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人教版九年级数学下26.1.3二次函数的图象与性质4


2+k的图像和性质 y=a(x-h)

2+1的图像与 问题1.抛物线y=x

抛物线y=x2的图像有何关系?
x


-3 -2 9 4

-1 1

0 1 0

2

3 9



y=x2
y=x2+1

1 4

9+14+11+1 0+11+14+19+1

抛物线y=x2

向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 y y=x2+1 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

请比较这两个 函数的开口方 向、对称轴、 顶点坐标、最 值、增减性

y=x2

o1 2 3 4 5

x

y ? x

2

向上平移1个单位 (0,1) 对称轴:y轴 y=1

y ? x ?1
2

顶点坐标:(0,0) 最小值:y=0

直线y轴

a>0,开口向上, 对称轴左侧y随x增大而减小; 对称轴右侧y随x增大而增大

1.填表
抛物线
y ? ? 0 .5 x
2

开口方向 对称轴
2

顶点坐标
(0, 0)
(0, 1) (0, - 1)

向下
向下 向下 向上

x=0
x=0 x=0

y ? ? 0 .5 x ? 1

y ? ? 0 .5 x ? 1
2

y ? 2x

2

x=0
x=1 x= - 1

(0, 0)
(1, 0) (- 1, 0)

y ? 2 ( x ? 1)

2

向上
2

y ? 2 ( x ? 1)

向上

2.上下 平移

如何由
y ? ? 1 3
2

y ? ?

1 3

x

2

的图象得到
x ?3
2

x ?3

、 y y

? ?

1 3

的图象。

5 4(0,3) 1 2 y ?? x ?3 3 3 2 1 (0,0) x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 (0,-3) 1 2 –3 1 2 y?? x –4 y ? ? x ?3 3 –5 3

3.左右 平移

如何由 y ? ?

1 3

x 的图象得到

2

y ? ?
2

1 3

( x ? 2)

2

y ? ?

1 3

( x ? 2)



的图象。

y

5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1(0,0) (2,0) x –52 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 1 2 –1 y ? ? ?x ? 2? y ? ? ?x ? 2? –2 3 3 –3 1 2 y?? x –4 3 –5

4.上下平移规律
y=ax2
当k>0时,向上平移k个单位 当k<0时,向下平移 k 个单位

y ? ax

2

?k

左右平移规律
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位 当h<0时,向左平移 h 个单位

y=a(x-h)2

y ? 2x

2

y ? 2x ?1
2

y ? 2 ( x ? 1)

2

y ? 2 ( x ? 1) ? 1
2

y ? 2 ( x ? 1) ? 1
2

的图像可以由

y ? 2x

2

先向上平移一个单位,

再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.

向右或向左平移|h|个单位 (h>0向右,h<0向左)

y=a(x﹣h)2

向上或向下平移|k|个单位 (k>0向上,k<0向下)

y=ax2
向上或向下平移|k|个单位 (k>0向上,k<0向下)

y=a(x﹣h)2+k
向右或向左平移|h|个单位 (h>0向右,h<0向左)

y=ax2+k

y
y? 1 2

观察
y ? 1 2 1 2 y ?

y ?

1 2

x
2

2

?x ? 2?

2

?2

x=-2 5 4 3 2 1

?x ? 2 ?

? 2 ?3

?x ? 2 ?

2

的图像
y? 1 2
2

(-2,2)

x

x

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 y ? ?x ? 2? ? 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4

1 2 3 4 5

抛物线
开口 方向

y ?

1 2

?x ? 2 ?

2

? 2

y ? ?

1 2

( x ? 2)

2

?3

向上 直线x=-2 (-2,2)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下 直线x=2

对称轴
顶点坐标

(2,-3)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=-2时, 最小值为2

当x=2时, 最大值为-3

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

抛物线
开口方向

y=a(x-h)2+k(a>0)

y=a(x-h)2+k(a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=h (h,k)

向下 直线x=h (h,k)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
? 2?x ? 3? ? 5
2

?1 ? y

向上 向下 向下 向上

直线x=3 直线x= –1 直线x=0 直线x=2

(3,–5) (–1,0)

?2 ? y

? ? 0 .5 ? x ? 1?
? ? 3 4 x ?1
2

2

?3 ? y

(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)

?4 ? y

? 2?x ? 2 ? ? 5
2

?5 ? y

? 0 .5 ? x ? 4 ? ? 2
2

向上 直线x= – 4

?6 ? y ? ? ? x ? 3 ?
4

3

2

向下

直线x=3

1.抛物线的上下平移 (1)把二次函数y=(x+1)2的图像, 沿y轴向上平移3个单位, y=(x+1)2+3 得到_____________的图像; y=x2+3 (2)把二次函数_____________的图像, 沿y轴向下平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

2.抛物线的左右平移 (1)把二次函数y=(x+1) 2的图像, 沿x轴向左平移3个单位, y=(x+4)2 得到_____________的图像; y=(x+2)2+1 (2)把二次函数_____________的图像, 沿x轴向右平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

3.抛物线的平移: (1)把二次函数y=3x 2的图像, 先沿x轴向左平移3个单位, 再沿y轴向下平移2个单位, y=3(x+3)2-2 得到_____________的图像; y=-3(x+6)2 (2)把二次函数_____________的图像, 先沿y轴向下平移2个单位, 再沿x轴向右平移3个单位, 得到y=-3(x+3) 2-2的图像.

4.抛物线 5.抛物线 6.抛物线

y ?

1 2

(-1,0) ? x ? 1 ? 2 的顶点坐标是________;
? x ? 1 ? 2 向上平移3个单位后,

y ?

1 2

(-1,3) 顶点的坐标是________;
1 2

y ?

? x ? 1? 2

?3

x=-1 的对称轴是_____.

7.把二次函数y=4(x-1) 2的图像, 沿x轴向 2 右 _ 平移__个单位,得到图像的对称轴是直 线x=3. 8.把抛物线y=-3(x+2) 2,先沿x轴向右 平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位, y=-3x2-1 得到_____________的图像. 9.把二次函数y=-2x 2的图像,先沿x轴 向左平移3个单位,再沿y轴向下平移2 (-3,-2) 个单位,得到图像的顶点坐标是______.

10.如图所示的抛物线: 0或-2 当x=_____时,y=0; < 当x<-2或x>0时, y_____0; 当x在-2 < x<0范围内时,y>0; _____ -1 3 当x=_____时,y有最大值_____.
3

11、试分别说明将抛物线的图象通 2的图象: 过怎样的平移得到y=x (1) y=(x-3)2+2 ;
先向左平移3个单位,再向下平移2个单位

(2)y=(x+4)2-5
先向右平移4个单位,再向上平移5个单位

12.与抛物线y=-4x 2形状相同,顶点为 (2,-3)的抛物线解析式 y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3 为 .

13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 (1)求解析式
解:∵二次函数图象的顶点是(1,-1), ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1, ∵其图象过点(0,0), ∴0= a(0-1)2-1, ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1

(2)根据图象回答: x<0或x>2 时,y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时,y=0; 当x 0< x<2 时,y﹤0。

(2,0)

(1,-1)


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