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高一数学必修四1.2.2 同角三角函数


1.复习
上节课我们已学习了任意角三角函数 定义,如图所示,任意角α三角函数 是如何定义的呢?
y sinα=_______ x cosα=_______ y tanα=_______ x
y P(x,y)

1 MO

α

x
A(1,0)

在Rt△O

MP中,由勾股定理有 MP2 + OM2= OP2=1 P(x,y)

y

y2

+

x2

=1

1 MO

α

x
A(1,0)

sin2α+cos2α=1 根据三函数的定义当 ? ? k? ?

?
2

sin ? ? tan ? cos ?

?k ? Z ?

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商 等于角α的正切.

2.同角三角函数的基本关系式总结如下: ①平方关系: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ②商数关系: tan ? ? cos ?

1公式怎么变形? 2改变角的大小,基本关系有没有变化?

公式可以变形使用:

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin α tan α ? cos α

1 ? sin ? ? cos ?
2 2


× × ×

3.典型例题

3 例1 已知 sin ? ? ? , 求 cos ? , tan ?的值. 5

解:因为sinα<0,sinα≠1,所以α是第三或第 四象限角

由sin ? ? cos ? ? 1得
2 2

cos ? ? 1 ? sin ?
2 2

? 3 ? 16 ? 1? ? ? ? ? ? 5 ? 25

2

如果α是第三象限角,那么cosα<0.于是
16 4 cos ? ? ? ?? 25 5

sin ? 3 5 3 tan ? ? ? (? ) ? (? ) ? cos ? 5 4 4
如果α是第四象限角,那么

4 cos ? ? 5

3 tan ? ? ? 4

堂上练习

4 1. 已知 cos ? ? ? , 且? 是第三象限角 . 5 求sin? ,tan?的值. 9 2 2 sin ? ? 1 ? cos ? ? 25 因α是第三角限角所以

3 sin ? ? ? 5

sin ? 3 tan ? ? ? cos ? 4

2.已知tan ? ? ? 3, 求sin ?,cos ?的值.
? sin? ?? 3 ? 解: ? cos ? ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?

? ? 3 3 sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 或? 2 ? ? ?cos ? ? ? 1 ?cos ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2

cos x 1 ? sin x 例2、求证: ? 1 ? sin x cos x 证法1:由cosx≠0,知sinx≠-1,所以1+sinx≠0,则

cos x ?1 ? sin x ? cos x ?1 ? sin x ? 左= = 2 ?1 ? sin x ??1 ? sin x ? 1 ? sin x
cos x ?1 ? sin x ? = 2 cos x 1 ? sin x = ?右 cos x

证法2:因为

?1-sin x??1? sin x? 2 ? 1 ? sin x ? cos x cos x
cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

且1-sinx≠0,cosx≠0,所以

堂上练习

2.化简 ?1? cos? tan ? ;

sin ? ? sin ? ?1? cos ? tan ? ? cos ? ? cos ?
2 2 2

2cos ? ? 1 ? 2? 2 1 ? 2sin ?
2

2cos ? ? 1 2cos ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? 2? 2 1 ? 2sin ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? 2sin 2 ?
2

cos ? ? sin ? ? ?1 2 2 cos ? ? sin ?
2 2

3.求证:

(1) sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ;
4 4 2 2

(2) sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? 1.
4 2 2 2

?1? 左 ? ? sin ? ? cos ? ?? sin ? ? cos ? ? 2 2 ? sin ? ? cos ? =右
2 2 2 2

? 2 ? 左= sin ? ? sin ? ? cos ? ? ? cos ?
2 2 2 2

= sin ? ? cos ? ? 1 ? 右
2 2

练习
已知:tan? ?2,填空:
sin ? ? cos ? ? ________ -3 (1) sin ? ? 3cos ?
分子分母同 除以cos? 2? 2sin2? ?2cos2?

7 sin ? 4 ? ________ (2) 2 2 ? 3cos ?
2

sin ? 2 ? ________ (3) 3 3 sin ? ? 3cos ?

sin? ? sin? ? (sin2? ?cos2? )

4.小结

①平方关系: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ②商数关系: tan ? ? cos ?
sin ? tan ? ? (2) cos ?

(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”
条件等式,即它们成

立的前提是表达式有意义.
(3)利用平方关系时,往往要开方,因此 要先根据角所在象限确定符号,即要就角 所在象限进行分类讨论.

基本变形 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 思考1:对于平方关系 可作哪些变形?
sin ? ? 1 ? co s ? ,
2 2

cos ? ? 1 ? sin ? ,
2 2

(sin a - cos a ) = 1 - 2sin a cos a,
(sin a + cos a ) = 1 + 2sin a cos a,
1 + sin a cos a 1 + cos a sin a = . = , cos a 1 - sin a sin a 1 - cos a
2

2

思考2:对于商数关系 哪些变形? sin ? cos ? ? sin? ? cos? tan?, tan ?

sin ? ? tan ? 可作 cos ?

思考3:结合平方关系和商数关系, 可得到哪些新的恒等式?

1 t an a 2 sin a = . cos a = , 2 2 1 + t an a 1 + tan a
2 2


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