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新疆兵团农二师华山中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 文


2015-2016 学年度高三年级第二次月考 数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟; 分值:150 分; 一、选择题(每题 5 分,共 60 分): 1.复数 z ? A. 1 ? 2i

3?i 等于( ) 1? i B. 1 ? 2i

C. 2 ? i

D. 2 ? i

2.已知实数集 R 为全集,集合 A={x|y=log2(x-1)},B={y|y= 4 x ? x2 },则(?RA) ∩B( ) A. (-∞,1] B. (0,1) C.[0,1] D. (1,2] )

3.已知 ? , ? 角的终边均在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 a9 ? 10,则 a5 的值为( A. 5 B. ? 10 C. 10 D. ? 5

5.设 a ? (1, 2), b ? (1,1), 且a与a ? ?b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围是( A. ( ? , 0) ? (0, ??)

?

?

? ?
5 3

?



5 3

B. ( ? , ??) C. [ ? , 0) ? (0, ??) 的) 部 分 图 像 如 图 , 则

5 3

D. (? , 0)

5 3

6 . 函 数 y ?s i ? nx ( ??

f ( ) =( 2
A. ?

?

)

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2
B O C
120° 150°

7. 如图所示, 平面内有三个向量 OA ,OB ,OC ,OA 角为 120 , OA 与 OC 夹角为 150 ,且
o o

与 OB 夹
A

??? ? ??? ? ???? OA ? OB ? 1 , OC ? 2 3 ,若

OC ? ?OA ? ?OB ??,? ? R? ,则 ? ? ? ? ( )
(A) 1 (C) ? 6 ( B) ? (D) 6

9 2

1

8. 若函数 f ( x) ? ax3 ? b log2 ( x ? 则函数 f ( x) 在 (0,??) 上( A.有最大值 9 )

b 为常数) (a, , x 2 ? 1) ? 2 在 (??,0) 上有最小值-5,

B.有最小值 5

C.有最大值 3

D.有最大值 5 )

9.已知 ? ? ?0, ? ? , cos(? ? A.

?
3

)??

2 ,则 tan 2? ? ( 2
3 3
D. ? 3

3 3

B. ? 3 或 ?

3 3

C. ?

2 2 10.若正项数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 3an ?1an ? 4an ? 0 ,则 {an } 的通项 an ? (



A. an ? 22n ?1

B. an ? 2n

C. an ? 22n ?1

D. an ? 22n?3 )

11.函数 f ( x) ? 2 sin ?x ? 3x ? x 2 所有零点的和为( (A)6 (B)7.5 (C)9 (D)12

12 . 在 △ ABC 中 , E、 F 分 别 为 A B, A C中 点 . P 为 EF 上 任 一 点 , 实 数 x, y 满 足

??? ? ??? ? ???? ? PA? x PB ? y PC ?0 . 设 △ ABC , △PBC , △ PCA , △ PAB 的 面 积 分 别 为
记 S, S , 1 , S 2 , S 3 A.-1

S S1 S ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则 ?2 ??3 取最大值时, 2 x ? y 的值为( S S S 3 3 B.1 C.D. 2 2



二、填空题(每题 5 分,共 20 分): 13.化简

1 3 ? =_____________. ? sin 10 cos10?

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 14.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
2 2



15.已知函数 f ( x) ? x ? 4mx ? 4m ?1 ,若关于 x 的不等式 f ( f ( x)) ? 0 的解集为空集, 则实数 m 的取值范围是 .

16. 已知数列 ?an ? 各项为正, 满足 an?1 ? 2S n ? 1且a1 ? 1则an ? ________ Sn 为其前 n 项和, 三、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分) 17. (本小题满分 10 分)已知椭圆 C :

? x ? ?3 ? 3t x2 y 2 ? ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) . 4 3 y ? 2 3 ? t ? ?

(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (2)设 ? ?1,0 ? ,若椭圆 C 上的点 ? 满足到点 ? 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的
2

坐标.

4? ) ? 2 cos 2 x 3 ? 3 (1)把函数 f ( x ) 的图像向右平移 个单位,再向下平移 个单位得到函数 g ( x) 的图像, 2 2
18.(本小题 12 分)设函数 f ( x) ? cos( 2 x ? 求函数 g ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值,并求出此时 x 的值; , ? 4 6? ?
3 , b ? c ? 2 .求 a 2

(2)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f ( B ? C ) ? 的最小值.

19. (本小题满分 12 分)如图,茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去 ? 图书馆学习的 次数和乙组 4 名同学寒假假期中去 ? 图书馆学习的次数,乙组记录中有一个数据模糊,无 法确认,在图中以 x 表示.

(1)如果 x ? 7 ,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x ? 9 ,从学习次数大于 8 的学生中等可能地选 2 名同学,求选出的 2 名同学恰好 分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, 且 PA ? PD ? DA ? 2 ,

?BAD ? 600 .

(Ⅰ)求证: PB ? AD ; (Ⅱ)若 PB ?

6 ,求点 C 到平面 PBD 的距离.
3

21. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? 1, n ? N? .数列 {bn } 的

?1? 前 n 项和为 Sn , Sn ? 9 ? ? ? ? 3?

n?2

, n ? N? .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn , n ? N? .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) (Ⅰ)当 a ??

