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从一道高考题谈推理论证的严谨性


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5 4   ?  

中学 数学 月 刊 

2 0 1 4年第 6期 

从 一 道离 考 题 谈 推 理 论 证 的严 谨 牲 
常 国 良  ( 江苏省 泰兴 中学
严 谨 性 是 数 学 学 科 的基 本 特 点 . 所 谓 数 学 严 谨 

2 2 5 4 0 0 )  

<0 , 那么函数  —f( z ) 在区间[ 口 , 6 ]内有零点 , 即  
存在 C ∈( a , 6 ) , 使得 f( c ) 一0 , 这个 C 也 就 是 方 程 
厂 (  ) 一 0的根 ” .  

性, 就是指对数学结论 的叙述必须精确 , 结论 的论证 
必 须严 格 、 周密 , 整 个 数 学 内容 被 组 织 成 一 个 严 谨 的 

逻辑 系统 . 但笔者在一线教学 中发现 , 高 中生在进行  数学学 习过程 中经常存 在着 逻辑推 理不严 密 、 解题  思路不清 晰等严 谨性 缺失 的问题. 下面笔者 从一 道  2 0 1 3年高考题 的解题案例谈起.  
1 案 例 呈 现 

这道 题 的解 答 不 严 谨 , 反 映 了 部 分 学 生 相 关 知  识 的缺 乏 , 对 推 理 证 明部 分 的 目标 和 要 求 理 解 不 透 .  
评 析  高 考 命 题 的参 考 答 案 不 仅 是 高 考 评 分 

标 准 的 主要 依 据 , 而且 应 该 是 数 学 问 题 解 答 的 典 范 ,   必须标准规范 、 科学严谨. 高 三 数学 学 习 中对 证 明 的   处理一定要上升到“ 理 性 ”的 高 度 , 应 重 视 其 逻 辑 严 
谨性. 如上 述高考 题 , 命 题 专 家 的初 衷 是 对 学 生 “ 理 

( 2 0 1 3 年 江 苏卷 第 2 O 题) 设 函数 , ( z ) =I n  一   , g (  ) =e   一   , 其 中 n为 实 数 .  
( 1 )略 ;  

性 精 神 ”的考 查 , 而结果却很遗憾.  
3   变题 反 思 

( 2 ) 若g ( x ) 在( 一1 , +。 。 ) 上是单调增 函数 , 试 
求 ,( z)的 零 点 个 数 , 并证 明你 的 结论 .  

变题 l   设 函数 , (  ) =e   一纰 +口 ( &∈ R ) , 其 
图象 与  轴 交 于 A(   , O ) , B(   , 0 )两 点 , 且  < 

第( 2 ) 小 问部 分 自认 为 “ 正 确 ”的学 生 是 这 样 做 
的:  

z : . 求 n的取 值 范 围.  
解  ( z)=e  一 a .  

由g ( z ) 在( 一1 , +。 。 ) 上是单 调增函数 , 求出a   ≤ e ~. 令, ( z ) =I n   z一   一O , 得口 =坦兰(  > O )
. 

若 口≤ 0 , 则 厂( z ) >0 , 函数 (  ) 是单 调增 函  数, 这与题设矛盾. 所 以 口> 0 . 令 /(  )   0 , 则  —   I n& . 当 z< I n   a 时, 厂(  ) <0 , 厂 (  ) 是单调减 函数 ;  
当 z> I n 口 时,  (  ) >0 , , ( z ) 是单 调 增 函数 . 于是 
当  =i n口时 , f ( x)取 得 极 小 值 .  

令^ (   ) = 坦 三(  >o ) , 得h   ( z ) 一  芈
Z 

Z 

.  

当 0< z< e时 , h   (  ) >0 , h ( x) 在( 0 , e ) 上 单 

调递增 ; 当  >e 时, h   (  ) <0 , h ( x ) 在( e , +。 。 ) 上  单调递减. 所 以 当 z— e 时,   (  ) 取 最 大值 e ~.  
又 当 0< z< 1时 ,  (  )=坦兰 < 0; 当 z> 1  
时,  ( z) =业 > 0
.  

因为 函数 厂 ( z ) =e   一纰 +a ( a∈ R ) 的 图象 与 
轴 交 于 两 点 A( z 1 , 0 ) , B( x   2 , 0 ) (  1<  2 ) , 所 以 
厂 ( 1 n   0 ) 一n ( 2一 l n口 )< :0, 且 口口> e   . (*)  

此时, 存在 1 <I n口 , , ( 1 ) =e >0 ; 存在 3 I n   n > 
I n   n,  ( 3 I n   n)一 a 。 一3 a l n   a+ 口> 口  一 3 a  + n> 0 .  

