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1993年全国高中数学联赛试题及解答


1993 年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 M={(x,y)| |tan?y|+sin2?x=0},N={(x,y)|x2+y2≤2},则 M∩N 的元素个数是( (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2.已知 f(x)=asinx+b 3 x+4(a,b 为实数),且 f(lglog310)=5,则 f(lglg

3)的值是( (A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随 a,b 取不同值而取不同值 ) )

3.集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A, B)对的个数是( (A)8 ) (B)9 (C)26 (D)27

π 4.若直线 x= 被曲线 C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d,当 a 变化时 4 d 的最小值是( (A) π 4 ) (B) π 3 (C) π 2 (D)?

C-A C+A 5. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c, 若 c?a 等于 AC 边上的高 h, 则 sin +cos 2 2 的值是( (A)1 ) (B) 1 2 (C) 1 3 (D)?1

6.设 m,n 为非零实数,i 为虚数单位,z?C,则方程|z+ni|+|z?mi|=n 与|z+ni|?|z?mi|=?m 在同一复平面 内的图形(F1,F2 为焦点)是( )

y
F2 F1

y o
F2 F1

y x
F2 F1

y

o
F2

x

o

x

F1

O (A)

x (B) (C) (D)

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 二次方程(1?i)x2+(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位, ??R)有两个虚根的充分必要条件是?的取值范围为 ________. 1 1 2.实数 x,y 满足 4x2?5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 + =_______. Smax Smin 3.若 z?C,arg(z2?4)= 4.整数? 5π π ,arg(z2+4)= ,则 z 的值是________. 6 3

1093 ? ?1031+3?的末两位数是_______.
-11

5.设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 logx01993+logx11993+logx21993≥k· logx01993 恒成立,则 k 的最大值
x1 x2 x3 x3

是_______. 6.三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数, 有的卡片所印的, 倒过来看仍为三位数, 如 198 倒过来看是 861; 有的卡片则不然, 如 531 倒过来看是 , 因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印_____张卡片. 三、 (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作 与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D?,则 D?为三棱锥 S-ABC 的 外接球球心.

四、 (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y2=x 有四个不同的交点,当这 四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹.

五、 (本题满分 20 分) 设正数列 a0,a1,a2,…,an,…满足 anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n≥2) 且 a0=a1=1,求{an}的通项公式.

-2-

2

第二试 一、 (35 分) 设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有?D 是钝角,用一些直线段将该凸四边形分割成 n 个钝角三角 形,但除去 A、B、C、D 外,在该四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶点.试证 n 应满足的充分 必要条件是 n≥4.

二、 (35 分) 设 A 是一个有 n 个元素的集合,A 的 m 个子集 A1,A2,?,Am 两两互不包含. 试证:(1)

ΣC
i=1

m

1

|A| n

≤1;

(2)

ΣC
i=1

m

|Ai| ≥m2.其中|Ai|表示 n

i| Ai 所含元素的个数,C|A 表示 n 个不同元素取|Ai|个的组合数. n

三、 (35 分) 水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心的右侧,直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外,且位于直线 m 上方,A 点离 M 点最远,C 点离 M 点最近,AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线, P,Q,R 为切点.试证:(1)l 与圆 O 相切时,AB?CR+BC?AP=AC?BQ;(2)l 与圆 O 相交时,AB?CR+BC?AP <AC?BQ;(3)l 与圆 O 相离时,AB?CR+BC?AP>AC?BQ.

-3-

3

1993 年全国高中数学联合竞赛解答 第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 M={(x,y)| |tan?y|+sin2?x=0},N={(x,y)|x2+y2≤2},则 M∩N 的元素个数是( ) (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2 解:tan?y=0,y=k(k∈Z),sin ?x=0,x=m(m∈Z),即圆 x2+y2=2 及圆内的整点数.共 9 个.选 D. 2.已知 f(x)=asinx+b 3 x+4(a,b 为实数),且 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)的值是( (A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随 a,b 取不同值而取不同值 )

解:设 lglog310=m,则 lglg3=-lglog310=-m,则 f(m)=asinm+b 3 m+4=5,即 asinm+b 3 m=1. ∴ f(-m)=-(asinm+b 3 m)+4=-1+4=3.选 C. 3.集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A, B)对的个数是( ) (A)8 (B)9 (C)26 (D)27 解:a1∈A 或?A,有 2 种可能,同样 a1∈B 或?B,有 2 种可能,但 a1?A 与 a1?B 不能同时成立,故 2 有 2 -1 种安排方式,同样 a2、a3 也各有 22-1 种安排方式,故共有(22-1)3 种安排方式.选 D. π 4.若直线 x= 被曲线 C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d,当 a 变化时 4 d 的最小值是( (A) π 4 ) (B) π 3 (C) π 2 (D)?
O y
(?, ?)

