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第5课时——1.2.1任意角的三角函数(3)教师版


第 5 课时 任意角的三角函数(3)
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4 . 确 定 象 限 时 , ? ? k? (k ? Z ) 与

听课随笔

? ? k? (k ? Z ) 是等效的。
5. 在三角形中, 由于角的范围是 (0 ,180 ) , 所以正弦值恒为正,若余弦或正切值为正,
? ?

任 意 角 的 三 角 函 数

任意角的三角函 数的定义

则角为锐角,反之为钝角。

【精典范例】
正弦线、余弦线、正切线 例 1.已知 sin ? ? cos? ? 0, sin ? ? tan ?

? 0 ,那么
三角函数的定义域 角? 三角函数值在各 象限的符号

?
2

,2? ,90 ? ? ? 分别是第几象限

分 析: 因为 sin? ? cos? ? 0 , 所以 ? 在第二、四象限。又因为 sin ? ? tan? ? 0 , 所以 ? 在第二、三象限,因而 ? 为第二象

学习要求
1. 掌握任意角三角函数的定义,并能借助单 位圆理解任意角三角函数的定义;会用三 角函数线表示任意角三角函数的值; 2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这 三种函数的值在各象限的符号.

限的角,然后由角 ? 的集合正确地写出

?
2

,2? ,90 ? ? ? 的集合。

【解】 (1)由题设可知 ? 是第二象限角,即

90 ? ? k ? 360 ? ? ? ? 180 ? ? k ? 360 ? (k ? Z )

【课堂互动】

自学评价
1.三角函数值是比值,因而是一个实数,这 个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位置 无关,而由 ?? 的终边位置决定, 由于确定 的角 ? ,其终边的位置也唯一地确定了。 2. ? 不是 sin 与 ? 的乘积, 它是一个比值, sin 三角函数符号是一个整体,离开自变量的 “ sin ” a “n t ”等是没有意义的。
?

2 ? 当 k 为偶数时, 为第一象限角,当 k 为 2 ? ? 奇数时, 是第三象限角,所以 是第一 2 2
或三象限角。 (2)因为

45 ? ? k ? 180 ? ?

?

? 90 ? ? k ? 180 ? (k ? Z )

180 ? ? 2k ? 360 ? ? 2? ? 360 ? ? 2k ? 360 ? (k ? Z )
所以 2? 是第三、四象限角。 (3) 因为 ? 的终边在第二象限, 所以 ? ? 的 终边在第三象限, ? ? 的终边按逆时针方 将 向旋转 90 ,可知 90 ? ? 的终边在第四象
? ?

3.在确定形如 ? ? k ? 180 (k ? Z ) 角的象限 时,一般要分 k 为奇数或偶数来讨论。

限。 例 2.如果角 ? 的终边经过点 p( x, y) , x, y 恰

内,且 ? ? ?0,2? ? ,求 ? 的取值范围。 答:

听课随笔

?
4

?? ?

?
2

或? ? ? ?

?3x ? 2 y ? 1 ? 5 2 ? 为方程组 ? 的解,求角 ? ?2 x ? 3 y ? 5 ? 2 ?
的正弦、余弦、正切值。 分 析: 本题求解的关键是先求出 x,y, 再进一 步求出 r,所以可以先通过解方程组求解。 【 解 】 由 ?

5? 4

?3x ? 2 y ? 1 ? 5 2 ? ?2 x ? 3 y ? 5 ? 2 ?

解 得

【师生互动】

?x ? 2 ? 1 ? ,所以 r ? 6 ? ?y ? 1? 2 ?
所以 sin ? ?

学生质疑

6 ?2 3 , cos? ? 6

6?2 3 6
教师释疑

tan? ? 2 2 ? 3
例 3.若 ?ABC 两内角 A、B 满足

sin A ? cos B ? 0 ,判断三角形的形状。
【解】 ?ABC 为钝角三角形。

追踪训练
1.已知 ? 为第三象限角且 s in ( )

?
2

? 0 ,则

(A) cos (C) tan 答:B

?
2

?0

(B) cos (D) cot

?
2

?0 ?0

?
2

?0

?

2

2.下列各式为正号的是: ) ( (A) cos 2 ? sin 2 (B) cos 2 ? sin 2 (C) tan 2 ? sec2 答:C 3. 点 P(sin ? ? cos? , tan? ) 在 第 一 象 限 (D) sin 2 ? tan 2



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