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广东省惠州市2016届高三第一次调研考试理科数学试题


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考试时间:2015 年 7 月 1 日 15:00-17:00

惠州市 2016 届高三第一次调研考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将 自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案

后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

(CU A) B 为( 1, 2, 3, 4? ,集合 A ? ? 1 , 2, 3? , B ? ?2, 4? , (1)已知全集 U ? ?0, 则
1, 2, 4? (A) ?
(2)复数 1 ?

) .

3, 4? (B) ?2,

2, 4? (C) ?0,
) .

2, 3, 4? (D) ?0,

5 ( i 是虚数单位)的模等于( 2?i
(B) 10 ) .

(A) 10

(C) 5

(D) 5

(3)下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R, lg x ? 0 (C) ?x ? R,2 x ? 0

(B) ?x ? R, tan x ? 0 (D) ?x ? R, x 2 ? 0 ) .

(4)已知向量 m ? (a, ?2), n ? (1,1 ? a) ,且 m // n ,则实数 a =( (A)-1 (B)2 或-1 (C)2

(D)-2 ) .

?ABC 中, (5) 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 a ? 7, b ? 3, c ? 2, 则?A ( =
(A) 30
?

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 90

?

理科数学试题

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(6)已知函数 f ( x ) ? ?

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) =(

1 9

).

1 (A) 2

1 (B) 4

1 (C) 6

1 (D) 8

1 1 主视图 1 侧视图

(7)已知某几何体的三视图如右图所示,正视图和侧视图是 边长为 1 的正方形,俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角 1 形,则该几何体的体积是( (A) 2 (B) 1 ) .

1 (C) 2

1 (D) 3

1 俯视图

?x ? y ?1 ? 0 ? (8)已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 0 ?
(A) ?2 (9)函数 f ( x) ? sin (A) 3? (B) 2 (C) 1 (D) ?1

) .

2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( 3 3 4 3 7 (B) ? (C) ? (D) ? 3 2 6

) .

m, n, l 为不同的直线, (10) 设 ? , ? , ? 为不同的平面, 则 m ? ? 的一个充分条件为 (
(A) ? ? ? , ?

) .

? ?l ,m ? l

(B) ?

? ? m ,? ? ? , ? ? ?

(C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

(11)将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就 读,则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为( (A)150 (12) 已知抛物线 y ? (B)180 (C)240 )种。 (D)540

1 2 y2 O 为坐标原点, x 与双曲线 2 ? x 2 ? 1(a ? 0) 有共同的焦点 F , 8 a
) . (D)

P 在 x 轴上方且在双曲线上,则 OP ? FP 的最小值为(
(A) 3 ? 2 3 (B) 2 3 ? 3 (C) ?

7 4

3 4

理科数学试题

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? 2 5 1 4 ) 的展开式中常数项为 (14) ( x ? 3x
(13)若 sin( (15)

?

. . (用数字表示)

? ? (1 ? cos x)dx =
2 ? 2

?



(16)如下面数表为一组等式:某学生猜测 S2n?1 ? (2n ? 1)(an2 ? bn ? c) ,若该学生回答 正确,则 3a ? b ? .

s1 ? 1, s2 ? 2 ? 3 ? 5, s3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15, s4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 34, s5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65,

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且满足 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

理科数学试题

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18. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有大量 形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为 .. 样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 ?5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ?35,45? , 由此得到样本的重量频率分布直方图(如右图) , (Ⅰ)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒 子中小球重量的众数与平均值; (Ⅱ)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量 在 ?5,15? 内的小球个数为 X ,求 X 的分布列和数 学期望. (以直方图中的频率作为概率).

19. (本小题满分 12 分) 如 右 图 , 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1中 , AB ? AC ? AA 1 ? BC1 ? 2 , ?AAC 1 1 ? 60? , 平 面

D. ABC1 ? 平面 AAC 1 1C , AC1 与 AC 1 相交于点
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值.
B1 B

C1 D A1 A

C

理科数学试题

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20. (本小题满分 12 分)

y 2 x2 如图,曲线 C 由上半椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和部分抛物线 a b

C2 : y ? ?x2 ? 1 ( y ? 0) 连接而成,C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点

3 . 2

y

A, B ) ,若 AP ? AQ ,求直线 l 的方程.

