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现实生活中的数学问题


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2 4  

数 学 通 讯 

2 0 0 6 年第 1 4 , 1 6期 

现 实 生活 中的数 学 问题 
梁喜涛  
( 河 问 市第 四 中学 , 河北 0 6 2 4 5 1 )  

高考应用

题 的背景 大多来源于现 实生活 ,   体现了学 以致用的原则 , 为此我们将 日常生活中 

售价 , 须知 其包装 成本 , 而包装 成本 和包 装 表 

面积 成正 比 , 比例 系 数要 借 助 于 6 0 g装 的 情  况. 所 谓“ 合算 ” 应 指买 相 同克 数 的牙 膏 花 钱 
要少 , 即指 单位 重量 价格 要低 .   解  设 6 0 g 牙 膏的包 装成 本 为 z元 , 则 
有 1 . 5一 ( 6 0   x   0 . 0 1 +z ) x( 1 +2 5  ) , 得 


的衣 、 食、 住、 行等问题略举几例, 供大家赏析.   例1   用 少 量清水 清洗 衣物 , 如 每次 能 
洗 去 污垢 的 7 5  , 则 要 使残 留在 衣 服上 的 污  垢 不 超 过 最 初 衣 物 上 的污垢 的 1   9 , 6 , 该 衣 服 

至少 要清 洗 的次 数为 
( A) 3 .   ( B) 4 .   ( C) 5 .   ( D) 6 .  

(  

)  

0 . 6 . 又设 6 0 g和 1 5 0 g两 种 规 格外 表 面 积  .  
、 

为S 。 , S : , 容积 分别 为 、 , , 。 , Vz , 1 5 0 g牙 膏 的包  装 成 本 为 Y元 , 则 ?  
0   6  
.  

解  易 求得 第  次 清洗后 残 留在 衣服 
上 的污垢 为 a  一 ( 1 —7 5  )   .   令( 1 —7 5   9 , 5 )  ≤ 1  ,  
两边 取 常用 对数 , 得 
1  



— s2 ̄ s 2

S  
1  

S 1一 (   V
1   1  

.  
‘ 

由 已知 ,  

一   V z
, 
.  

≥ 礤  

≈3 - 3 2 , ‘  
.  

即   -l (   ) { .  
? .

故 至少 要清 洗 4次. 选( B ) .  
例 2   一女孩的身高为 1 5 7 c m, 下肢长为 .   9 5 c m, 问她应该穿多高的高跟鞋 , 看起来最美 ?   分 析  要 想 看 起 来最 美 , 应 使 人 的 下 

. Y一  


×河 ≈ 1 . 1 0 5 .  

’ .

1 5 0 g装 牙 膏 售 价 为 ( 1 5 0× 0 . 0 1+ 

1 . 1 0 5 )× ( 1+ 2 5   )≈ 2 . 8 8 ( 元) .  

肢 与身 高之 比黄金 分割数 0 . 6 1 8 .  

两种规 格牙 膏每 克 的价格 分别 为 
1 .5
z  1- 1  ,  

解   设应穿x c m的 高跟 鞋, 则三 ≠  
. 


’ . .



0 . 0 2 5 ( 元) ,  

≈ 0 . 0 1 9 ( 元) .  



0 . 6 1 8 , 解 得 z一 5 . 3 0 , 所 以应 穿 5 . 3 0 c m 

买 大包 装合 算.  

高的 高跟 鞋.   注: 富有 爱美 之心 的 同学们 , 看完 此题 有  什么 打算 呢 ?  

注: 该 题解 决 了经济 生 活中包 装成 本 问 

题, 和生 活密切 相关 , 其 中 用 到 了“ 重 量 比 = 
体积 比”这 一 结 论 及 相 似 体 ( 如 正 方 体 或 球  等 )的体 积 与表 面积 的关 系.   例4   甲、 乙、 丙三 种食 物 中维 生素 A,  
B的含 量及 成本 如表 1 :  
表 1  
田  乙  丙 

例3   超市 里 的“ 中华 ”牙 膏有 6 0 g和 
1 5 0 g装 两种 规 格 , 假 设 牙膏 售 价  ( 成 本 + 

包 装成 本 )× ( 1 + 利 润率 ) , 且包 装成 本 与外  包 装 表 面 积 成 正 比.已 知 6 0 g装 牙 膏 售 价  1 . 5 0 元, 其 中牙 膏成 本 为每 克 1 分钱 , 利润 率  为2 5   9 , 6 , 问在 利 润率 不 变 的 情 况下 , 1 5 0 g装  牙膏应 售 价 为多 少 ? 两种规 格 中 , 买 哪种 比较 

维 生 素 A( 单位 / 千克 )  

4 0 0   6 0 0   4 0 0  

维r 生素 B ( 单位 / 千克)   8 0 0   2 0 0   4 0 0  
成本 ( 元 /千 克 )   6   5   4  

合算 ? ( 参 考 数据  丽 ≈ 3 . 6 8 4 )  
分析 : 由售 价 公 式 , 要知 1 5 0 g装 牙膏 的 

某 食 物 营 养 研 究 所 欲 将 三 种 食 物 混 合 

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2 0 0 6 年第 l 4 . 1 6 期 

数 学 通 讯 

2 5  

成1 0 0 k g 混 合 物, 设甲   乙 、 丙的 用   次为  
z, Y ,  千克.   1 )试 以 z, Y表示 混 合物 的成 本 ; ‘  

同学们 不妨 一试 .  

