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广东省惠州市2015届高三第一次调研考试数学文试题


广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数学试题(文科)
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. ) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂

其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求.) 1.复数 Z ? A. ?

1 2

i (其中为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2

) D. ?

1 i 2


2.已知集合 A ? x y ? lg ? x ? 3? , B ? x x ? 2 ,则 A A. ( ?3, 2] B. ( ?3, ??) C. [2, ??) ) C. y ? x ? 1 )

?

?

?

?

B ?(

D. [ ?3, ??)

3.下列函数在定义域内为奇函数的是(

1 A. y ? x ? x
2

B. y ? x sin x

D. y ? cos x

4.命题“ 若x ? 1, 则-1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A. 若x ? 1, 则x ? 1, 或x ? ?1
2

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

5.若向量 BA ? (1, 2), CA ? (4,5), 则 BC ? A. (5, 7) B. (?3, ?3) C. (3,3) D. (?5, ?7)

6.若函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,得数据如下:

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

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f (1.375) ? ?0.260
3 2

f (1.4375) ? 0.162

f (1.40625) ? ?0.054
) D. 1.5 )

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个最接近的近似根为( A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 7.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为( A. 22 B. C. D.

y 2

-

π 3

O

5π 12

x

(7 题) 8.函数 f ( x) ? 是 ( )

(8 题)

2 sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分别

A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3

9.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为( a 2 b2
B. ? 2 C. ?



A. ?2

1 2

D. ?

2 2

10.已知函数 f ( x) ? ? A. ? ?1, 0 ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ,若f (?a ) ? f (a ) ? 2 f (1), 则实数的取值范围是 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0
B. ? 0,1? C. ? ?1,1? D. ? ?2, 2?

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(11~13 题)
4 3 3 2 正视图 侧视图

11. 计算 log 3 18 ? log 3 2 ?



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3

?2x ? y ? 2 ?x ? 2y ? 2 ? 12.变量、满足线性约束条件 ? , x ? 0 ? ? ?y ? 0 则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 .
13.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得 分。 14 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 圆 的 参 数 方 程 为 :

? x ? 3 ? 3cos ? ? , (为参数) ,以 Ox 为极轴建立极坐标系, ? ? ? y ? 1 ? 3sin ?
极坐标方程为: ? cos ? ? ? 为 .

直 线
C

? ?

??

? ? 0 ,则圆截直线所得弦长 6?
A

D

O

B

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆的直径,

BC 是圆的切线,切点为, OC 平行于弦 AD ,
若 OB ? 3 , OC ? 5 ,则 CD ? .

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

3 1 cos x ? sin x ? 1 2 2

(1)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 6 3 3

17.(本题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率. 18. (本小题满分 14 分)
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如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形,

ED ? 面 ABCD , ?BAD ?

?
3

E F



(1)求证: 平面BCF / / 平面AED . (2)若 BF ? BD ? a, 求四棱锥A ? BDEF的体积。 19. (本小题满分 14 分)
A

D B

C

已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ? 1, 公 差 d ? 0, 且 a2 , a5 , a14 分 别 是 等 比 数 列 ?bn ? 的

b2 , b3 , b4 .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2) 设数列 ?cn ? 对任意正整数均有 20.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

c1 c2 ? ? b1 b2

?

cn 求 c1 ? c2 ? ? an ?1 成立, bn

? c2014 的值.

x2 y 2 6 ,过 C1 的左焦点 F1 的直 线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 a b 3

l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2 (r ? 0) 截得的弦长为 2 2 .
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点,满足 PF1 ? 几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

a2 PF2 ,若存在,指出有 b2

1? a ? 1(a ? R ) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

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广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数学试题(文科)答案 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A 9 B 10 C

1. 【解析】化简得 z ? 2.C【解析】

1 1 1 ? i ,则虚部为 ,故选 C 2 2 2

A ? x y ? lg ? x ? 3? ? ? x x ? ?3? , B ? ? x x ? 2? ,所以 A

?

?

B ? [2, ??) ,

故选 C. 3. 【解析】根据奇函数的定义可知 A 正确。 4. 【解析】 由逆否命题的变换可知, 命题“若 x 2 ? 1 , 则 ? 1 ? x ? 1 ” 的逆否命题是 “若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 ” ,故选 D. 5. 【解析】 BC ? BA ? AC ? ? ?3, ?3? 6. 【解析】因为 f ?1.40625 ? ? -0.054 ? 0 , f ?1.4375 ? ? 0.162 ? 0 ,由零点存在定理知, 最接近的近似根为 1.4 . 7. 【解析】程序执行过程中, i, s 的值依次为 i ? 1, s ? 1 ; s ? 1, i ? 2 ; s ? 1 ? 1, i ? 3 ;

s ? 1 ? 1 ? 2, i ? 4 ; s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3, i ? 5 ; s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, i ? 6 ; s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5, i ? 7 ,输出的值为 16.