A

B

O

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , g ? x ? ? ?x ? ? a ?1? x ? a (其中 a ? R ).
2

2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 有相同的极值点,求 a 的值,并直接写出函数

f ? x ? 的单调区间;
(Ⅱ)令 F ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ,讨论函数 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上零点的个数。

理科数学试题

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时 请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于 E , AD 垂直 CD 于 D , BC 垂 直 CD 于 C , EF 垂直 AB 于 F ,连接 AE , BE . 证明: (Ⅰ) ?FEB ? ?CEB ; (Ⅱ) EF ? AD ? BC .
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t , 以该直角坐标系 (t 为参数) ?y ? 2 ? t

的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为

? ? ?2 cos? ? 2 3 sin ? .
(Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C 2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 m ? 1 且关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 的解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.

理科数学试题

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惠州市 2016 届高三第一次调研考试

理科数学参考答案与评分标准
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A 12 A

4?,又 B ? ?2, 4? ,故选 C. (1) 【解析】 CU A ? ?0,
(2) 【解析】 1 ?

5 ? 3 ? i ,故模为 10 ,故选 A. 2?i

(3) 【解析】对选项 D,由于当 x ? 0 时, x 2 ? 0 ,故选 D. (4) 【解析】因为 m // n ,所以 a(1 ? a) ? ?2 ,解得 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,故 a ? ?1或a ? 2 , 故选 B. (5) 【解析】由余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 9 ? 4 ? 7 1 ? ? ,又由 A ? (0?,180?) ,得 2bc 2 ?3? 2 2

A ? 60? ,故选 C.

1 1 1 1 ? ?2 , f (?2) ? 2 ? 2 ? ,所以 f ( f ( )) ? ,故选 B. 9 4 9 4 1 1 (7) 【解析】该几何体为直三棱柱,故体为 V ? Sh ? ?1? 1? 1 ? ,故选 C. 2 2
(6) 【解析】 f ( ) ? log 3 (8) 【解析】由于可行域为三角形,且三角形的三个顶点分别为 (0, ?1) , (1, 0) , (0,1) , 所以最优解为 (0,1) 时可使目标函数取得最大值为 2,故选 B. (9) 【解析】 f ( x) ? sin

1 9

2 2 ?? 2? ?2 x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? ,周期 T ? ? 3? ,相邻的 3 3 4? ? ?3
1 3? T ,所以距离为 ,故选 C. 2 2

两条对称轴间距离为

(10) 【解析】对于选项 A,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m?α,故不正确; 对于选项 B,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正
理科数学试题 第 7 页 (共 17 页)

确; 对于选项 C,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正 确; 对于选项 D,由 n⊥α,n⊥β,可得 α∥β,而 m⊥α,则 m⊥β,故正确,故选 D. (11) 【解析】分为两类,第一类为 2+2+1 即有 2 所学校分别保送 2 名同学,方法数为
1 1 2 C3 C5C4 ? 90 , 第 二 类 为 3+1+1 即 有 1 所 学 校 保 送 3 名 同 学 , 方 法 数 为 1 3 2 C3 C5 A2 ? 60 ,故不同保送的方法数为 150 种,故选 A.

(12) 【解析】 抛物线 y ?

1 2 y2 x ? x2 ? 8 y , 焦点 F 为 (0, 2) , 则双曲线 2 ? x 2 ? 1的 c ? 2 , 8 a

则 a2 ? 3 , 即 双 曲 线 方 程 为

y2 ? x 2 ? 1 , 设 P( m, n), (n ? 3) , 则 3

1 2 2 n2 ? 3m2 ? 3 ? m ? n ? 1 , 3


1 2 4 3 2 7 2 2 2 OP ? FP ? (m, n) ? (m, n ? 2) ? m ? n ? 2n ? n ? 1 ? n ? 2n ? (n ? ) ? 3 3 4 4
, 因为 n ? 3 ,故当 n ? 3 时取得最小值,最小值为 3 ? 2 3 ,故选 A. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13) ?

7 25

(14)

(13) 【解析】 sin(

?
2

2 3

(15) ? ? 2

(16) 4

??) ?

3 3 7 ? cos ? ? ,则 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? . 5 5 25

(14) 【解析】 ( x ?

1 4 1 1 r 4? r r 4? 2 r ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C 4 x (? ) r x ?r ? C 4 x (? ) r , 3x 3 3
2

故常数项为 T3 ? C 4 (? ) ?
2

1 3

2 3

理科数学试题

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(15) 【解析】

?

?

2

?