解:曲线 C 表示以(arcsina,arcsina),(arccosa,-arccosa)为直径端点的 π π π π π 圆.即以(α,α)及( -α,- +α)(α∈[- , ])为直径端点的圆.而 x= 与圆 2 2 2 2 4 交于圆的直径.故 d= 故选 C. π π π (2α- )2+( )2≥ . 2 2 2

?
2

?

x
?
2

(

-?,-

?
2

+?)

C-A C+A 5. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c, 若 c?a 等于 AC 边上的高 h, 则 sin +cos 2 2 的值是( (A)1 ) (B) 1 2 (C) 1 3 (D)?1

解:2R(sinC-sinA)=csinA=2RsinCsinA,?sinC-sinA=sinCsinA, C-A C+A C-A 1 1 C+A ?2cos sin =- [cos(C+A)-cos(C-A)]= [1-2sin2 -2cos2 +1]. 2 2 2 2 2 2 C-A C-A C+A 2 C+A ?(sin +cos ) =1,但 sin +cos >0,故选 A. 2 2 2 2

-4-

4

6.设 m,n 为非零实数,i 为虚数单位,z?C,则方程|z+ni|+|z?mi|=n 与|z+ni|?|z?mi| ? ?m 在同一复平 面内的图形(F1,F2 为焦点)是( )

y
F2 F1

y o
F2 F1

y x
F2 F1

y

o
F2

x

o

x

F1

O (A)

x (B) (C) (D)

解:方程①为椭圆,②为双曲线的一支.二者的焦点均为(-ni,mi),由①n>0,故否定 A, 由于 n 为椭圆的长轴,而 C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴,故否定 C. 由 B 与 D 知, 椭圆的两个个焦点都在 y 轴负半轴上, 由 n 为长轴, 知|OF1|=n, 于是 m<0, |OF2|=-m. 曲 线上一点到-ni 距离大,否定 D,故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 二次方程(1?i)x2+(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位, ??R)有两个虚根的充分必要条件是?的取值范围为 ________. 解:即此方程没有实根的条件.当 λ∈R 时,此方程有两个复数根,若其有实根,则 x2+λx+1=0,且 x2-x-λ=0.相减得(λ+1)(x+1)=0. 当 λ=-1 时,此二方程相同,且有两个虚根.故 λ=-1 在取值范围内. 当 λ≠-1 时,x=-1,代入得 λ=2.即 λ=2 时,原方程有实根 x=-1.故所求范围是 λ≠2. 1 1 2.实数 x,y 满足 4x2?5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 + =_______. Smax Smin 5 解:令 x=rcosθ,y=rsinθ,则 S=r2 得 r2(4-5sinθcosθ)=5.S= . 5 4- sin2θ 2 5 5 4+ 4- 2 2 8 1 1 ∴ + = + = . Smax Smin 5 5 5 3.若 z?C,arg(z2?4)= 5π π ,arg(z2+4)= ,则 z 的值是________. 6 3
-4 z
2

y

解:如图,可知 z2 表示复数 4(cos120° +isin120° ). ∴ z=±2(cos60° +isin60° )=±(1+ 3i). 4.整数? 1093 ? ?1031+3?的末两位数是_______.