3 5 π T ? π+ . 5 12 3 π 时取到最大值 2 ,且最小正周期满足 4 8. 【解析】由图知 f ( x) 在 x ? 12 3 2π 5π 5π ? ? 3π,? ? 2, 2 sin(2 ? ? ? ) ? 2 sin( ? ? ) ? 1, A ? 2, 4 ? 12 6 故 , 5π π π π ? ? ? 2kπ ? ,? ? 2kπ ? , k ? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 6 2 3 3 .所以 5 π f ( π) ? 2 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 3 或由 12 逐个检验知
9. 【解析】试题分析:双曲线的离心率 e ?

c a 2 ? b2 b2 b ? ? 1 ? 2 ? 3 ,所以 ? 2 ,其 a a a a

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渐近线的方程为 y ? ? 10. 【解析】

b x ,其斜率为 ? 2 ,故选 B. a

由偶函数定义可得 f ( x) 是 偶函数,故 f (? a ) ? f (a ) ,原不等 式等价于

f (a ) ? f (1) ,又根据偶函数定义, f (a ) ? f ( a ) ? f (1) ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,

a ? 1 , a ? [?1,1] .或利用图象求范围.选 C.
y
11. 2 12.

4 3

13. 24

14. 4 2

15. 4

2 1

11. 【解析】 log 3 18 ? log 3 2 ? log 3

18 ? log 3 9 ? 2 2

2x+y=2 A x+2y=2 x 2 1 l:z=x+y

?2x ? y ? 2 ?x ? 2y ? 2 ? 12. 【解析】作出不等式组 ? 所表示的可行域如图所示, ?x ? 0 ? ?y ? 0
联立 ?

O

?2 x ? y ? 2 ?2 2? 得 A ? , ? ,作直线 l : z ? x ? y ,则为直线在轴上的截距,当 ?3 3? ?x ? 2 y ? 2

直线经过可行域上的点时,直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即

zmax ?

2 2 4 ? ? . 3 3 3
1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 2 3 2

3 2 3 4 第 13 题图

13. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个 小三棱锥得到的,如图 V ? 14. 【解析】圆 C : ?

? ? x ? 3 ? 3cos ? (为参数)表示的曲线是以点 y ? 1 ? 3sin ? ? ?

?

3,1 为圆心,

?

以为半径的圆,将直线 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 0 的方程化为直角坐标方程为 3 x ? y ? 0 ,圆心 6?
3 ? 3 ?1 ? 1,

?

3,1 到直线 3 x ? y ? 0 的距离 d ?

?

? 3?

2

?1

2

故圆截直线所得弦长 2 3 ? 1 ? 4 2 .
2 2

15. 【解析】由于 OC //AD ,??BOC ? ?BAD ,而 OD ? OA ,因此 ?ODA ? ?BAD , ??ODA ? ?BOC , OC //AD ,??COD ? ?ODA ,??COD ? ?BOC ,
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OD ? OB , OC ? OC ,??BOC ? ?DOC ,故 CD ? BC ,由于 BC 切圆于点,易知
OB ? BC ,由勾股定理可得 BC ? OC 2 ? OB 2 ? 52 ? 32 ? 4 ,因此 CD ? BC ? 4 .

16.解:依题意 f ( x) ?

3 1 ? cos x ? sin x ? 1 ? sin( x ? ) ? 1 2 2 3

???2 分

(1) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2? ; 令?

???4 分

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得 ?

5? ? ???8 分 ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) . 6 6 ? 9 ? 4 (2)由 f (? ) ? sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 因为 ? ? ? ???10 分 , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? , 6 3 2 3 3 5 2? ? ? ? 4 3 24 ???12 分 sin(2? + ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ? ? 3 3 3 3 5 5 25
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [? 17.解: (1)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取比例为 ∴男生应该抽取 20 ?

5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? 6 6

???7 分

6 1 ? 30 5

1 ? 4 人 ??????????4分 5

(2)在上述抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人,男生 4 人。女生 2 人记 A, B ;男生 4 人为

c, d , e, f , 则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( A, B) 、( A, c) 、( A, d ) 、( A, e) 、( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 (d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共 15
种情况,????????8 分 其中恰有 1 名女生情况有: ( A, c) 、( A, d ) 、( A, e) 、( A, f ) 、( B, c) 、( B, d ) 、( B, e) 、( B, f ) , 共 8 种情况, ??????????10 分

故上述抽取的6人中选2人,恰有一名女生的概率概率为 P ?