( 1 ? cos x) dx ? ( x ? sin x) 2? ? ? ? 2 ?
2 ? 2

?

?a ? b ? c ? 1 ? (16) 【解析】可由待定系数法求得 ?4a ? 2b ? c ? 5 ,解得 a ? 2, b ? ?2, c ? 1 ,所以 ?9a ? 3b ? c ? 13 ?
3a ? b ? 4
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 【解】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

………………2 分

解得 a1 ? 2, d ? 2 …………………………………………………………4 分 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ,得 an ? 2n …………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) ? n 2 ? n 2 2

……………8 分

∴ a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) , Sk ? k 2 ? k 因

a3 , ak ?1 , Sk

2 成 等 比 数 列 , 所 以 ak ?1 ? a3 Sk

, 从 而

(2k ? 2)2 ? 6(k 2 ? k ) ,………10 分


k 2 ? k ? 2 ? 0 , k ? N * ,解得 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去)

∴ k ? 2 ……………………………………………………………………12 分

(18) (本小题满分 12 分) 【 解 】( Ⅰ ) 由 题 意 , 得

?0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1

, 解 得

a ? 0.03 ;………………………1 分
又由最高矩形中点的的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20 (克) ,………2 分
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50



























X ?0

. ?2

1 ? 0

?0

. ?3

2 ? 2

? 0(克) 0 ?.

3 ? 3

0

0

.

1

8

故 由 样 本 估 计 总 体 , 可 估 计 盒 子 中 小 球 重 量 的 平 均 值 约 为 24.6 克;…………………………4 分 ( Ⅱ ) 利 用 样 本 估 计 总 体 , 该 盒 子 中 小 球 重 量 在 ? 5,15? 内 的 概 率 为

0.2 ,………………………………5 分


1 X ? B (3, ) 5

.

X













0



1



2



3 ,…………………………………………………6 分

64 48 0 ?1? ? 4? 1?1? ? 4? , P ? X ? 1? ? C3 , P ? X ? 0? ? C3 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 1 ? ? 4 ? 12 P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
2 3 2

0

3

2



1 ?1? ? 4? . ………………10 分 P ? X ? 3? ? C ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
3 3

3

0

? X 的分布列为:
? EX ? 0 ?
. (

X

0

1
125

2
12 125

3

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ?48 64 125 125 P 125 125 5




125

1 125

1 3 EX ? 3 ? ? )………………12 分 5 5
(19) (本小题满分 12 分)

D 是 AC1 的 中 点 , 因 为 BA ? BC 【 解 】 ( Ⅰ ) 依 题 意 , 侧 面 AAC 1 1C 是 菱 形 , 1 ,所以

BD ? AC 1 ,……2 分
BD ? 平面 ABC1 ,平面 ABC1 又平面 ABC1 ? 平面 AAC 1 1C ,且
平面 AAC 1 1C ? AC1

所以 BD ? 平面 AAC 1 1C .…………………………………………5 分 (Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知 BD ? 平面 AAC 1 1C , CD ? 面 AAC 1 1C ,所以 CD ? BD ,
理科数学试题 第 10 页 (共 17 页)

又 CD ? AC1 , AC1

BD ? D ,所以 CD ? 平面 ABC1 ,

B1 C1

B

过 D 作 DH ? AB ,垂足为 H ,连结 CH ,则 CH ? AB , 所以 ?DHC 为二面角 C1 ? AB ? C 的平面角. …………8 分 在 Rt?DAB 中, AD ? 1, BD ? 3, AB ? 2 , 所以 DH ?
A1 第 18 题 H C

D A

AD ? DB 3 15 2 2 , CH ? DH ? DC ? ……10 分 ? AB 2 2

所以 cos ?DHC ? 分

DH 5 5 ,即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 . ……………12 ? CH 5 5

[ 向 量 法 ] 以 D 为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz 如 图 所 示, …………………………………6 分 由已知可得 AC1 ? 2, AD ? 1, BD ? A 1D ? DC ? 3, BC ? 6 故 D ? 0, 0, 0 ? , A ?1, 0, 0 ? , B 0, 0, 3 , C1 ? ?1, 0, 0 ? , C 0, 3, 0 , 则 AB ? ?1, 0, 3 , BC ? 0, 3, ? 3 ,………………8 分 设平面 ABC 的一个法向量是 n ? ? x, y, z ? , 则?

?

?

?

?

z B1 C1 B

?

?

?

?

C

? ? AB ? n ? 0 ? ? BC ? n ? 0

,即 ?

