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浙江省2014年1月普通高中学业水平数学考试试题(纯word版,有答案)


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2014 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
学生须知: 1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,满分 100 分,考试时间 110 分钟. 2、考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3、选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如要改动,须将原填涂处用 橡皮擦净. 4、非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内,作图时可先使用 2B 铅笔,确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑,答案写在本试卷上无效. 5、参考公式 球的表面积公式:S=4?R2 球的体积公式:V= 4 ?R3(其中 R 表示球的半径)

3

选择题部分
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分.每小题给出的选项中 只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.) 1、设集合 M={0,1,2},则 ( ) A.1∈M B.2?M C.3∈M D.{0}∈M 2、函数 y ? x ?1 的定义域是 ( )

A. [0,+∞) B.[1,+∞) C. (-∞,0] D.(-∞,1] 3、若关于 x 的不等式 mx-2>0 的解集是{x|x>2},则实数 m 等于 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 4、若对任意的实数 k,直线 y-2=k(x+1)恒经过定点 M,则 M 的坐标是 ( ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-1,-2) 5、与角- ? 终边相同的角是

6

( C. 11? D. 2?



A. 5?

6

B. ?

3

6

3

6、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示,则该几何体的正视图是(



A.

B.

C.

D.

7、以点(0,1)为圆心,2 为半径的圆的方程是 A.x2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+y2=2 C. x2+(y-1)2=4 8、在数列{ an }中,a1=1,an+1=3an(n∈ N*),则 a4 等于 A.9 B.10 C.27 9、函数 y ? x 的图象可能是

(第 6 题图) ( ) 2 2 D. (x-1) +y =4 ( ) D.81 ( )

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y

y

y O x

y

O

x

O

x
O

x

A. B. C. 10、设 a,b 是两个平面向量,则“a=b”是“|a|=|b|”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

D. (



2 y ? 1(a ? 0) 的一个顶点坐标为(2,0) 11、设双曲线 C: x 2 ? ,则双曲线 C 的方程是(

a

3



2 y2 ?1 A. x ?

16

3

2 y2 ?1 B. x ?

12

3

2 y2 ?1 C. x ?

8

3

D. x ?

2

4

y2 ?1 3
( )

12、设函数 f(x)=sinxcosx,x∈ R,则函数 f(x)的最小值是 A. ? 1

4

B. ? 1

2

C. ?

3 2

D.-1 ( )

13、若函数 f(x)= x2? a (a∈ R)是奇函数,则 a 的值为

x ?1

A.1 B.0 C.-1 D.± 1 14、在空间中,设 α,?表示平面,m,n 表示直线.则下列命题正确的是 A.若 m∥ n,n⊥ α,则 m⊥ α B. 若 α⊥ ?,m?α,则 m⊥ ? C.若 m 上有无数个点不在 α 内,则 m∥ α D.若 m∥ α,那么 m 与 α 内的任何直线平行 15、在△ ABC 中,若 AB=2,AC=3,∠ A=60° ,则 BC 的长为 A. 19 B. 13 C.3 D. 7









16、下列不等式成立的是 - - A.1.22>1.23 B.1.2 3<1.2 2 C. log1.2 2>log1.2 3 17、设 x0 为方程 2x+x=8 的解.若 x0 ∈ (n,n+1)(n∈ N*),则 n 的值为 A.1 B.2 C.3 18、下列命题中,正确的是 A. ? x0∈ Z,x02<0 B. ?x∈ Z,x2≤0 C. ? x0∈ Z,x02=1 19、 若实数 x,y 满足不等式组

y?0 ?xx ? ? y?2?0

( ) D.log0.2 2<log0.2 3 ( ) D.4 ( ) 2 D.?x∈ Z,x ≥1 )
A1 D1 E B1 D A B C C1

, 则 2y-x 的最大值是 (

A.-2 B.-1 C.1 D.2 20、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段 A1C1 的中点, 则异面直线 DE 与 B1C 所成角的大小为 ( ) A.15° B.30° C.45° D.60°

(第 20 题图) 21、 研究发现, 某公司年初三个月的月产值 y (万元) 与月份 n 近似地满足函数关系式 y=an2+bn+c (如 n=1 表示 1 月份).已知 1 月份的产值为 4 万元,2 月份的产值为 11 万元,3 月份的产值