据此 可 以 作 出 h (  )=  
1 一 一 

又由 f ( x ) 在( 一。 。 , I n口 ) 及( I n   a , +C x 。 ) 上 的单 调 性 
I nx  
一  

』 > 0的 草 图 , 如 图 1所 
Z 

及 曲 线 在 R上 不 间 断 , 可知  > e 。 为所 求 取 值 范 围.   评 析  这 是 2 0 1 4 年 江 苏南 通 二模 考试 的试 题 .  
学生答题 时 , 认 为 解 到 (*)就 行 了 , 有 个 别 老 师 草  草一看 , 也认 为是 正确 的, 结果碰巧 是正确 的 , 仅 仅 

j c  

示. f ( x)的零 点 个 数 就 是 直  线 y一口与 函数 h( z)图 象 交 

/   ~ 
D  1  

点 的个 数 . 即 当 a≤ 0或 a =   e   时函数 , ( z ) 的 零 点 个 数 
2   错 因 分析 

由极小值在 z轴下方 , 是不能保证函数 厂 ( z ) 的图象 
图 1  

和  轴 有 两 个 交 点 的. 极 小 值 点 左 边 虽 然 是减 函 数 ,   但 图象 不 一 定 从 z轴 上 方 单 调 减 到  轴 下 方 , 极 值  点 的右 边 同样 也 不 一 定 单 调 增 到  轴 上 方 去 .从 本  题 的要 求 和求 解 的过 程 看 是 不 严 谨 的 , 必须要有“ 零 

为 1 ; 当0 < a< e   时 函数 f ( x )的零 点 个 数 为 2 .  

从 以上解答可 以看 出,  (  )的零 点个数确实求  正确 了, 但 以此作为证 明过程却有问题. 这是典 型的  “ 以形代证”. 本题 所要 求 的是 证 明你 的结论 , 绝 不 
是 从 图象 上 的直 观 判 断 , 是 要 经 过 严 密 的推 理 把 这  几 个 零 点 都 找 出来 , 这就要用到必修 1 所 学 的“ 零 点  存 在性定理” , 即“ 如果 函数 =厂 ( z ) 在 区 间[ n , 6 ] 上  的 图象 是 连 续 不 断 的一 条 曲线 , 并 且 有 f( 口 ) ? f( 6 )  

点存在性定 理” 作 支持 , 满 足这 一定 理 的条件 才符 
合 题意.  
变题 2   已知 函数 f ( x)一 mx 一 2 1 n   z 一  ,  

g (  ) 一  , 其 中 m 为实 数. 若 对 任 意 给 定 的  。∈  
e 

( O , e ] , 在 区 间( O , e ]上 总存 在 t   , t 。 ( t  ≠ t   ) , 使得 

2 0 1 4年 第 6期 

中学数 学 月刊 
4   感 悟 提 升 

?   5 5  ?  

f ( t   ) =, ( t   ) 一g ( x 。 ) 成立 , 求 m 的范围 , 并证 明你 
的结 论 .  

数 学 的 逻 辑 严 谨性 是 指 数 学 逻 辑 结 构 的 严 密 性 
和 结 论 的 确 定性 . 数 学 从 公 理 出 发 严 格 遵 循 形 式 逻 

解  易知 g (  ) 在( o , e ] 上 的值域 为( O , 1 ] .因 
f ( x)一mz一 2 1 n   —m, x∈ ( 0, +∞) , 当 m=O时 ,  

辑 的规则 , 演绎推导 出其他命题 , 建立起严密 的理论 

厂 (  ) =- -2 1 n   X在( O , e ] 上为减 函数 , 不合题意 . 当m  
( z 一  )  

体系. 我们再看 2 0 1 0年江苏卷 第 1 9 题.  
设各项均为正数的数列 { a   }的前  项 和 为 S   ,  

≠0 时,  (  ) =  

, 由题意知 , ( z ) 在( O , e ]  

已知 2 a   一口   +口 。 , 数列 { 、 / , s   ) 是公差为 d的等差数 
列.  

上不单调 , 所以0 <  < e , 即 优>  ①. 此时 f ( x )  
,   C 

o 

O 

在( 0 ,   ) 上递 减 , 在( 上, e ) 上递增 , 所以f ( e ) ≥ 1 ,  
HI   fl 1  
0 

( 1 ) 求数列 { 口   ) 的通项公式 ( 用 , d表示) }   ( 2 ) 设c 为实数 , 对 满足 m+  =3 k 且 m ≠  的  任意正整数  , , z , k , 不等式 S   +S   >  都成立. 求 

即, ( e ) - - me -2 一  ≥ 1 , 解得  ≥ ÷
C 一

1 

②.由 ① 

证 : c 的 最 大 值 为 号 .  
解  ( 1 )略 .  

