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2015年一轮高考复习第35讲 简单递推数列教师打印版


湖南理科高考 750 分得分 723 分的《状元真功夫》 :姚老师电话:15274470417

第 35 讲

简单递推数列

“一对一”

走进 2014 年高考
1. (2014 大纲)等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 ( ) A.6 B .5 C.4 D.3 1.【答案】C.

高中数学培优
2015 高考一轮复习(理科) 第 35 讲 简单递推数列

2. (2014 重庆)对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是(



A.a1 , a3 , a9 成等比数列 C.a2 , a4 , a8 成等比数列
∴选D. 2.? 要求角码成等差

B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a2 , a3 , a9 成等比数列

3. (2014 北京)设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列的(



A. 充分且不必要条件 C. 充分必要条件
3.D

B. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. (2014 福建)等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? (

)

A.8
4.C

B. 1 0

C. 1 2

D.14

辅导老师: 高考总分 750 分,高考得分 723 分
aa

5. (2014 辽宁)设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 5.【答案】C B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0



的湖南高考状元的数学老师

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电话: 15274470417 ★ ★★★★★★

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简单递推数列

1 8.【解析】(1)当 k=1 时,由 a1=S1=2a1a2 及 a1=1,得 a2=2. 1 1 当 k≥2 时,由 ak=Sk-Sk-1=2akak+1-2ak-1ak, 得 ak(ak+1-ak-1)=2ak. 因为 ak≠0,所以 ak+1-ak-1=2. 从而 a2m-1=1+(m-1)· 2=2m-1. a2m=2+(m-1)· 2=2m,m∈N*. 故 ak=k(k∈N*). (2)因为 ak=k, bk+1 n-k n-k 所以 b =- =- . ak+1 k+1 k 所以 bk= =(-1)k-1· bk bk-1 b2 · ·?·b ·b1 bk-1 bk-2 1

【学习目标】 了解递推公式是给出数列的一种方法, 掌握几种简单的将递推数列问 题转化化归为特殊数列(等差数列、等比数列等)的方法与途径,从而 培养并提升学生的转化化归思想和能力. 【知识要点】 1.递推数列的概念 如果已知数列{an}的第 1 项(或前 k 项), 且任一项 an 与它的前一项(或 前若干项)间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个 数列的递推公式 ;由递推公式确定的数列叫做递推数列. 2.已知数列的递推关系求通项 一般有三种途径:一是归纳、猜想,二是转化化归为等差、等比 数列;三是逐项迭代. 典型例题 一、累加、累乘法求通项 1 1 例题 1. (1)已知数列{an}满足 a1=2,an+1=an+ 2 ,求 an. n +n (2)已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n≥2),求 an. P1 P14
2

(n-k+1)(n-k+2)?(n-1) ·1 k· (k-1)· ?· 2

1 =(-1)k-1·nCk n(k=1,2,?,n). 1 1 2 3 n-1 n 故 b1+b2+b3+?+bn=n[C1 Cn]=n{1- n-Cn+Cn-?+(-1) 1 1 2 n n [C0 n-Cn+Cn-?+(-1) ·Cn]}= . n

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? 1?n-1 1-?-2? 2? ? ? ? 1?n-1? ?1-?- ? ? =1+ = 1 + 3? ? 1? ? 2? ? 1-?-2? ? ?

1 1 1 1 【解析】(1)由条件知:an+1-an= 2 = =n- n +n n(n+1) n+1 分别令 n=1,2,3,?,n-1,代入上式得(n-1)个等式累加之, 即(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+?+(an-an-1)
? 1 1? 1? ?1 1? ?1 1? ? =?1-2?+?2-3?+?3-4?+?+?n-1-n? ? ? ? ? ? ? ? ?

5 2? 1?n-1 =3-3?-2? ? ? 5 2? 1?1-1 当 n=1 时,a1=3-3?-2? =1,
? ?

5 2? 1?n-1 ∴an=3-3?-2? (n∈N*). ? ? 1 8.已知各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk=2akak
+1

1 1 所以 an-a1=1-n. ∵a1=2, 1 1 3 1 ∴an=2+1-n=2-n. (2)由已知,得 an+1=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1+nan,用此 式减去已知式,得当 n≥2 时,an+1-an=nan, 即 an+1=(n+1)an,又 a2=a1=1, a2 a3 a4 an ∴a1=1,a =1,a =3,a =4,?, =n, a n -1 1 2 3 将以上 n 个式子相乘,

(k∈N ),其中 a1=1. (1)求数列{ak}的通项公式; (2)对任意给定的正整数 n(n≥2), bk+1 k-n 数列{bk}满足 b = (k=1,2,?,n-1),且 b1=1 ak+1 k .求 b1+b2+?+bn.