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为 22 万元.由此可预测 4 月份的产值为 ( ) A.35 万元 B.37 万元 C.56 万元 D.79 万元 2 2 3 4 22、设数列{ an },{ an } (n∈ N*)都是等差数列,若 a1=2,则 a2 + a3 + a4 + a55 等于( A.60 B.62 C.63 D.66 23、设椭圆?: x 2 ?
2



a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1,F2,若椭圆?上存在点 P,使△ P F1F2 是以 F1P b2
( ) B. (0, 1 ) C. ( 1 ,1) D. ( 1 ,1)

为底边的等腰三角形,则椭圆?的离心率的取值范围是 A. (0, 1 )

2

3

2

3

24、设函数 f ( x) ?

x ,给出下列两个命题: x ?1

① 存在 x0∈ (1,+∞),使得 f(x0)<2; ② 若 f(a)=f(b)(a≠b),则 a+b>4.其中判断正确的是 ( ) A.① 真,② 真 B. ① 真,② 假 C. ① 假,② 真 D. ① 假,② 假 25、如图,在 Rt△ ABC 中,AC=1,BC=x,D 是斜边 AB 的中点,将△ BCD 沿直线 CD 翻折,若 在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥ AD,则 x 的取值范围是 ( ) A. (0, 3] B. (

2 , 2] 2
B

C. ( 3, 2 3]

D.(2,4]

B D C C A D

A

(第 25 题图)

非选择题部分
二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26、设函数 f(x)= x , x ? 2
2

?

3x ? 2, x ? 2

,则 f(3)的值为

27、若球 O 的体积为 36?cm3,则它的半径等于 cm. 2 2 28、设圆 C:x +y =1,直线 l: x+y=2,则圆心 C 到直线 l 的距离等于

.

29、设 P 是半径为 1 的圆上一动点,若该圆的弦 AB= 3 ,则 AP ? AB 的取值范围是 30、设 ave{a,b,c}表示实数 a,b,c 的平均数,max{a,b,c}表示实数 a,b,c 的最大值.设 A= ave{ ? 1 x ? 2, x, 1 x ? 1 },M= max{ ? 1 x ? 2, x, 1 x ? 1 },若 M=3|A-1|,则 x 的取值范围

2

2

2

2



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三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31、 (本题 7 分)已知 sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ,求 cos ? 和 sin(? ? ? ) 的值.

5

2

4

32、 (本题 7 分,有(A) , (B)两题,任选其中一题完成,两题都做,以(A)题记分.) (A)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,对角线 P AC 与 BD 相交于点 E,平面 PAC 垂直于底面 ABCD,线段 PD 的中点为 F. F (1)求证:EF∥ 平面 PBC; D C (2)求证:BD⊥ PC.
A E B

(第 32 题(A)图) (B) 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, PB⊥ AC, PC⊥ 平面 ABC, 点 D,E 分别为线段 PB,AB 的中点. (1)求证:AC⊥ 平面 PBC; ( 2 )设二面角 D - CE - B 的平面角为 θ ,若 PC=2 , BC=2AC=2 3 ,求 cosθ 的值.
P

D

C E A

B

(第 32 题(B)图)
y

33、 (本题 8 分) 如图, 设直线 l: y=kx+ 2 (k∈ R)与抛物线 C: y=x2 相交于 P,Q 两点,其中 Q 点在第一象限. (1)若点 M 是线段 PQ 的中点,求点 M 到 x 轴距离的最小 值; (2)当 k>0 时,过点 Q 作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 R, 若 PQ ? PR =0,求直线 l 的方程.

R P O

Q x

(第 33 题图) 34、 (本题 8 分)设函数 f(x)=x2-ax+b,a,b∈ R.. (1)已知 f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,求 a 的取值范围; (2)存在实数 a,使得当 x∈ [0,b]时,2≤f(x)≤6 恒成立,求 b 的最大值及此时 a 的值.