和②, 得  ≥ —  I _.  
C —— 1 
o 
, , ‘  

’  

( 2 )由  

一d及 

=  

+(  一 1 ) d , 得 d  
。 =  9  。 忌 。 一 

因 1∈ ( o , e ] , 所以 厂 (   )≤ , ( 1 ) 一0成 立.  
(* * )  
o 

> 0, S   一r t   d 。 . 于是 , 对 满 足题 设 的 m,  , k ,   ≠  ,   有s  + s   -( m  +n z )   > 

下证存在 t ∈( O , 三] , 使得 , (   ) ≥ 1 .  
” ‘  

o 

号 s   .  
所以c 的最大值 c … ≥÷ Q   .( ***)  
, +。 。 )  

取 一e 一, 先证 e ~ < 三, 即证 2 e   一 m> 0 . ③ 
T n 

设 w( x)一 2 e  一 X, 则 叫  ( z)=2 e  一 1> 0在 
0  0 

[  

C ——

J 

, +。 。 ) 上恒成 立. 所以 硼(  )在[  
0 

另 一 方 面, 任 取 实 数。 >昙 . 设k 为 偶 数, 令  :  
3 忌+ 1
3愚
=  


C 一

1  

,  

上为增 函数. 由 w(  )≥ 叫( ÷
C 一

^ 

)> 0 , 知 ③ 成立 .  


1 , 则  ,  , 愚 符合条件 , 且s   +s  

再证 厂 ( e ~ )≥ 1 . 因, ( e 一) 一me 一 + m> m ≥ 
0 


(  +   )   一   。 [   3 忌 + 1 )   + ( 号 忌 一 1 ) 。 ] 一  
1   ( 9 k  + 4 )
.  

口 

C ——

_ >1 u , 所以   ≥ —u _ 时, 命题成立.  
1  C —— 1 
o 

综 上所述 ,   的取值范 围为[ -  , +o 。 ) .  
C —— ^ 

于是 , 只要 9 k 。 + 4< 2 a k   , 即 当 k> _ 

= 

评析  这是 2 0 1 4年江苏苏南 四市一 模考试 的 
试题. 上 面 的求解 过 程 , 有 部 分 学生 认 为 到 ( * *)   式 即可 , 也 有 部 分 学 生 感 性 说 明 当 X 趋 近 于 0时 ,   , (  )的值 趋 近 于正 无 穷 , 做 完 题 后 自我 感 觉 较 好 ,   出 了错 却 不 知 错 在 何 处 . 事实上 , 他 们 的求 解 过 程 都  不严谨 , 没有进 行论证 , 所 得 结 果 理 由不 充 分 , 典 型 
的“ 会 而不对 , 对而不全” .  

02 a一 9  

时 , 就 有 s   + s   < ÷ d 。 ? 2  一 口 s   , 所 以 满 足 条 件   的 c ≤ 号 , 从 而 c …≤ 号 .  
因此 ,   的最 大 值 为  .  
这道题大部分学生答 题时 , 只 做 到 (* * *)就 

怎样 把数 学 的 解 答 严 谨 地 叙 述 出来 是 一 件 不 容 

止 步 了. 由于  ≠ ” , 且  ,  ∈N  , 所 以  一 一   > 

易做 到的事 , 这 有着较 高 的能力要 求. 总的说来 , 叙  述 要正确 、 合理、 严密 、 简捷和清楚. 把运 算 、 推理 、 作 
图 与所 得 的结 果 无 误 地 加 以叙 述 , 是 解 题 的 一 项 基 

号 不 一 定 能 推 出 号 是 左 边 式 子 的 下 确 界 , 就 不 能 确  
定  的最大值能否取到  . 事 实上 , ( ***) 后续部 
分 完 成 了 证 明  就 是 左边 的 下 确 界 这 一 J z l :  ̄. 在 推 

本要求 . 对列 式 、 计算、 推理 、 作 图都要 有 充分 的理 
由, 遵循严格 的思维规律 , 做到言必有据 , 理 由充 足 ,   合乎逻辑性 . 要 周 密 地 考 虑 问 题 中 的全 部 内 容 , 不 能  遗漏 , 也 不能重复. 这 些 能 力 的培 养 有 一 个 渐 进 的过 

理 和证 明上 , 这一 步是 不可 缺少 的. 2 0 1 0年 江 苏 高 

程. 在 不同的学 习阶段 , 应提 出不 同的要 求 , 教 师在 
解题课 教学过程中要作出示范 , 使学生学有 榜样 , 逐 

考数列题 的“ 标 准答 案”以其 独 特 的方 式 为我们 打 
开 了一 扇 窗户 , 在 这 扇 窗 户 中 人 们 看 到 了 数 学 的科 
学 、 规范、 严谨 .  

步培 养 严 谨 的 表 达 能 力 .  


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