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人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(三十九) 6.7数学归纳法 Word版含答案


课时提升作业(三十九)
数学归纳法 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015· 蚌埠模拟)用数学归纳法证明 “1+a+a2+?+an+1= 在验证 n=1 时,左端计算所得的项为 ( A.1 C.1+a+a2 B.1+a D.1+a+a2+a3 ) (a≠1)” , 40 分)

【解析】选 C.因为等式的左端为 1+

a+a2+…+an+1, 所以当 n=1 时,左端=1+a+a2. 2.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一 步证明中的起始值 n0 应取 ( A.2 B.3 ) C.5 D.6

【解析】选 C.当 n=1 时,21=2=12+1, 当 n=2 时,22=4<22+1=5, 当 n=3 时,23=8<32+1=10, 当 n=4 时,24=16<42+1=17, 当 n=5 时,25=32>52+1=26, 当 n=6 时,26=64>62+1=37,故起始值 n0 应取 5. 3.(2015·南昌模拟)已知 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的 关系是 ( )

-1-

A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2 C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2 D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2 【解析】选 A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2 =f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故选 A. 4.对于不等式 下: (1)当 n=1 时, <1+1,不等式成立. <k+1, 则当 n=k+1 = <n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如

(2) 假设当 n=k(k ∈ N*) 时 , 不等式成立 , 即 时, = <

=(k+1)+1, 所以当 n=k+1 时,不等式成立. ( A.过程全部正确 B.n=1 验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 【解题提示】此证明中,在推出 P(k+1)成立中,并没有用到假设 P(k)成 立的形式,不是数学归纳法. 【解析】选 D.在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,即从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确,故选 D. )

-2-

5.(2015·安庆模拟)已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,则 a,b,c 的值为 ( A.a= ,b=c= C.a=0,b=c= B.a=b=c= D.不存在这样的 a,b,c )

【解析】选 A.因为等式对一切 n∈N*均成立, 所以 n=1,2,3 时等式成立,即:

整理得 解得 a= ,b=c= . 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.用数学归纳法证明 1+ + +?+ 不等式是 . <n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的

【解析】由 n∈N*,n>1 知,n 取第一个值 n0=2, 当 n=2 时,不等式为 1+ + <2. 答案:1+ + <2 【误区警示】 此题很容易出现,第一步验证的不等式是 n=2 时左边为 1+ , 缺少了 ,而导致答案不正确. 7.(2015·榆林模拟)已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*),用数学归纳法证明 f(2n)> 时,f(2k+1)-f(2k)= . + +…+ ,

【解析】因为 f(2k+1)=1+ + +…+ +

-3-

f(2k)=1+ + +…+ , 所以 f(2k+1)-f(2k)= 答案: + +…+ + +…+ .

8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的正整数 n 都有(Sn-1)2=anSn, 通过计算 S1,S2,S3,猜想 Sn= 【解析】由(S1-1)2= 得:S1= ; 由(S2-1)2=(S2-S1)S2 得:S2= ; 由(S3-1)2=(S3-S2)S3 得:S3= . 猜想 Sn= 答案: 【加固训练】1.已知数列{an}中,1<a1<2,an+1=1+an(1)a3∈ . |< . (n∈N*),求证: . .

(2)当 n≥3 时,|an-

【证明】(1)因为 1<a1<2, 所以 a2=1+a1则 a2∈ a3=1+a2故 a3∈ , =- (a2-1)2+ , . ∈ , =- (a1-1)2+ ,

(2)①当 n=3 时,a3又 >- , < ,

所以- <a3-

< ,即|a3-

|< . |< 成立,

②假设当 n=k(k≥3 且 k∈N*)时,|ak-

-4-

则 时,|ak+1|= ·|ak|·|ak+

当 -2|< · <

n=k+1 ,

即 n=k+1 时结论成立. 由①②可知,当 n≥3 时,|an|< .

【方法技巧】数学归纳法证明不等式的种类和注意点 (1) 证明不等式的种类一般有三种 :一是直接给出不等式 ;二是比较两 个式子的大小,先利用 n 的几个特殊值猜想大小再证明;三是已知不等 式成立,寻求变量的取值范围.(2)从 n=k 到 n=k+1 成立时,一定要用假 设 n=k 的中间过渡,可以用放缩法、基本不等式、分析法等. 2.(2014·合肥模拟)已知各项均为正数的数列{an}的首项 a1=1,对任意 的正整数 n 都有(n2+n)( )=1,

(1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<2 【解析】(1)由(n2+n)( 得 所以 所以 = =( + = = = , )+( )+…+( - )+( - )+ , )=1, .

+…+ - + -1+1= (n≥2), = .

又因为 a1=1,适合上式,所以 因为 an>0,所以 an= .

(2)因为 an= ,所以 Sn=1+ + +…+ . ①当 n=1 时,左边=1,右边=2,左<右,

-5-

所以 n=1 时,Sn<2

. , + …

②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时所证不等式成立,即 Sk<2 当 + + =2 n=k+1 <2 . + = 时 ,Sk+1=1+ < = +

故 n=k+1 时,不等式仍成立. 由①②可知,对任意 n∈N*,不等式成立. 【一题多解】解答此题还有如下方法: (1)因为 a1=1,an>0,(n2+n)( )=1,

所以 a2= ,a3= ,a4= = ,…,猜想 an= , 下面用数学归纳法证明, ①当 n=1 时,因为 a1=1,所以 n=1 时,an= . ②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时所证成立,即 ak= , 当 n=k+1 时,因为(k2+k)( 所以 = . = = . )=1,

所以 ak+1=

故当 n=k+1 时,an= 仍成立, 由①②可知,对任意 n∈N*,an= 成立. (2)因为 = < =2( ),

所以 Sn=1+ + +…+ <2( -0+ + +…+ )=2 .

