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3.1.2用二分法求方程的近似解


用二分法求方程的近似解

1

思考:
函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点 如何找出这个零点?

策略一:用几何画板画出函数的图象,求出
其与x轴交点的横坐标 也可以求函数y = ln x与函数y = 6 – 2x的图象

交点的横坐标。

游戏:这部手机价格在1000-2000元 之间,请你模仿李咏主持一下幸运52 请同学们猜测一下这部新手机的价格.
思考:怎样才能以最快的速度猜出它的 价格?

利用我们猜价格的方法,你能否求解方程 lnx+2x-6=0 ? 如果能求解的话,怎么去解?你能用函数的 零点的性质吗?
策略二:“取中点”逐步缩小零点所在的范围

请看下面的表格:
区间 端点的符号 中点的值
中点函数值 的符号

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)

f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0

2.5

f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0

f(2.5)<0, f(3)>0 2.75 2.625

f(2.5)<0, (2.5,2.625) f(2.625)>0 f(2.5)<0, (2.5,2.5625) f( 2.5625)>0

2.5625 f(2.5625)>0

2.53125 f(2.53125)<0

表续

(2.53125, f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.546875 2.5625) )>0 f( 2.5625)>0

(2.53125, f(2.53125)<0, 2.539062 f(2.539062 5)>0 2.546875) f(2.546875)> 5 0 (2.53125, f(2.53125)<0, 2.535156 f(2.535156 25)>0 2.5390625) f(2.5390625) 2 5 >0

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a).f(b)<0的函数y=f(x),通过不断的把函

数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区
间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值的方法叫做二分法(bisection )

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 1、 确定区间[a,b],验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ;
2、求区间(a,b)的中点x1, 3、计算f(x1)
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;

(2)若f(a).f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a, x1) ); (3)若f(x1).f(b)<0,则令a= x1(此时零点x0∈( x1,,b));

4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4

ε

例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解(精确度0.1) 解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7, 用计算机作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下:
x f(x) 0 1 2 3 4 5 -6 -2 3 10 2 40 1 6 75 7 142 8 273

因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在(1,2) 内有零点x0,取(1,2)的中点x1=1.5, f(1.5)= 0.33,因为f(1)· f(1.5)<0所以 x0 ∈(1,1.5) 取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5) 同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈ (1.375,1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

课堂练习:课本P91练习。
补充练习:
1、方程 ex – x – 2 = 0在实数范围内的解有 个。

? x2 ? bx ? c, x ? 0 2、设函数 f ( x) ? ? x?0 ?2,
(A)1 (B)2 (C)3

,若f (– 4) = f (0),


f (– 2) = – 2,则关于x的方程f (x) = x的解的个数为( (D)4

3、若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |(a > 0且a ≠ 1)的图象有 两个公共点,则a的取值范围是 。

1.二分法的定义;
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。

3.作业:p92 第3、4题
补充:讨论方程 | x ? 2x ? 3|? m(m ? R) 的实根的个数。
2



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