O

4

x

3 x3 x +27-27 2 27 27 解:令 x=1031,则得 = =x -3x+9- .由于 0< <1,故所求末两位数字为 09-1=08. x+3 x+3 x+3 x+3

5.设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 logx01993+logx11993+logx21993≥k· logx01993 恒成立,则 k 的最大值
x1 x2 x3 x3

是_______. x0 1 1 1 k 解:显然 >1,从而 logx01993>0.即 + + ≥ . x3 lgx0-lgx1 lgx1-lgx2 lgx2-lgx3 lgx0-lgx3 x3
-55

就是[(lgx0-lgx1)+(lgx1-lgx2)+(lgx2-lgx3)](

1 1 1 + + )≥k. lgx0-lgx1 lgx1-lgx2 lgx2-lgx3

其中 lgx0-lgx1>0,lgx1-lgx2>0,lgx2-lgx3>0,由 Cauchy 不等式,知 k≤9.即 k 的最大值为 9. 6.三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数, 有的卡片所印的, 倒过来看仍为三位数, 如 198 倒过来看是 861; 有的卡片则不然, 如 531 倒过来看是 , 因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印_____张卡片. 解:首位与末位各可选择 1,6,8,9,有 4 种选择,十位还可选 0,有 5 种选择,共有 4×5×4=80 种选择. 但两端为 1,8,中间为 0,1,8 时,或两端为 9、6,中间为 0,1,8 时,倒后不变;共有 2×3+2× 3=12 个,故共有(80-12)÷2=34 个. 三、 (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D? ,则 D? 为三棱锥 S—ABC 的外 接球球心. ⑴ 证明:∵ DP∥SC,故 DP、CS 共面. S ∴ DC?面 DPC, Q ∵ M∈DC,?M∈面 DPC,SM?面 DPC. ∵ 在面 DPC 内 SM 与 SC 相交,故直线 SM 与 DP 相交. A M C ⑵ ∵ SA、SB、SC 两两互相垂直,∴ SC⊥面 SAB,SC⊥SD. D B ∵ DP∥SC,∴ DP⊥SD.△DD?M∽△CSM, D‘ P ∵ M 为△ABC 的重心,∴ DM∶MC=1∶2.∴ DD?∶SC=1∶2. 取 SC 中点 Q,连 D?Q.则 SQ=DD?,?平面四边形 DD?QS 是矩形. ∴ D?Q⊥SC,由三线合一定理,知 D?C=PS. 同理,D?A= D?B= D?B= D?S.即以 D?为球心 D?S 为半径作球 D?.则 A、B、C 均在此球上.即 D?为三 棱锥 S—ABC 的外接球球心. 四、 (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y2=x 有四个不同的交点,当这 四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹. 解:设 l:y=k1(x-a),m:y=k2(x-b).于是 l、m 可写为(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)=0.
?y2=x, ∴ 交点满足? ?(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)=0.

若四个交点共圆,则此圆可写为(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)+?(y2-x)=0. 此方程中 xy 项必为 0,故得 k1=-k2,设 k1=-k2=k≠0. 于是 l、m 方程分别为 y=k(x-a)与 y=-k(x-b). 消去 k,得 2x-(a+b)=0,(y≠0)即为所求轨迹方程. 五、 (本题满分 20 分) 设正数列 a0、a1、a2、…、an、…满足 anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n≥2) 且 a0=a1=1,求{an}的通项公式. 解:变形,同除以 an-1an-2 得: 令 an +1=bn,则得 bn=2bn-1. an-1
-66

an =2 an-1

an-1 +1, an-2

即{bn}是以 b1= ∴ bn=2n. ∴

1 +1=2 为首项,2 为公比的等比数列. 1

an =(2n-1)2.故 an-1
?

∴ ?

a0=1, n 2 n-1 2 1 2 ? an=(2 -1) (2 -1) …(2 -1) .(n≥1)

第二试 一、 (35 分) 设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有?D 是钝角,用一些直线段将该凸四边形分割成 n 个钝角三角 形,但除去 A、B、C、D 外,在该四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶点.试证 n 应满足的充分 必要条件是 n≥4. 证明 充分性 D ⑴当 n=4 时,如图,只要连 AC,并在Δ ABC 内取一点 F,使∠AFB、∠BFC、 A C E ∠CFA 都为钝角(例如,可以取Δ ABC 的 Fermat 点,由于Δ ABC 是锐角三角形,故 F 其 Fermat 点在其形内).于是,Δ ADC、Δ AFB、Δ BFC、Δ AFC 都是钝角三角形. ⑵当 n=5 时,可用上法把凸四边形分成四个钝角三角形.再在 AF 上任取一点 E,连 EB,则Δ AEB 也是钝角三角形,这样就得到了 5 个钝角三角形. B 一般的, 由⑴得到了 4 个钝角三角形后, 只要在 AF 上再取 n-4 个点 E1、 E2、 … En-4,把这些点与 B 连起来,即可得到均是钝角三角形的 n 个三角形. 必要性 n=2 时,连 1 条对角线把四边形分成了 2 个三角形,但其中最多只能有 1 个钝角三角形. n=3 时,无法从同一顶点出发连线段把四边形分成 3 个三角形,现连了 1 条对角线 AC 后,再连 B 与 AC 上某点得到线段,此时无法使得到的两个三角形都是钝角三角形. ∴当 n=2,3 时无法得到满足题目要求的解.只有当 n≥4 时才有解.

