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2007年北京市高考理科数学试题及答案


2007 年普通高等学校招生全国统一考试---数学(文史类) 第 I 卷(选择题 共 40 分)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知 cos ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 2.函数 f

( x) ? 3x (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定义域为( )

? ?) A. (0,

, 9] B. (1

1) C. (0,
) D. 4 π

? ?) D. [9,

3.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是( A.

π 2

B. π

C. 2 π

4.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N , a 2 b2


若 MN ≤ ? F 1F 2 ,则该椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ?

? 2 ? , 1? ? ? 2 ?

5.某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不相同的牌 照号码共有( ) A. C26

? ?
1

2

4 A10 个

2 4 B. A26 个 A10

C. C26

? ? 10
1 2

4



2 D. A26 104 个

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 6.若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ≤ x ≤ 2 ?
A. a ? 5 B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 ) D. a ? 5 或 a ≥ 7 7.平面 ? ∥ 平面 ? 的一个充分条件是( A.存在一条直线 ?,a ∥?,a ∥ ? B.存在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ? C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,a ∥ ?,b ∥?



8.对于函数① f ( x) ? x ? 2 ,② f (x) ?( x ?2) 题的真假: 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;

2

,③ f (x) ?cos( x ? 2) ,判断如下两个命

?) 上是减函数,在 (2, ? ?) 上是增函数; 命题乙: f ( x ) 在 ( ??,
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( A.①② B.①③ C.② ) D.③

第 II 卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. f ?( x ) 是 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3

. . . .

10.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,则此数列的通项公式为

4? b = ?11 , ? .若向量 b ? (a + ?b) ,则实数 ? 的值是 11.已知向量 a = ? 2,,
12.在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3

13.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代数学家赵爽 的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的 一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25, 直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 . 14.已知函数 f ( x ) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 2

2 1

3 1

x
f ( x)

1 3

2 2

3 1 .

则 f [ g (1)] 的值为

;当 g[ f ( x)] ? 2 时, x ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 12 分)

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ≤1 的解集为 Q . x ?1 (I)若 a ? 3 ,求 P ;
记关于 x 的不等式 (II)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

, 2, 3, ) 16. (本小题共 13 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 ,且

a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.
(I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可 6 以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB A
17. (本小题共 14 分)如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

D

O C
18.(本小题共 12 分) 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站(包括起点站和终点站) , 在起点站开出的一辆公共汽 车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求: (I)这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率; (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率;

B

0) , AB 边所在直线 19. (本小题共 14 分)如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, , 在 AD 边所在直线上. 的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 点 T (?11)
(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程;

y

0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动 (III)若动圆 P 过点 N (?2,
圆 P 的圆心的轨迹方程.

T D O N A

C
M
B

x

20. (本小题共 14 分) 已知函数 y ? kx 与 y ? x ? 2( x ≥ 0) 的图象相交于 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , l1 , l2 分别是
2

y ? x2 ? 2( x ≥ 0) 的图象在 A,B 两点的切线, M ,N 分别是 l1 , l2 与 x 轴的交点.
(I)求 k 的取值范围; (II)设 t 为点 M 的横坐标,当 x1 ? x2 时,写出 t 以 x1 为自变量的函数式,并求其定义域和 值域; (III)试比较 OM 与 ON 的大小,并说明理由( O 是坐标原点) .

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类) (北京卷)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C 2.B 3.B 4.D 7.D 8.C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 3 13. 10. 2 n ? 11 11. ?3 5.A 6.C

12.

10 2

7 25

14. 1

1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 12 分) 解: (I)由

x?3 ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? . x ?1

(II) Q ? x x ? 1 ≤1 ? x 0 ≤ x ≤ 2 . 由 a ? 0 ,得 P ? x ?1 ? x ? a ,又 Q ? P ,所以 a ? 2 ,

?

? ?

?

?

?

? ?) . 即 a 的取值范围是 (2,
16. (共 13 分) 解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , an ? an?1 ? (n ?1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c. 2
2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n ? n ? 2(n ? 2, 3, ) .

当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ) . 17. (共 14 分) (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO , ??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ? CO ? BO ,又 AO BO ? O ,

A

? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD . ? 平面 COD ? 平面 AOB . (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO , ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. 1 在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? BO ? 1 , 2

D

E

?CE ? CO ? OE ? 5 .
2 2

O

B

C

又 DE ?

1 AO ? 3 . 2

? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ?

CE 5 15 . ? ? DE 3 3
15 . 3

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan

18. (共 13 分) 解: (I)这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为

P?

6 A10 1512 ? ≥ ?.1512 . 6 10 106

3 C6 ? 93 1458 ? 6 ? 0.01458 . (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为 P ? 106 10

19. (共 14 分) 解: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的 斜率为 ?3 .

, 在直线 AD 上, 又因为点 T (?11)
所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) .

3x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, ? 2) , ?3x ? y ? 2 = 0

0) . 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2,
所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 . (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 , 即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ?

2 ,半焦距 c ? 2 .

所以虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 . 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 20. (本小题共 14 分) 解: (I)由方程 ?

x2 y 2 ? ? 1( x ≤ ? 2) . 2 2

? y ? kx, ?y ? x ? 2
2

消 y 得 x ? kx ? 2 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · ①
2

依题意,该方程有两个正实根, 故?

?? ? k 2 ? 8 ? 0,

? x1 ? x2 ? k ? 0,

解得 k ? 2 2 .

(II)由 f ?( x) ? 2 x ,求得切线 l1 的方程为 y ? 2x1 ( x ? x1 ) ? y1 ,
2 由 y1 ? x1 ? 2 ,并令 y ? 0 ,得 t ?

x1 1 ? 2 x1

k ? k2 ?8 4 ,k ? 2 2, x1 , x2 是方程①的两实根,且 x1 ? x2 ,故 x1 ? ? 2 k ? k2 ?8
x1 是关于 k 的减函数,所以 x1 的取值范围是 (0,2) .

t 是关于 x1 的增函数,定义域为 (0,2) ,所以值域为 (??,0) ,

(III)当 x1 ? x2 时,由(II)可知 OM ? t ? ?

x1 1 ? . 2 x1

类似可得 ON ?

x2 1 x ?x x ?x ? . OM ? ON ? ? 1 2 ? 1 2 . 2 x2 2 x1 x2

由①可知 x1 x2 ? 2 . 从而 OM ? ON ? 0 . 当 x2 ? x1 时,有相同的结果 OM ? ON ? 0 . 所以 OM ? ON .


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