3.由下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,?,你能

-6-

得到一个怎样的一般不等式?并加以证明. 【解析】一般结论:1+ + +…+ > (n∈N*),证明如下:

(1)当 n=1 时,由题设条件知命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,猜想正确, 即 1+ + +…+ > . + +…+ > + + +…+

当 n=k+1 时,1+ + +…+ > + = + + = +…+ ,

所以当 n=k+1 时,不等式成立. 根据(1)(2)可知,对 n∈N*,1+ + +…+ > . 40 分)

(20 分钟

1.(5 分)设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥ k2 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是 ( )

A.若 f(1)<1 成立,则 f(10)<100 成立 B.若 f(2)<4 成立,则 f(1)≥1 成立 C.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立 D.若 f(4)≥16 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 【解析】 选 D.选项 A,B 与题设中不等号方向不同,故 A,B 错;选项 C 中, 应该是 k≥3 时,均有 f(k)≥k2 成立;选项 D 符合题意. 2.(5 分)(2015·安庆模拟)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步是 ( )

-7-

A.假使 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(k∈N*) B.假使 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(k∈N*) C.假使 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确(k∈N*) D.假使 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(k∈N*) 【解析】选 B.因为 n 为正奇数, 根据数学归纳法证题的步骤, 第二步应先假设第 k 个正奇数也成立, 本题即假设 n=2k-1(k∈N*)时正确,再推第 k+1 个正奇数,即 n=2k+1 时 正确,故选 B. 3.(5 分)平面上有 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条这样的直线把平面分成 f(k)个区域,则 k+1 条直线把平面分成的区 域数 f(k+1)=f(k)+ .

【解析】当 n=k+1 时,第 k+1 条直线被前 k 条直线分成(k+1)段,而每一 段将它们所在区域一分为二,故增加了 k+1 个区域. 答案:k+1 4.(12 分)(2015·江西七校联考)设 f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*. (1)当 n=1,2,3,4 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小. (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. 【解析】(1)因为 f(1)=12=1,g(1)=21=2, 所以 f(1)<g(1). 因为 f(2)=23=8,g(2)=32=9, 所以 f(2)<g(2).

-8-

因为 f(3)=34=81,g(3)=43=64, 所以 f(3)>g(3). 因为 f(4)=45=1024,g(4)=54=625, 所以 f(4)>g(4). (2)猜想:当 n≥3,n∈N*时,有 nn+1>(n+1)n. 证明:①当 n=3 时,猜想成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时猜想成立, 即 kk+1>(k+1)k,也即 >1. > ,

因为(k+1)2=k2+2k+1>k(k+2), 所以 所以 > = , · >

·k=

>1.

由①②知,当 n≥3,n∈N*时,有 nn+1>(n+1)n. 5.(13 分)(能力挑战题)已知数列{an}满足 a1=a2=a3=k,an+1= 3,n∈N*),其中 k>0,数列{bn}满足 bn= (1)求 b1,b2,b3,b4. (2)求数列{bn}的通项公式. (3)是否存在正数 k,使得数列{an}的每一项均为整数,如果不存在,说 明理由,如果存在,求出所有的 k. 【解析】(1)经过计算可知: a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+ . 求得 b1=b3=2,b2=b4= . (n=1,2,3,4,?) (n≥

(2)由条件可知:an+1an-2=k+anan-1. ①

-9-

类似地有:an+2an-1=k+an+1an ② ①-②有: 即:bn=bn-2. 所以 b2n-1=b2n-3=…=b1= b2n=b2n-2=…=b2= 所以 bn= + . = =2, , = ,

(3)假设存在正数 k,使得数列{an}的每一项均为整数, 则由(2)可知: 由 a1=k∈Z,a6=k+4+ ∈Z 可知 k=1,2. 当 k=1 时, =3 为整数,利用 a1,a2,a3∈Z, ③

结合③式,反复递推,可知{an}的每一项均为整数, 当 k=2 时,③变为 ④

我们用数学归纳法证明 a2n-1 为偶数,a2n 为整数, n=1 时,结论显然成立,假设 n=k 时结论成立,这时 a2n-1 为偶数,a2n 为整数, 故 a2n+1=2a2n-a2n-1 为偶数,a2n-2 为整数,所以 n=k+1 时,命题成立, 故数列{an}是整数列, 综上所述,k 的取值集合是{1,2}. 【加固训练】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1(n∈N*). (1)求 a1,a2. (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出证明.

- 10 -

【解析】(1)当 n=1 时,方程 x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 所以(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 解得 a1= .当 n=2 时,方程 x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a1+a2-1=a2- , 所以 -a2 -a2=0,解得 a2= .

(2)由题意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得 SnSn-1-2Sn+1=0,解得 Sn= .

由(1)得 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 猜想 Sn= (n∈N*).

下面用数学归纳法证明这个结论. ①当 n=1 时,结论成立. ②假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时结论成立,即 Sk= Sk+1= = = . ,当 n=k+1 时,

即当 n=k+1 时结论成立. 由①②知 Sn= 对任意的正整数 n 都成立.

- 11 -


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