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解答
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分.每小题给出的选项中 只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A B C C C A C C A A D B B A D 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 答案 B B C C B B A D C A 25 题解答

x 2 ? 1 ,BC=x,取 BC 中点 E, 2 翻折前,在图 1 中,连接 DE,CD,则 DE= 1 AC= 1 , 2 2
(1)由题意得,AD=CD=BD= 翻折后,在图 2 中,此时 CB⊥ AD。 ∵ BC⊥ DE,BC⊥ AD,∴ BC⊥ 平面 ADE,∴ BC⊥ AE,DE⊥ BC, 又 BC⊥ AE,E 为 BC 中点,∴ AB=AC=1∴ AE= 1 ? 1 x 2 ,AD=

4

x2 ? 1 , 2

在△ ADE 中:①

x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 x 2 ,② x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 x 2 ,③ x>0; 2 2 4 2 2 4
2 2

由① ② ③ 可得 0<x< 3 . (2) 如图 3, 翻折后, 当△ B1CD 与△ ACD 在一个平面上, AD 与 B1C 交于 M, 且 AD⊥ B1C, AD=B1D =CD=BD,∠ CBD=∠ BCD=∠ B1CD,又∠ CBD+∠ BCD+∠ B1CD=90° , ∴ ∠ CBD=∠ BCD=∠ B1CD=30° ,∴ ∠ A=60° ,BC=ACtan60° ,此时 x=1× 3 ? 3 综上,x 的取值范围为(0, 3 ],选 A。
B B E D C C A E D A C M A B

D

B1

图1

图2

图3

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▲对 25 题的本人想法
C F D E A B

(图 1)

(学业水平考试选择题的最后一题) 折纸时得到灵感! 这题应该是图 2 变化而来的吧。 (图 2)

【分析】 平面 AEF 是 BD 的垂面(如图 1) ,翻折时 AC 至少得达到 AF 位置, 此时必须∠ CAD≥∠ DAE, 【解答】 ∠ CAD≥∠ DAE,∠ CAD=∠ C=∠ BAE≥∠ DAE, ∠ CAD+∠ DAE+∠ BAE =90°≤3∠ C, 从而可得∠ C≥30°,∠ B≤60°,x=tanB≤ 3 ,故 x 的范围是(0,

3]

二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26、7 29 题解答 27、3 28、 2 29、 [ 3 ? 3, 3 ? 3]

2

2

30、{x|x=-4 或 x≥2}

AP ? AB ? ( AO ? OP) ? AB ? AO ? AB ? OP ? AB ? 1? 3 ? 3 ? OP ? AB ? 3 ? OP ? AB 2 2
∴OP 与 AB 共线时, OP ? AB 能取得最值。 ① 若 OP 与 AB 同向,则 OP ? AB 取得最大值,∴AP ? AB 取得最大值 3 ? 1? 3 ? 3 ? 3

2

2

② 若 OP 与 AB 反向,则 OP ? AB 取得最小值,∴AP ? AB 取得最小值 3 ? 1? 3 ? 3 ? 3

2

2

∴ AP ? AB 的取值范围是 [ 3 ? 3, 3 ? 3]

2

2

30 题解答

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?? 1 x ? 2, x ? 1 ? 2 ? ? x, x ? 0 由题意易得 A= 1 x ? 1 ,故 3|A-1|=|x|= ,M= ? 1 x ? 1,1 ? x ? 2 x , x ? 0 3 2 ?x ,x ? 2 ? ?

?

∵ M=3|A-1| ∴ 当 x<0 时,-x= ? 1 x ? 2 ,得 x=-4

2

当 0<x<1 时, x= ? 1 x ? 2 ,得 x= 4 ,舍去

2

3

当 1<x<2 时, x= 1 x ? 1 ,得 x=2,舍去

2

当 x≥2 时, x=x,恒成立 综上所述,x=-4 或 x≥2 注:此题数形结合更好得解。 三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31、 (本题 7 分)已知 sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ,求 cos ? 和 sin(? ? ? ) 的值.