? ?? x ? 3z ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0

,解得 ?

? ? x ? 3z ? ?y ? z

D
A1 第 18 题

A

x

令 z ? 1 ,得 n ?

?

3,1,1 ………………………………………9 分

?

显然 DC ? 0, 3, 0 是平面 ABC1 的一个法向量, ……………10 分 所 以 cos ? n, DC ??

?

?

n ? DC n DC

?

3 5 ? , 即 二 面 角 C1 ? AB ? C 的 余 弦 值 是 5 5? 3

5 .………12 分 5
(20) (本小题满分 12 分)
2 1 ,所 0以 ) 【 解 】 ( Ⅰ ) 因 为 抛 物 线 y ? ? x ? 1 与 x 轴 交 于 点 (? 1 , 0 ) , (,

理科数学试题

第 11 页 (共 17 页)

b ? 1 …………………………1 分

b2 3 1 由 因 为 e ? 1? 2 ? ? 1 ? 2 ? a2 ? 4 , 所 以 椭 圆 方 程 为 a 2 a
y2 ? x 2 ? 1………………………3 分 4
( Ⅱ ) 因为 B(1, 0),若过点 B 的直线 l 斜率不存在时,不满足题意,所以直线 l 斜率存 在,……………4 分 设 直 线 l 的 斜 率 为 k

k ?x 1 , ) 设 , 则 直 线 l 的 方 程 为 y? (

,……………………… 5分 P( 1x , 1y ) , Q 2 ( x ) 2, y 联 立

?y ? ( ? ? 2 ? (k 2 ?y 2 ? ? x ?1 ? 4
………7 分

k
?? ?(k ? 4) x ? (k ? 4) ? ? ( x ? 1) ? 0 ……
2 2

1

? x1 ?

k2 ? 4 k2 ? 4

, 所 以

y1 ? k ( x ? 11) ? k (

k2 ? 4 ?8k ? 1) ? y ? 12 2 k ?4 k ?4

, 所 以

? k 2 ? 4 ?8k ? P? 2 , 2 ? ………8 分 ?k ?4 k ?4?
联 立

?y ? ( ? ? x2 ? kx ? k ? 1 ? 0 ? ( x ? 2 ? y ? ?x ?1
………9 分 所 以

? x2 ? ?k ? 1 ………………

k

1

y2 ? (

k

2

?1 x

)?

2 k( ?

1

, k ?2

所 y )?

以 ? k

2 ?

Q(?k ?1, ?k 2 ? 2k ) …………………………10 分

理科数学试题 第 12 页 (共 17 页)

AP ? AQ ? AP ? AQ ? 0 ? ?
…………11 分

? k2 ? 4 ?8k ? 2 ? 1, 2 ? ?(?k , ?k ? 2k ) ? 0 ……………… 2 k ?4? ?k ?4
8 8 , 所 以 直 线 l 的 方 程 为 y ? ? ( x ? 1) 即 3 3

化 简 得 3k ? 8 ? 0 , 所 以 k ? ?

8x ? 3 y ? 8 ? 0 ……12 分
(21) (本小题满分 12 分)
3 2 2 【解】(Ⅰ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x ? 2ax ? a x , 2



f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? ?3x ? a ?? x ? a ? ,
分 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? a 或 所 以

…………………………………………1

a a ?1 ,而二次函数 g ? x ? 在 x ? 处有极大值, 3 2


a ?1 ?a 2

a ?1 a ? 2 3

,





a ? ?1



a ? 3 ; …………………………………………3 分
当 a ? 3 时 , f ? x? 的 递 增 区 间 为

? ??,1?

,

?3, ???

, 递 减 区 间 为

?1,3? .………………………4 分
当 a ? ?1 时 , f ? x ? 的 递 增 区 间 为

? ??, ?1? , ? ??

1 ? , ?? ? , 递 减 区 间 为 ? 3 ?