8 . ???????12 分 15

18.证明: (1)由 ABCD 是菱形

? BC / / AD
BC ? 面ADE , AD ? 面ADE
? BC / / 面ADE ??3 分
A

E F

D

O B

C

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由 BDEF 是矩形? BF / / DE

BF ? 面ADE , DE ? 面ADE BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC
(2)连接 AC , AC

? BF / / 面ADE

BF ? B ???6 分

BD ? O ? AC ? BD 由 ABCD 是菱形,

由 ED ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD

? ED ? AC
? AO ? 面BDEF ,???10 分

ED , BD ? 面BDEF , ED
?
3

BD ? D

则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高 由 ABCD 是菱形, ?BAD ? ,则 ?ABD 为等边三角形,

由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a , AO ?

3 a S BDEF ? a 2 , 2 ,

1 3 3 3 VA? BDEF ? ? a 2 ? a? a 3 2 6

???????????????14 分

19.解: (1)∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列,
2 ∴ (1 ? 4d ) ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,即 d ? 2 ,

?????2 分

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1.

????????4 分

又∵ b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 , ∴ q ? 3 , b1 ? 1 , bn ? 3n ?1. ??????6 分 (2)∵

c1 c2 ? ? b1 b2

cn ? an ?1 , bn





c1 c c ? a2 ,即 c1 ? b1a2 ? 3 ,又 1 ? 2 ? b1 b1 b2 cn ? an ?1 ? an ? 2 bn

cn ?1 ? an (n ? 2) , bn ?1



①②得

?????????????????9 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3n ?1 ( n ? 2) , ∴ cn ? ? 分 则 c1 ? c2 ?

(n ? 1) ?3 , ????????????11 n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)
? 2 ? 32014?1 ? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ?

? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ?

? 32013 )

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3(1 ? 32013 ) ? 3 ? 2? ? 32014. ??????14 分 1? 3
20.解:因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 , 令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2, 0) ????????????????1 分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 ,∴ a 2 ? 6 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? a 3

x2 y2 ∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 : ? ? 1 .???????????????4分 6 2
(2)存在点 P,满足 PF1 ?

a2 PF2 b2

∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 .????????????8分 设圆 C2 上存在点 P ( x, y ) ,满足 PF1 ? 且 F1 , F2 的坐标为 F1 (?2, 0), F2 (2, 0) , 则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 2) 2 ? y 2 , 整理得 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ∴ CC2 ? 故有 2 ?

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , b2

5 2

9 5 3 ,它表示圆心在 C ( , 0) ,半径是 的圆。 4 2 2

5 37 (3 ? ) 2 ? (3 ? 0) 2 ? ???????????????12分 2 2

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

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a2 ∴圆 C2 上存在两个不同点,满足 PF1 ? 2 PF2 .?????????14分 b
21.解: (1)当 a ? -1 时, f ( x) ? ln x ? x ? -1, x ? (0, ??)

2 x

f ' ( x) ?

1 2 ? 1 ? 2 , f (2) ? ln 2 ? 2, f ' (2) ? 1, 所以切线方程为:y ? x ? ln 2 x x
????????????6 分

(2)因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x
x ? (0,??) ,

ax 2 ? x ? 1 ? a 1 a ?1 所以 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x2 x
2

令 g ( x) ? ax ? x ? 1 ? a, x ? (0,??), ????????8 分 (i)当 a=0 时, g ( x) ? -x ? 1, x ? (0, ??) 所以当 x ? (0,1) 时 g(x)>0, f ( x) ? 0 此时函数 f ( x) 单调递减,
'

x∈(1 ,∞)时,g(x)<0, f ( x) ? 0 此时函数 f (x)单调递增。
'
,

(ii)当 a ? 0 时,由 f ( x)=0 ,解得: x1 ? 1, x2 ? 1- ????????10 分

1 a

1 ,函数 f(x)在 (0,+?) 上单调递减,????????11 分 2 1 1 1 ②若 0 ? a ? ,在 (0,1), ( - 1, ? ?) 单调递减,在 (1, -1) 上单调递增. 2 a a
①若 a ? ③ 当 a<0 时,由于 1/a-1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递减;
'

x∈(1 ,∞)时,g(x)<0 , f ( x) ? 0 ,此时函数 f ( x) 单调递增。
'

综上所述: 当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增

1 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 2 1 1 当 0 ? a ? 时,函数 f(x)在 (0,1), ( - 1, ? ?) 上单调递减; 2 a 1 函数 f(x)在 (1, -1) 上单调递增;???14 分 a
当a ?

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