*

?1 (n=1) 得 an=?1 n· (n-1)· ?· 3· 2· 1 ?2·

. (n≥2)

【点评】若数列递推关系式是相邻两项之差为某特殊数列(等差、 等比数列等),则应用累加法求通项,若数列递推关系式是相邻两 项之比为某特殊数列,则应用累乘法求通项. P13
3

P2

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二、迭代法求通项 例2数列{an}中,a1=1,且前 n 项和 Sn=n2an,求 an 和 Sn. 【解析】∵an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1(n≥2),
2 an (n-1) n-1 ∴(n -1)an=(n-1) an-1,∴ = 2 = , an-1 n -1 n+1 2 2

解法三:由题设得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0, 又 an,an+1 大于 0,∴(n+1)an+1-nan=0, 整理得 an+1= n 1 an,又 a1=1,则 a2=2a1, n+1

n-1 n-1 n-1 n-2 ∴an= ·an-1,即 an= ·an-1= · n ·an-2 n+1 n+1 n+1 n-1 n-2 n-3 = · n · ·a - ?, n+1 n-1 n 3 n-1 n-2 n-3 2 1 即 an= · n · ·?·4·3·a1, n+1 n-1 2 2 2n ∴an= ,Sn=n2an=n2· = . n(n+1) n(n+1) n+1 【点评】用递推公式求通项,可把每相邻两项的关系列出来,抓 住它们的特点用乘法进行适当的处理. 三、转化化归法求通项 例3已知数列{an}满足:a1=1,an+

n-1 2 a3=3a2,?an= n an-1. n-1 1 1 2 1 以上各式相乘,得 an=1×2×3×?× n =n,故填n. 7.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= an+an+1 * , n ∈ N . 2

(1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. 7.【解析】(1)b1=a2-a1=1.当 n≥2 时, an-1+an 1 1 bn=an+1-an= 2 -an=-2(an-an-1)=-2bn-1 1 ∴{bn}是以 1 为首项,-2为公比的等比数列.
? 1?n-1 (2)由(1)知 bn=an+1-an=?-2? ,n∈N*当 n≥2 时, ? ?

?an+n-1,n为奇数, 2 1=? ?an-2n,n为偶数,

记 bn=a2n(n∈N*),Sn 为数列{bn}的前 n 项和. (1)证明数列{bn}为等比数列,并求其通项公式; (2)若对任意 n∈N*且 n≥2,不等式 λ≥1+Sn-1 恒成立, P3
4

an=a1+(a2-a1)+?+(an-1-an-2)+(an-an-1)
? 1? ? 1?n-2 =1+1+?-2?+?+?-2? ? ? ? ?

P12

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2 2 6.设{an}是首项为 1 的正数列,且(n+1)an +1-nan+an+1an=0

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求实数 λ 的取值范围;
? 5 ?n (n+1)?11? 1010 ? ? (3)令 cn= ,证明:cn≤ 119 (n∈N*). b
n

(n=1,2,3,?),则它的通项公式为 an=_____. 1 2 6.【解析】解法一:a1=1,由 2a2 2-1 +a2=0 得 a2= , 2 1 1 1 2 2 由 3a2 3-2a2+a3a2=0,即 3a3+ a3- =0 得 a3= , 2 2 3 1 因此猜想 an=n. 解法二:原式两边除以 a2 n,得 (n+1)?
?an+1?2 an+1 ? + an -n=0, ? an ?

【解析】证明:(1)因为 bn=a2n,由已知可得, a2n+1 a2n+1 bn+1=a2(n+1)=a(2n+1)+1= 2 +(2n+1)-1= 2 +2n = a2n-4n 1 1 1 1 + 2 n = a 则 b 2n= bn.又 a1=1, 1=a2= a1= .所以数列 2 2 2 2 2 1 1 ?1?n-1 ?1?n =?2? .
? ? ? ?