2

? ln x, a ? R.

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

(Ⅱ)若函数 f ( x) ? x ? 1 对 ? x ? [1,??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年度数学 10 月月考卷(文科)参考答案 1.C 2.C 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.A 11.A 12.D 13.4 14. ? ?1,11? . 17. (1) ? 15. m ? ?1 16. a n ?

? 8 3 3 ? x ? 2 cos ? , l : x ? 3y ? 9 ? 0 ; (2) P ( ? , ). 5 5 ? ? y ? 3 sin ? ? ? x ? 2 cos ? ( ? 为为参数) , l : x ? 3y ? 9 ? 0 . ? ? y ? 3 sin ?

试题解析: (1)C: ?

(2 cos ? ? 1) 2 ? ( 3 sin ? ) 2 ? 2 ? cos ? , | 2 cos ? ? 3sin ? ? 9 | 2 cos ? ? 3sin ? ? 9 ? . P 到直线 l 的距离 d ? 2 2 3 4 2 2 由 | AP |? d ,得 3sin ? ? 4cos ? ? 5 ,又 sin ? ? cos ? ? 1 ,得 sin ? ? , cos ? ? ? . 5 5 8 3 3 故 P(? , ). 5 5
(2)设 P(2cos ? , 3sin ?) ,则 | AP |?

4

18. (1) x ? ? (2) 1 .

?
6

时,函数 g ( x) 在区间 ??

3 ? ? ?? , ? 上的最小值为 ? ; 2 ? 4 6?
2

试题解析: (1)f(x)=cos(2x﹣ =(cos2xcos = cos2x﹣ 所以 g ( x) ? ? +sin2xsin

)+2cos x

)+(1+cos2x) )+1,

sin2x+1=cos(2x+

1 2? ? cos( 2 x ? ) 2 3 2? ? 7? ? ? ? ? ?? 因为 x ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ? ,? ? 3 ? 3? ? 4 6? ? 6 2? ? 3 ? ? ?? ? ?? 即 x ? ? 时,函数 g ( x) 在区间 ?? , ? 上的最小值为 ? . 所以当 2 x ? 6 3 2 ? 4 6?
(2)由题意,f(B+C)= ,即 cos(2π ﹣2A+ 化简得:cos(2A﹣ 则有 2A﹣ = )= , ∈(﹣ , ) ,

)= ,∵A∈(0,π ) ,∴2A﹣ ,

,即 A=

在△ABC 中,b+c=2,cosA= , 由余弦定理,a =b +c ﹣2bccos 由 b+c=2 知:bc≤ ∴a ≥4﹣3=1, 则 a 取最小值 1. (12 分)
2 2 2 2

=(b+c) ﹣3bc=4﹣3bc, (10 分)

2

=1,当且仅当 b=c=1 时取等号,

1 7 ; (2) 3 2 试题解析: (1)当 x ? 7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习的次数是: 7 , 8 , 9 , 7 ? 8 ? 9 ? 12 ?9 12 ,所以平均数为 x ? 4 1 7 2 2 2 2 2 方差为 s ? ?? 7 ? 9 ? ? ? 8 ? 9 ? ? ? 9 ? 9 ? ? ?12 ? 9 ? ? ? ? 2 4? (2)记甲组 3 名同学分别为 ?1 , ? 2 , ?3 ,他们去图书馆学习次数依次为 9 , 12 , 11; 乙组 4 名同学分别为 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 ,他们去图书馆学习次数依次为 9 , 8 , 9 , 12 从学习次数大于 8 的学生中选 2 名同学,所有可能的结果有 15 种,它们是: ?1? 2 , ?1?3 ,
19. (1) 9,

?1?1 , ?1?3 , ?1?4 , ? 2 ?3 , ?2?1 , ?2?3 , ? 2 ?4 , ?3?1 , ?3?3 , ?3?4 , ?1?3 , ?1?4 , ?3?4 用 C 表示: “选出的 2 名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 ”这一事 件,其中的结果有 5 种,它们是: ?1?4 , ? 2 ?4 , ? 2 ?3 , ? 2 ?1 , ?3?4 故 选 出 的 2 名 同 学 恰 好 分 别 在 两 个 图 书 馆 学 习 且 学 习 次 数 和 大 于 20 的 概 率 为 5 1 ? ? C? ? ? 15 3
5

考点:平均数和方差,古典概型. 20.试题解析: (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E ,连接 PE , BE , BD .∵ PA ? PD ? DA ,四 边形 ABCD 为菱形, 且 ?BAD ? 600 ,∴ ?PAD 和 ?ABD 为两个全等的等边三角形,则 PE ? AD, BE ? AD, ∴ AD ? 平面 PBE ,又 PB ? 平面 PBE ,∴ PB ? AD ; (Ⅱ)在△ PBE 中,由已知得, PE ? BE ? 3, PB ? 6 ,则 PB ? PE ? BE ,所以
2 2 2

