当 ?1 ? k ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x1 ?

?1 ? 1 ? k 2 ?1 ? 1 ? k 2 , x2 ? , k k

?0 ? x1 ? 1 ? x2
当 x ? (1, x2 ) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 为增函数,

? g ( x) ? g (1) ? 0 ,可得
(3)当 k ? 0 时,

1 g ( x) ? 0 ,与题设矛盾; 1 ? x2
g ( x) 为增函数,

x?0

? g '( x) ? 0 ,

?当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,则
综上,k 的取值范围为 (??, ?1]

1 g ( x) ? 0 ,与题设矛盾; 1 ? x2

2014 年海珠高二数学竞赛 第 9 页 共 9 页


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