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2014无锡市期末高二数学试题


2014/01/18 一.填空题

无锡大市期末统考高二数学试题(满分 150 分)

2 2 1. “ a ? b ”是“ a ? b ”成立的

条件

2.直线 mx ? ? m ? 2? y ? 3 ? 0 的斜率为 1,则实数 m ? 3.有三个平面两两相交于三条直线,这三条直线的位置关系是

4.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程是 4 2

5.设一辆汽车在公路上作匀速直线运动,假设 t 秒时的速度为 v ?t ? ? 2t 2 ?1 (米/秒) ,则 在第 2 秒末的加速度是 (米/秒)

6.如图长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面是边长为 2 的正方形,侧棱 长为 2,则二面角 C1 ? BD ? C 的正切值是 7.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2by ? b2 ? 0 和圆心在第二象限,且与 C 轴相切 则实数 b ? 8.函数 f ? x ? ? cos x ? 3 sin x ,则 f ? ? 9.抛物线 y ? ax
2

? 2? ? 3

? ?? ?

? a ? 0? 上一点 P ?1, a ? 到焦点的距离为 1,则实数 a ?

10. (文)过点 P ? 2,1? 且对称轴为坐标轴的等轴双曲线方程为 (理)直线 l 的方向向量 a ? ?1, m, 2 ? ,平面 ? 的法向量 ? ? ? ?3, 2, m ? 1? ,若 l / /? , 则实数 m ? 11.下列命题的正确序号为 ①过已知平面外的一条直线,必能作出与已知平面平行的平面 ②过已知平面外的一点,必能作出与已知平面平行的平面 ③过已知平面外的一条直线,必能作出与已知平面垂直的平面 12.棱长都为 1 的凸多面体有 9 个面,它的侧面展开图(右) 则这个凸多面体的体积为 13.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点 F1 , F2 ,过焦点 F1 的直线交椭圆于两点 A, B ,?F2 AB 4

内切圆半径的取值范围是 14.两点 A? ?1,0? , B ?1,0? ,直线 l : x ? ?1, P 是平面上一动点,设直线 PA, PB 的斜率分别

k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? ?1 ,过点 P 作 l 的垂线,垂足为 Q ,则 ?APQ 面积的最大值是

1

二.解答题 15.两条直线 l1 : x ? y ?1 ? 0; l2 : 2 x ? y ? 4 ? 0 的交点为 P ,动直线 l : ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 (1)若直线过点 P ,求实数 a 的值 (2)若直线 l ? l1 ,求这三条直线围成的三角形的面积【12 分】

16.如图,设四棱锥 E ? ABCD 的底面是菱形,且 ?ABC ? 600 , P 为 DE 上的一点 (I)设

DP ? ? ,若 DE / / 平面 PAC ,求 ? 的值 PE

(II)若 AB ? EC ? 2, AE ? BE ? 2 , 证明 平面 EAB ? 平面 ABCD 【12 分】

17. 【12 分】已知函数 f ? x ? ? x ? a, g ? x ? ? ln x ? x
2

(I)求函数的单调区间 ( II ) 若 函 数 f ? x? , g? x ? 的 图 象 有 公 共 点 P ? x0 , y0 ? , 直 线 l 过 点 P , 且 与 函 数

f ? x ? , g ? x ? 的图象相切于点 P ,求直线 l 的方程

2

BD 的交点, M 是棱 CC1 上的 18. (理)如图在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O 是 AC 与
一点,且 CM ? ?CC1 (I)当 ? ?

2 时,求二面角 A 1 ? BD ? M 的正弦值 3

(II)若 AO ? 平面 MBD ,求 ? 的值【14 分】 1

(文)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : ax ? y ? 4 ? 2a ? 0 【14 分】 (I)若直线 l 与圆 O 相切,求直线 l 的方程 (II)直线 l 与圆 O 相交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过坐标原点,求 a 的值

19.将一个半径为 30cm ,中心角为

2? 的扇形围成一个圆锥 3

(I)求此圆锥的体积 (II)在此圆锥内作一个内接圆柱,其中一个底面在圆锥底面上,求当圆柱的体积最大 时圆柱的高【14 分】

20. 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 右顶点为 A, P 为椭圆上任意 a 2 b2

一点, PF 1 ? PF2 的最大值为 3,最小值为 2 (I)求椭圆 C 的方程 (II)设过点 ?

?2 ? , 0 ? 的直线交椭圆于两点 M , N ?7 ?

(1)若 l ? x ,证明: MA ? NA (2)求证:以 MN 为直径的圆经过定点,并求此定点坐标【16 分】
3

参考解答
一.填空题 1.必要不充分 2.1 3.平行或相交于一点 4. y ? ?

2 x (其一) 2

5. 8

6. 2

7. ?2

8. ? 3

9.

1 2

10. (理)

5 ; (文) x2 ? y 2 ? 3 4

11.②③

12. 1 ?

2 6
1 3

13. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

14.

3 3 8

二.解答题 15. (I) a ? ? ; (II) S? ? 12

16.略 17. (I)增区间 ? 0,1? ;减区间 ?1, ?? ? (II) y ? x ? 1 ? ln 2

18. (理) (I)

1 5 102 ; (II) ? ? 2 51

(文) (I) 3x ? 4 y ? 10 ? 0 ; (II) a ? 1 or 7

19. (I)

2000 2? cm3 ; 3

(II)圆柱的体积最大时,高

20 2 cm 3

20. (I)

x2 y 2 ? ?1 4 3

(II) (1)略 (2)过定点 ? 2, 0 ?

4


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