二、 (35 分) 设 A 是一个有 n 个元素的集合,A 的 m 个子集 A1,A2,?,Am 两两互不包含. 试证:(1)

ΣC
i=1

m

1

|A| n

≤1;

(2)

ΣC
i=1

m

|Ai| ≥m2.其中|Ai|表示 n

i| Ai 所含元素的个数,C|A 表示 n 个不同元素取|Ai|个的组合数. n

证明:⑴ 即证:若 k1+k2+…+km=n,则 k1!(n-k1)!+k2!(n-k2)!+…+km!(n-km)!≤n!. 由于 n!表示 n 个元素的全排列数,而 ki!(n-ki)!表示先在这 n 个元素中取出 ki 个元素排列再把其其余 元素排列的方法数,由于 Ai 互不包含,故 n!≥k1!(n-k1)!+k2!(n-k2)!+…+km!(n-km)!成立. ⑵ ∵ (
m

ΣC ΣC
1
i=1

m

m

|A| n

)(

i=1

|Ai| )≥(1+1+1+…+1)2=m2. n

但 0<

ΣC
i=1

1
|A| n

≤1,故

ΣC
i=1

m

|Ai| ≥m2. n

-7-

7

三、 (35 分) 水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心的右侧,直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外,且位于直线 m 上方,A 点离 M 点最远,C 点离 M 点最近,AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线, P,Q,R 为切点.试证:(1)l 与圆 O 相切时,AB?CR+BC?AP=AC?BQ;(2)l 与圆 O 相交时,AB?CR+BC?AP <AC?BQ;(3)l 与圆 O 相离时,AB?CR+BC?AP>AC?BQ. 证明:设 MA=a,MB=b,MC=c,OM=d,⊙O 的半径=r. l A 2 2 且设 k=d -r .则当 k>0 时,点 M 在⊙O 外,此时,直线 l 与⊙O 相离; B 当 k=0 时,点 M 在⊙O 上,此时,直线 l 与⊙O 相切; Q P C R 当 k<0 时,点 M 在⊙O 内,此时,直线 l 与⊙O 相交. ∴ AP= a2+d2-r2= a2+k,同理,BQ= b2+k,CR= c2+k. 则 AB?CR+BC?AP- AC?BQ= AB?CR+BC?AP - (AB+BC)?BQ=BC× (AP -BQ)-AB×(BQ-CR) AP2-BQ2 BQ2-CR2 =BC× -AB× AP+BQ BQ+CR (b-c)(a-b)(a+b) (a-b)(b-c)(b+c) = - AP+BQ BQ+CR a+ b b+c =(a-b)(b-c)( - ) AP+BQ BQ+CR =(a-b)(b-c) a· BQ+a· CR+b· CR-b· AP-c· AP-c· BQ . (AP+BQ)(BQ+CR)
r O
d

M

m

a2· BQ2-b2· AP2 (a2-b2)k 注意到 a?BQ-b?AP= = . b· AP+a· BQ b· AP+a· BQ 故 k>0 时,a?BQ-b?AP>0,k=0 时,a?BQ-b?AP=0,k<0 时,a?BQ-b?AP<0; 同理可得,k>0 时,b?CR-c?BQ>0,k=0 时,b?CR-c?BQ =0,k<0 时,b?CR-c?BQ <0; k>0 时,a?CR-c?AP>0,k=0 时,a?CR-c?AP =0,k<0 时,a?CR-c?AP <0; 即当 k>0 时,AB?CR+BC?AP-AC?BQ>0; 当 k=0 时,AB?CR+BC?AP-AC?BQ=0, 当 k<0 时,AB?CR+BC?AP-AC?BQ<0.故证. 、

-8-

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