{bn}是首项和公比都为2的等比数列,故 bn=2·?2?

an+1 -1± 1+4(n+1)n -1± (2n+1) 则 a = = , 2(n+1) 2(n+1) n
? a n +1 n ?an+1 ? ?, ∴ a = =- 1 舍去 n+1? an ? n

1 1-2n 1? ? 1 1 1 ?1- n?<2( n≥2). (2)因为 1+Sn-1=1+2+22+?+ n-1= = 2 2? 1 ? 2 1-2 若对任意 n∈N*且 n≥2,不等式 λ≥1+Sn-1 恒成立,则 λ≥2, 故 λ 的取值范围是[2,+∞).
? 5 ?n (n+1)?11? ? ? ?10?n =(n+1)?11? ,则 ? ?

n 即 an+1= ·a , n+1 n ∴an+1=
?n-1? n-1 n-2 n n n 1 ?an-1= ·an= ·? · n · ·?·2 n+1 n+1 ? n ? n+1 n-1

(3)因为 cn=

bn
? ?

1 = , n+1 1 1 ∴an=n为它的通项公式,故填n. P11
5

?10?n+1 ?10?n cn+1-cn=(n+2)?11? -(n+1)?11? ? ?

10 ?10?n? ? ?10?n 9-n =?11? ?(n+2)11-(n+1)?=?11? · 11 ,
? ? ? ? ? ?

当 n<9 时,cn+1-cn>0,即 cn<cn+1;

P4

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当 n=9 时,cn+1-cn=0,即 cn=cn+1; 当 n>9 时,cn+1-cn<0,即 cn>cn+1. 所以数列{cn}的最大项是 c9 或 c10, 且 c9=c10= 119 , 故 cn≤ 119 . 【点评】 求数列通项公式常用方法之一是: 依据递推公式的结构化归 为等差或等比数列求解. 四、归纳猜想求通项 例4数列{an}(n∈N )中,a1=a,an+1 是函数 1 1 fn(x)=3x3-2(3an+n2)x2+3n2anx 的极小值点,当 a=0 时,求通项 an. 【解析】易知 f′n(x)=x2-(3an+a2)x+3n2an=(x-3a)(x-n2) 令 f′n(x)=0,得 x=3an,x=n2 (1)若 3an<n ,当 x<3an 时,f′n(x)>0,fn(x)单调递增; 当 3an<x<n2 时,f′n(x)<0,fn(x)单调递减; 当 x>n2 时,f′n(x)>0,fn(x)单调递增; 故 fn(x)在 x=n 时,取得极小值. (2)若 3an>n2,仿(1)可得,fn(x)在 x=3an 取得极小值. (3)若 3an=n ,f′n(x)≥0,fn(x)无极值. 当 a=0 时,a1=0,则 3a1<12,由(1)知 a2=12=1 因 3a2=3<22, 由(1)知 a3=22=4, P5
6 2 2 2 *

3.数列{an}中,an+1=2an-1(n∈N+),且 a5=9,则 a1 等于( 1 A.2 3 B.2 1 C.-2 3 D.-2

)

1010

1010

3.【解析】由已知得 an+1-1=2(an-1),故{an-1}为等比数列, 公比为 q=2,∴a5-1=(a1-1)×24, 3 即 23=(a1-1)×24,得 a1=2. n+1 4.在数列{an}中,若 a1=1,an= n ·an+1,则 an=____. an+1 n a2 1 a3 2 an n-1 4.【解析】由 a = 得:a =2,a =3,?, = n . n+1 an-1 n 1 2 n-1 1 1 2 以上各式累乘:an=2·3·?· n =n. 5.设 a1=2,an+1=
?an+2? 2 ?,n∈N*,则数列{bn}的通项 ,bn=? an+1 ?an-1?

bn=_________.
?an+ 5.【解析】由条件得 bn+1=? ?an+ ?a1+2? ?=4≠0 ?a1-1?

? 2 +2? an+2? 1+2? ?an+1 ?=2? ?= ? ?=2bn. 1-1? ? 2 -1? ?an-1? ?an+1 ?

又 b1=?

∴{bn}是首项为 4,公比为 2 的等比数列. ∴bn=4×2n-1=2n+1 .P10

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1 1 ? ?1 1 =-a1+a2+?-a99+a100-?2+22+?+299+2100? ? ? 1 ? ? =S100-2(a1+a3+?+a99)-?1-2100?
? ?

