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3.4基本不等式


基本不等式 知识点一:基本不等式
1、重要不等式:若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

(当且仅当 a ? b 时取“=”)

2、基本不等式:(1)若 a, b ? R * ,则 (2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab
2

a?b ? ab

2

(当且仅当 a ? b 时取“=”)

a ? b ? (当且仅当 a ? b 时取“=”) (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
(4) 若 a, b ? R ,则 ab ? 3、若 x ? 0 ,则 x ?

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”) x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=”) x
若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x (当且仅当 a ? b 时取“=”)

a b 4、若 ab ? 0 ,则 ? ? 2 b a

(当且仅当 a ? b 时取“=”) (当且仅当 a ? b 时取“=”)

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

5、若 a, b ? R ,则 (

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=”) ) ? 2 2

知识点二: 利用重要不等式求函数最值时, 注意: “一正二定三相等, 和定积最大,积定和最小”这 17 字方针
【练习】 1、下列命题中正确的是( ) 1 A、 y ? x ? 的最小值是 2 x 2 x ?3 B、 y ? 的最小值是 2 x2 ? 2 4 C、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x

4 2、已知 x ? 0, 求y ? x ? 的最小值 x

4 3、当 x ? 0时,求 y ? x ? 的最大值 x

4、已知 0 ? x ? 4, 求y ? x(4 ? x)的最大值

5、若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值是________

注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有 广泛的应用

应用一:求最值
例:求下列函数的值域 1 (1)y=3x2+ 2 2x 1 (2)y=x+

x

解题技巧

技巧一:凑项 例 已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

技巧三: 分离换元 例:求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域 x ?1

技巧四:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数

f ( x) ? x ?

a 的单调性 x

例:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域

技巧五:整体代换(“1”的应用) 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 技巧六

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y

例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

y2
2

=1,求 x 1+y 的最大值

2

技巧七: 例:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1

ab

的最小值

技巧八:取平方 例:求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值
2 2

应用二:利用均值不等式证明不等式
例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题
例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

应用四:均值定理在比较大小中的应用:
例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,求 P, Q, R 的大小关系 2 2


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