5

2

4

解:∵sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ∴cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( 3)2 ? 4

5 5 2 ? 4? 2 ? 7 2 ∴sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 3 ? 4 4 4 5 2 5 2 10
32、 (本题 7 分,有(A) , (B)两题,任选其中一题完成,两题都做,以(A)题记分.) (A)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,对角线 P AC 与 BD 相交于点 E,平面 PAC 垂直于底面 ABCD,线段 PD 的中点为 F. F (1)求证:EF∥ 平面 PBC; D C (2)求证:BD⊥ PC.
A E B

5

2

(第 32 题(A)图) (1)证明:∵ 菱形对角线 AC 与 BD 相交于点 E∴ AC 与 BD 互相平分,即 AE=CE,BE=DE 又∵ 线段 PD 的中点为 F∴ EF 为△ PBD 的中位线∴ EF∥ PB 又 EF ? 平面 PBC,PB?平面 PBC∴ EF∥ 平面 PBC (2)证明:∵ 平面 PAC⊥ 底面 ABCD,平面 PAC∩底面 ABCD=AC, 菱形 ABCD 中,AC⊥ BD,BD?平面 ABCD∴ BD⊥ 平面 PAC∴ BD⊥ PC

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P

(B)如图,在三棱锥 P-ABC 中, ,PC⊥ 平面 ABC,. (1)求证:AC⊥ 平面 PBC; ( 2 ) 设 二 面 角 D - CE - B 的 平 面 角 为 θ , 若 PC=2 , BC=2AC=2 3 ,求 cosθ 的值.

D

C E A

B

(第 32 题(B)图) (1)证明:∵ PC⊥ 平面 ABC∴ PC⊥ AC,又∵ PB⊥ AC,PC∩PB=P∴ AC⊥ 平面 PBC (2)解:∵ PC⊥ 平面 ABC∴ PC⊥ AC,PC⊥ BC, P 又 AC⊥ 平面 PBC∴ AC⊥ PC,AC⊥ BC 即 CA,AB,CP 互相垂直。 如图,取 BC 的中点为 F,连接 DF,EF ∵ 点 D,E 分别为线段 PB,AB 的中点 ∴ EF∥ AC,DE∥ PA,DF∥ PC C ∴ EF⊥ BC,DF⊥ BC,DF⊥ 平面 ABC, M 且 EF= 1 AC= 3 ,DF= 1 PC=1,CF= 1 CB=1
E A

D

F

B

2

2

2

∴CE ? CF ? EF ? 1 ? 3 ? 2 ,
2 2

(第 32 题(B)图)

∴ BC=CE=BE=2∴ △ BCE 是等边三角形 过 F 用 FM⊥ CE 交 CE 于 M,连接 DM,FM

3 3 , DM ? DF 2 ? FM 2 ? 1 ? ( 3 ) 2 ? 7 ∴FM ? 1 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2

3 ∴cos ? ? cos ?DMF ? MF ? 2 ? 21 DM 7 7 2
33、 (本题 8 分)如图,设直线 l: y=kx+ 2 (k∈ R)与抛物线 C:y=x2 相交于 P,Q 两点,其中 Q 点在第一象限. (1) 若点 M 是线段 PQ 的中点, 求点 M 到 x 轴距离的最小值; (2)当 k>0 时,过点 Q 作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 R, 若 PQ ? PR =0,求直线 l 的方程.
y

R P O

Q x

(第 33 题图) 解: (1)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) 由

?

y ? kx ? 2 消去 y,整理得 x2 ? kx ? 2 ? 0 y ? x2

∴ x1 ? x2 ? k , x1x2 ? 2

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2 x1 ? x2 k ? , y0 ? kx0 ? 2 ? k ? 2 ? 2 2 2 2

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∴ x0 ?

点 M 到 x 轴距离的最小值为 2 (2)由题意得 R(? x2 , y2 ) ∴ PQ ? PR ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? (?x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 )(?x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )2 = x12 ? x22 ? ( y2 ? y1 )2 ? y1 ? y2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ?1) ? 0 ∴ y2 ? y1 ? 1,从而 k ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 k 2 ( x2 ? x1 )2 ? 1 ∴ k 2[( x2 ? x1 )2 ? 4x1x2 ] ? 1 , k (k ? 4 2) ? 1
2 2

解得 k 2 ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ?1)2 (负根舍去)∵ k>0 所以,直线 l 的方程为 y ? ( 2 ?1) x ? 2

∴ k ? 2 ?1

34、 (本题 8 分)设函数 f(x)=x2-ax+b,a,b∈ R.. (1)已知 f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,求 a 的取值范围; (2)存在实数 a,使得当 x∈ [0,b]时,2≤f(x)≤6 恒成立,求 b 的最大值及此时 a 的值.

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