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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第8章 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 理


第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
一、选择题 1.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为 A.0 C.2 B.-8 D.10 ( )

4-m 解析:由 k= =-2,得 m=-8. m+2 答案:B 2.直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是 A.[0,π ) π

C.[0, ] 4 π 3π B.[0, ]∪[ ,π ) 4 4 π π D.[0, ]∪( ,π ) 4 2 ( )

解析:设题中直线的倾斜角为 θ ,则有 tan θ =-s in α ,其中 sin α ∈[-1,1].又 θ ∈[0,π ), π 3π 所以 0≤θ ≤ 或 ≤θ <π 4 4 答案:B π 3.直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 所得的直线方程是 2 A.x-2y+4=0 C.x-2y-4=0 B.x +2y-4=0 D.x+2y+4=0 ( )

解析:直线 2x-y-2=0 与 y 轴的交点为 A(0,-2), 1 所求直线过 A 且斜率为- , 2 1 ∴所求直线方程:y+2=- (x-0),即 x+2y+4=0. 2 答案:D 4.设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 没有交点,则 a 的取值范围是( 5 4 A.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 3 4 5 B.(- , ) 3 2 5 4 C.[- , ] 2 3 4 5 D.(-∞,- ]∪ [ ,+∞) 3 2
1

)

解析:直线 ax+y+2=0 恒过点 M(0,-2),且斜率为-a, 3-? -2? ∵kMA= -2-0 5 =- , 2

kMB=

2-? -2? 4 5 4 = ,由图可知:-a>- 且-a< , 3-0 3 2 3

4 5 ∴a∈(- , ). 3 2 答案:B 5 . 已 知 直 线 a x + y + 2 = 0 与 直 线 bx - (a + 1)y - 1 = 0 互 相 垂 直 , 则 |ab| 的 最 小 值 为 ( ) A.5 C.2
2 2 2 2

B.4 D.1

解析:由题意知,a b-(a +1)=0 且 a≠0, ∴a b=a +1,∴ab=
2 2

a2+1 1 =a+ , a a

1 1 ∴|ab|=|a+ |=|a|+ ≥ 2.(当且仅当 a=±1 时取“=”). a |a| 答案:C 6.直线 Ax+By-1=0 在 y 轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3的倾斜角的 2 倍, 则 A.A= 3,B=1 C.A= 3,B=-1 B.A=- 3,B=-1 D.A=- 3,B=1 ( )

A 1 解析:将直线 Ax+By-1=0 化成斜截式 y=- x+ . B B
1 ∵ =-1,∴B=-1,故排除 A、D.

B

π 又直线 3x-y=3 3的倾斜角 α = , 3 2π ∴直 线 Ax+By-1=0 的倾斜角为 2α = , 3

A 2π ∴斜率- =tan =- 3, B 3
∴A=- 3. 答案:B
2

二、填空题 7. 将一 张坐标纸折叠一次, 使得点(0,2)与点(4,0)重合, 点(7,3)与点(m, )重合, m+n=________. n 则 解析:由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y=2x-3,它也是点(7,3)与

?3+n=2×7+m-3 ? 2 2 点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 ? ?m-7=-2
34 故 m+n= . 5 34 答案: 5

?m=3 ? 5 ,解得? 31 ? ?n= 5

.

8.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________.

x y 3 3 2 3 3 2 2 解析:直线 AB 的方程为 + =1,P(x,y),则 x=3- y,∴xy=3y- y = (-y +4y)= [-(y-2) 3 4 4 4 4 4
+4]≤3. 答案:3 9.与直线 3x +4y +12=0 平行,且与坐标轴构成的三角形的面积是 24 的直线 l 的方程是 ____________________. 解析:先由“平行”这个条件设出直线方程为 3x+4y+m=0,再用“面积”条件求 m.因为直线 l 交 x

m m 1 m m 轴于 A(- ,0),交 y 轴于 B(0,- ),由 ·|- |·|- |=24,可得 m=±24.所以,所求直线的方程为: 3 4 2 3 4
3x+4y±24=0. 答案:3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0 三、解答题 10.在△ABC 中,已知 A(5,-2)、B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程. 解:(1)设点 C 的坐标为(x,y),则有

x+5

3+y =0, =0, 2 2

∴x=-5,y=-3.即点 C 的坐标为(-5,-3). 5 y (2)由题意知,M(0,- ),N (1,0),∴直线 MN 的方程为 x- =1, 2 5 2 即 5x-2 y-5=0.

11.已知两点 A(-1,2),B(m,3).
3

(1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈[- 3 -1, 3-1],求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3

解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= π (2)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈[- ∴k= 3 ,0)∪(0, 3], 3 1

m+1

(x+1).

1 3 ∈(-∞,- 3]∪[ ,+∞), m+1 3

π π π 2π ∴α ∈[ , )∪( , ]. 6 2 2 3 π 2 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围为[ , π ]. 6 3 12.为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图所 示),另外,△AEF 内部有一文物保 护区不能占用,经测量 AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?

解:建立如图所示直角坐标系,则 E(30,0),F(0,20),于是,线段 程是 + =1(0≤x≤30), 30 20 在线段 EF 上取点 P(m,n),作 PQ⊥BC 于点 Q,PR⊥CD 于点 R,设矩 的面积为 S,则:

EF 的 方

x

y

形 PQCR

S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n),
因为 + =1,所以 n=20(1- ), 30 20 30 2 所以 S=(100-m)(80-20+ m) 3 2 18 050 2 =- (m-5) + (0≤m≤30), 3 3 |EP| 5 于是,当 m=5 时,S 有最大值,这时 = . |PF| 1 答:当 草坪矩形的两边在 BC,CD 上,一个顶点在线段 EF 上,且这个顶点分 EF 成 5∶1 时,草坪面积最大

m

n

m

4


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