因 3a3=12>32,由(2)知 a4=3a3=3×4, 因 3a4=36>42,由(2)知 a5=3a4=32×4, 由此猜想:当 n≥3 时,an=4×3n-3 下面先用数学归纳法证明:当 n≥3 时,3an>n2 事实上,当 n=3 时,由前面的讨论知结论成立. 假设当 n=k(k≥3)时,3ak>k2 成立, 则由(2)知 ak+1=3ak>k2,从而 3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0 所以 3ak+1>(k+1)2, 故当 n≥3 时,an=4×3n-3, ) 于是由(2)知,当 n≥3 时,an+1=3×an,而 a3=4, 因此 an=4×3n-3, 综上所述,当 a=0 时,a1=0,a2=1, ) an=4×3n-3(n≥3). 【点评】 归纳猜想求数列通项公式是应用归纳推理探究数列的变化规 律, 由规律特征猜得其通项公式, 然后由数学归纳法证明其合理性.

1 1 ? ? 1 ? ? 1 =S101-a101-2?-22-24-?-2100?-?1-2100? ? ? ? ? 1? ? 1 ?50? ? 2?1-? 2? 2? 1 ? 1 ? 1 ? ?2 ? ? ? ?1- 100? =-2102-?-2102?+2× - 2 ? 1 ? ? ? 1-22 1 ? 1? 1 ? 1? =-3?1-2100?=3?2100-1?. ? ? ? ? 考点集训 an n 1.若数列{an}满足:a1=2, = (n≥2),则 a4 等于( an-1 n+1 4 A.3 1.【解析】C 2.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+n,则 a100=( A.4 952 B.5 052 C.4 853 D.5 154 4 B.1 C.5 2 D.3

2.【解析】a1=2,a2-a1=1,a3-a2=2,?,a100-a99=99, (1+99)×99 ∴a100= +2=4 952. 2 P9
7

方法总结 递推数列求通项的特征归纳: (1)累加法:an+1-an=f(n). P6

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第 35 讲 则 an= 3.【解析】由于 1

简单递推数列 .

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an+1 (2)累乘法: a =f(n). n (3)化归法:(常见)an+1=Aan+B(A≠0,A≠1)?an+1+λ =A(an+λ);an+2=pan+1+qan?an+2+λan+1=(p+λ)· (an+1+λan); an+1 an an+1=pan+pn+1? n+1=pn+1. p (4)归纳法:计算 a2,a3,a4 呈现关于项数 2,3,4 的规律特征. (5)迭代法:an+1=pan 或 an+1=ap n或 an+1=pan+f(n)等. 【基础检测】 1.在数列{an}中,若 a1=1,且 an+am=an+m(n,m∈N*),则 an =( A.n ) B.2n C.n
2

1 =a +2, an+1 n

1 1 所以a =1+2(n-1)=2n-1,an= . 2n-1 n 4.数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2),则数列{an}的通项公式 为 an=___________. 4.【解析】由 an=2an-1+1 得 an+1=2(an-1+1) ∴an+1=(a1+1)×2n-1=2n,∴an=2n-1. 1 5.(2013 湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan-2n,n∈N*, 则(1)a3=____;(2)S1+S2+?+S100= _____ . 1 1 1 5.【解析】(1)因 Sn=(-1)nan-2n,则 S3=-a3-8,S4=a4-16,解 1 得 a3=-16. 1 (2)当 n 为偶数时,Sn=an-2n,当 n 为奇数时,

D.n

3

1.【解析】n=m=1 时,a2=a1+1=2,n=1,m=2 时,a3=a2+1 ?an+1=an+1?{an}为等差数列?an=1+(n-1)=n. 2.在数列{bn}中,b1=2,且 bnbm=bn+m,则 bn=( A.n B.n
2

) D.n·2
n

C.2

n

1 1 Sn=-an-2n,可得当 n 为奇数时 an=- n+1, 2 1? ? 1? 1? ? ? 又 S1 + S2 + ? + S100 = ?-a1-2? + ?a2-22? + ? + ?-a99-299? + ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?a100- 100? 2 ? ? P8
8

2.【解析】n=m=1 时,b2=b1·b1=4,bn+1=bn·b1=2bn. 故{bn}是首项为 b1=2, 公比为 q=2 的等比数列, bn=2· 2n-1=2n. 3.已知数列{an}(n∈N*)中,a1=1,an+1= an , 2an+1 P7



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