?PEB ? 900 ,即 PE ? BE ,又 PE ? AD ,∴ PE ? 平面 ABCD ;在等腰△ PBD 中, 1 10 ;又△BCD 面积为 3 ,设点 C PD ? BD ? 2, PB ? 6 ,所以△PBD 面积为 ? 6 ? 2 2 1 1 10 1 到平面 PBD 的距离为 h,由等体积即 VC-PBD=VP-BCD 得: ? ? 6 ? h ? ? 3? 3 , 3 2 2 3 2 15 2 15 所以 h ? ,所以点点 C 到平面 PBD 的距离为 . 5 5
考点:1、直线平面垂直的判定定理;2、点到平面的距离的求法;

n ?1 2 45 2n ? 5 1 n ? 2 ? ( ) . , bn ? n ? 2 ; (2) Tn ? 4 4 3 2 3 1 ? 试题解析: (Ⅰ)由 2an?1 ? 2an ? 1 得 an ?1 ? an ? , n ? N ,又 a1 ? 1 , 2 1 所以数列 {an } 是以 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 n ?1 于是 an ? a1 ? (n ? 1)d ? , n ? N? . 2
21. (1) an ?

?1? 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 9 ? ? ? ? 3?
当 n ? 2 时, Sn?1 ? 9 ? ? ?

1? 2

?6,


?1? ? 3?

n ?3

? ? 1 ? n ? 2 ? ? ? 1 ? n ?3 ? 2 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ?9 ? ? ? ? ? ?9 ? ? ? ? ? n ? 2 , ? ? ?3? ? ? ? ? ?3? ? ? 3 2 2 ? 又 n ? 1 时 n ? 2 ? 6 ? b1 ,所以 bn ? n ? 2 , n ? N . 3 3
n ?1 2 ?1? ? (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 an ? ,bn ? n ? 2 ,n ? N , 所以 cn ? an ? bn ? (n ? 1) ? ? 2 3 ? 3?
所以 Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ?
n?2

, n ? N? .

?1? ? 3?

?1

?1? ? 3?

0

?1? ? 3?

1

?1? ? 3?

n ?2

???(1)

6

考点:等差数列的通项公式、由 Sn 求 an 、错位相减法、等比数列的前 n 项和公式.

1 1 2 , f ( x ) ? ? ( x ? 1) ? ln x ,(x>0) 4 4 1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) ? f' (x) ? ? x ? ? ? , 2 2 x 2x 2x
22. (Ⅰ) a ? ? 当 0< x < 2 时,f' (x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; 当 x>2 时,f' (x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) . (Ⅱ)由题意得 a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1,??) 恒成立,
2

设 g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1, x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??)
2

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? , x x 当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减 g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ; 1 1 ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, 当 a ? 时, x ? 2 2a 所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立; 1 1 1 1 ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,?? ) 单调递增, 当 0 ? a ? 时, x ? 2a 2a 2 2a 1 1 1 1 1 1 ,?? ) ,有 g ( ) ? a( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 则存在 ? [ a 2a a a a a
求导得 g'(x) ? 所以不成立, 综上得 a ? 0 .

参考答案 1. (Ⅰ) a ? ?

1 1 2 , f ( x) ? ? ( x ? 1) ? ln x ,(x>0) 4 4
7

f' (x) ? ?

1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) x? ? ? ? , 2 2 x 2x 2x

当 0< x < 2 时,f' (x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; 当 x>2 时,f' (x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) . (Ⅱ)由题意得 a( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1,??) 恒成立, 设 g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1, x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??) 求导得 g'(x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? , x x

当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减

g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ;
当a ?

1 1 ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, 时, x ? 2 2a

所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立;

1 1 1 1 ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,?? ) 单调递增, 时, x ? 2a 2 2a 2a 1 1 1 1 1 1 ,?? ) ,有 g ( ) ? a( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 则存在 ? [ a 2a a a a a
当0 ? a ? 所以不成立, 综上得 a ? 0 . 2.试题解析: (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E ,连接 PE , BE , BD .∵ PA ? PD ? DA ,四 边形 ABCD 为菱形, 且 ?BAD ? 60 ,∴ ?PAD 和 ?ABD 为两个全等的等边三角形,则 PE ? AD, BE ? AD,
0

∴ AD ? 平面 PBE ,又 PB ? 平面 PBE ,∴ PB ? AD ; (Ⅱ)在△ PBE 中,由已知得, PE ? BE ? 3, PB ? 6 ,则 PB ? PE ? BE ,所以
2 2 2

?PEB ? 900 ,即 PE ? BE ,又 PE ? AD ,∴ PE ? 平面 ABCD ;在等腰△ PBD 中,

1 10 ;又△BCD 面积为 3 ,设点 C PD ? BD ? 2, PB ? 6 ,所以△PBD 面积为 ? 6 ? 2 2

8

到平面 PBD 的距离为 h,由等体积即 VC-PBD=VP-BCD 得: ? ? 6 ?

1 1 3 2

10 1 h ? ? 3? 3 , 2 3

所以 h ?

2 15 2 15 ,所以点点 C 到平面 PBD 的距离为 . 5 5

考点:1、直线平面垂直的判定定理;2、点到平面的距离的求法;

9


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