例5   某 人有 6把 不 同的钥 匙 , 其 中只 
'’  

有 一把 能打 开 家 门 , 在他 不重 复地 试开 时 , 能 

2 ) 若 混合 物 至少 需含 4 4 0 0 0单位 的维 生 
素 A及 4 8 0 0 0 单 位 的维 生素 B, 求证 : Y ≥2 O ,  
2 x— Y≥ 4 0 , z+ Y≤ 1 0 0;  

在 三次 内把 门打开 的概 率是 
分 析和 解  试开 的过 程实 质上 是 6把 

钥 匙 的一个 排 序过 程 , 能在第 几次 把 门打 开 ,   取 决 于能开 门的钥匙 排 在第几 个位 置 , 显然 ,  

3 ) 确 定 z, Y ,  的值 , 使 成本 最低 .  

解  1 )混合 物 的成本 
C= 6 x+ 5  + 4 z= 6 x+ 5 y+ 4 ( 1 0 0 一 
z —  )一 4 0 0+ 2 x+ Y .  
t 

能 开 门 的钥 匙 有 6个 不 同- 的 位置 可 供 选 择 .  
要 能 在 三次 内把 门 打开 , 则 能开 门的 钥 匙 必  须 排 在前 面三 个 位置 的某 一个 , 所 求 概 率 为 
3   1   ’  

2 )首 先  ≥ 0 , 即1 0 0 一 z—  ≥ 0 , 得z  
再由 4 0 0 x+ 6 0 0 y+ 4 0 0 z ≥ 4 4 0 0 0 , 得 
4 00 ( x+ )+ 6 0 0 y≥ 4 4 0 0 0 ,  

+ Y≤ 1 0 0 .  

百 一 

例6   公 共 汽 车 门 的高 度 是 按 照 确 保  9 9   以上 的成 年 男 子 头 部 不 与 车 门 顶 部 相 

即 4 0 0 ( 1 0 0一 ) , +6 0 0 y≥ 4 4 0 0 0 ,  

撞设计的, 如果某地 区成年男子的身高  ~ 
N( 1 7 3 , 7 。 ) ( e a) r , 车 门应设 计 多高 ?   分析: 车门高 度 设 计 时 应 使 成 年 男 子 身  高超 过 车 门 的概 率 小 于 1  , 应 用 正态 分 布  知 识 ,设 车 门 高 度 为 x c n ' i ,则 P( e≤ z )  
> 0 . 9 9 .  
‘ ‘  .

故 Y≥ 2 O .  
得 2 x— Y≥ 4 0 .   ,  
3 ) C一 4 0 0+ 2 x+ Y  


’  

又 因为 8 0 0 x+2 0 0 y +4 0 0 z ≥4 8 0 0 0 , 可 

4 0 0+ ( 2 x —  )+ 2 y  

‘  

≥ 4 0 0+ 4 0+ 4 0— 4 8 0 ,  



N( 1 7 3, 7 。 ) ,  

”  

当且仅 当 2 x—Y一 4 0 , Y= 2 O时取等号.  
. . .当  = 3 0 k g , y= 2 0 k g ,  一 5 0 k g时 

. . . P (   ≤z ) 一 ( 竺_ _  ) >0 . 9 9 .  
,  
  .

成本最小 , 最低成本为 4 8 0 元.   注: 本题 建 立 线 性 规 划模 型  用 不 等式 
的有关 知识 解 题. 线 性 规 划 是 高 中数 学 新增 

可 得 z> 1 8 9 . 3 1 .  

即车 门的 高度 至少 应 为 1 8 9 . 3 1 c m.  
【 收 稿 日期 : 2 O O 6— 0 3一 o 4 }  

内容 , 涉及 此类 问题 的求解 还可 以用 图解法 ,  

征 稿 信 息 
《 数 学通讯 》 ( 双期 学 生 阅读 )近期 缺 少 

方法 在相 关学 科或 实际 生活 中的 具体 应用 .   欢迎 广大 作者 对 2 0 0 6 年的 高考试 题 进 

以下栏 目的稿 件 , 欢迎 广大 作者 踊跃 投稿 .   1 ) 错 例 辨 析. 对 学 生 学 习 过 程 中存 在 

行研究, 探讨多种解题方法  透视创新题型 ,  
分析 考试 重点 , 撰 写 成 文后 向本 刊投稿 .   投稿 时请 在信 封左 下角 注 明“ 学 生阅 读 
稿”字样 .  
、  

的疑义 或难 以理解 的问题 进行分 析 和解答 ,  
对 学 生在 学 习 过程 中容 易 出现 的错 误 进 行 
分析 和讨 论.  

2 ) 课外延拓. 结合高一、 高=年级第 一 
学 期教 学进 度 补 充 介 绍 学 生 应 该 掌 握 但课  本涉及 较 少 的 内容 , 以及 本 学 期 所 学 知 识 、  

《 数 学通讯 》编辑 部 
.  

2 0 0 6年 7月 1 日  


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