1? ? ? ?1, ? ? .……………5 分 3? ?
2 (Ⅱ) f ? x ? ? g ? x ? ? x ? x ? a ? ? ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? a ? ? ? x ? x ? a ? ? ? x ? a ?? x ? 1? 2
2
2 ? ? x ? a? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1? ? ,…………………………………………

………6 分
2 令 h ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1 , ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? ? a ? 1?? a ? 3? ,
2

1 当 ? ? 0 即 ?1 ? a ? 3 时,h ? x ? ? 0 无实根,故 y ? F ( x) 的零点为 x ? a ???1,3? ,满
理科数学试题 第 13 页 (共 17 页)

足题意, 即 函 数

y ? F ( x)











x ? a ???1

, 3 7分 ? ;………………………………………………………

2 当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 ,则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? ?1 ,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零点

x ? ?1 ;
若 a ? 3, 则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? 1 ,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有两零点,x ? 1 或 3 ;……8 分

3 当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 ,由于 h ? ?1? ? a ? 1 ? 0, h ?0 ? ? 1, h ?3 ? ? 13 ? 3a ? 0 , 此时 h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1, 3? 上有一实数解,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零 点; ……9 分 若 a ? 3 时,由于 h ? ?1? ? a ? 1 ? 4, h ? 0? ? 1 ? 0, h ?3? ? 13 ? 3a , 当 13 ? 3a ? 0 即 a ? 故

13 时,数形结合可知 h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有唯一实数解, 3
在 区 间

y ? F ( x)

??1,3?











点;……………………………………………………10 分 若 13 ? 3a ? 0 即 3 ? a ?

13 a ?1 时 , 由 于 y ? h( x ) 的 对 称 轴 为 x ? ,故 3 2

1?

a ?1 5 ? , 2 3
又 h(1) ? 1 ? 0, h(3) ? 13 ? 3a ? 0, 且 ? ? 0 , 所 以

h( x )







?? 1,3?















点. ………………………………………………11 分 综上,当 a ? 3 或 a ? 当

13 时,函数 y ? F ( x) 有唯一零点; 3 13 3?a? 时 , 函 数 y ? F ( x) 有 两 不 相 等 的 零 3
理科数学试题 第 14 页 (共 17 页)

点。……………………………………12 分

考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,评卷时请 注意看清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 【 证 明 】( Ⅰ ) 由 直 线

CD 与 ⊙ O

相 切 , 得 ∠ CEB =

∠ EAB. …………………………………………1 分 由 AB 为 ⊙ O 的 直 径 , 得 AE⊥ EB , 从 而 ∠ EAB + ∠ EBF = π ;………………………3 分 2 π 又 EF⊥ AB , 得 ∠ FEB + ∠ EBF = , 从 而 ∠ FEB = ∠ EAB. 故 ∠ FEB = 2 ∠ CEB.……5 分 (Ⅱ)由 BC⊥ CE,EF⊥ AB,∠ FEB=∠ CEB,BE 是公共边,得 Rt△ BCE≌ Rt△ BFE,……… 6分 所以 BC=BF. 类 似 可 证 , Rt△ ADE≌ Rt△ AFE , 得 AD =

AF. ………………………………………………8 分 又在 Rt△ AEB 中, EF⊥ AB, 故 EF2=AF· BF, 所以 EF2=AD· BC. ……………………… 10 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【解】 (Ⅰ) 由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ………………………… 2分 圆

C2















( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,……………………………………4 分
所 以 圆 心 的 直 角 坐 标 为 (?1, 3) , 因 此 圆 心 的 一 个 极 坐 标 为

(2,

2? ) . …………6 分 3
理科数学试题 第 15 页 (共 17 页)

(答案不唯一,只要符合要求就给分) (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知圆心 (?1, 3) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 8分 所 以

?1 ? 3 ? 1 2

?

6 ,……… 2

AB ? 2

?

6 ? 4

.………………………………………………………………10 分

4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【解】 (Ⅰ)因为 m ? 1 ,不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 ,…………………1 分 ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,……………………………… 3 分 ∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 , (方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 2(a ? b ) ,………………… 8
2 2 2 2 2 2

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . ………………………………5 分 ?m ? 1 ? 4


2 2 ∴a ?b ?

9 9 2 2 , ∴ a ? b 的最小值为 .…………………………………………10 分 2 2

(方法二:利用柯西不等式) ∵ (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? (a ?1 ? b ?1) ? (a ? b) ? 9 ,……………………………8 分
2 2 2 2 2 2
2 2 ∴a ?b ?

9 9 2 2 , ∴ a ? b 的最小值为 .…………………………………………10 分 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值)
理科数学试题 第 16 页 (共 17 页)

∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a ,
2 2 2 2 2 2 ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?

3 2

9 9 ? ,……………………9 2 2

分 ∴ a 2 ? b 2 的最小值为 10 分

9 . ……………………………………………………………… 2

理科数学试题

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