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1.2 集合间的基本关系(师大附中)


第一章 集 合
1.2 集合间的基本关系

思考
实数有相等关系、大小关系, 如5=5,5<7,5>3等等, 类比实数之间的关系,集合之 间的什么关系?

? 观察下列各组集合中A与B之间的关系? (1) A={-1,1},B={-1,0,1,2}; (2)A=N,B=R; (3)A={x|x为湖南人},B={x|x为中国人}. 集合A的任意一个元素都是集合B的元素. (若a∈A,则必有a∈B)

1.子集的定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B 的元素(若a∈A,则a∈B),则称集 合A为集合B的子集. 记为 A? B 或 B ? A
B A

练习1
1.下列集合A、B中,集合A是B的子集吗?(口答)

(1) A={-1,1,0},B={-1,0,1}

(2)A ? {2,1,0}, B ? { y | y ?| x |, x ? R}
(3)A ? {x ? R | x ? 1 ? 0}, B ? {?1,0,1}
2

2.若A={1,2,3},则(D ) A 、1 ? A B、1 ? A C、{1}? A D、{1}? A

? Z? N? ? ___ N ___ ___ Q ? ___ R ? C. 若A ? B, B ? C , 则A ____

子集的性质
①子集的传递性! ②任何一个集合是它本身的子集, 即A ? A
③空集是任何集合的子集
所以,不能说A是B中的部分元素所组成的集合!!

2、真子集 对于两个集合 A 与 B ,如果 A ? B ,并且 A≠B ,我们就说集合 A是集合 B 的真子集。 读着“A真包含于B,B真包含A”。 记作 A ? ? B,或B ? A 说明: (1)集合A是集合B的真子集,即A是B的子 集,并且B中至少存在一个元素 不是 A 的元素; (2)子集包括真子集和相等两种情况; (3)空集?是任何 非空 集合的真子集; ?

3、等集 ? 对于两个集合 A和 B, 如果集合 A的任何一 个元素都是集合 B的元素,同时集合 B的 任何一个元素都是集合A的元素,我们就 说集合A等于集合B,记作A=B。 ? 如果A ? B,同时B ? A,那么A=B。
A(B)

练习2
1、下列命题正确的有几个(B) (1)空集没有子集; (2)任何集合至少有两个子集; (空集是任何非空集合的真子集) (3)空集是任何集合的真子集; (4)? 的元素个数为零 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、下列写法中正确的是

( 1 )? ? 0;(2)? ? ?0? ;(3)? ? ? ?? ; (4)? ? ? ?? ;(5)? ? ?0? ;(6)? ? ?0?

3 、 4 、6 .

典型例题

1.(1)分别写出下列各集合的子集及其个数: ? ,{a},{a,b},{a,b,c}.

(2)由(1)猜想:当集合M中含有n个元素 时,则集合M有多少个子集?
★集合M中有n个元素,则集合M有 2 个子集, 有 2 n ? 1 个真子集。
n

2.已知集合 A ? {x ?3 ? x ? 4},B ? {x 2m ? 1 ? x ? m ? 1} 且B ? A,求实数m的范围.

3.设集合A={x|x2+4x=0,x∈R}, B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R} , 若B?A,求实数a的值. a=1或a≤-1.
[分析] B?A包括B=A与B A两种情形. 当B=A时,集合B中一元二次方程有两 实根0和-4;当B A时,有B=?或B中一 元二次方程有两相等实根0(或-4).

[点评] ①B A时,容易漏掉B=?的情况; ②B={0}或{-4}易造成重复讨论,应直接由 Δ=0,求得a值再验证B A是否成立; ③分类讨论应按同一标准进行. 本题解答中,实际是按Δ>0,Δ=0,Δ<0 讨论B中方程解的情况的.Δ>0对应B=A; Δ=0对应B={0}或B={-4};Δ<0对应B=?.

k 1 k 1 4.集合M ? { x | x ? ? , k ? Z }, N ? { x | x ? ? , k ? Z }. 2 4 4 2 则( . C) B.M ? ? N D. M 与N 没有相同元素

A. M ? N C .M ? ? N

课堂小结
1.子集,真子集的概念与性质;

2. 集合的相等;
3.集合与集合,元素与集合的关系.

阅读

教材 章节1.3


书写



自主学习册 习题1.2

实践 探究生活中集合知识的应用


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