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2014高考导数压轴题终极解答


天道酬勤 厚积薄发

导数解答题专项

-1-

天道酬勤 厚积薄发


二、交点与根的分布 三、不等式证明
(一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式


(3) (7) ( 8)

一、导数单调性、极值、最值的直接应用

四、不等式恒成立求字母范围
(一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围

(13)

五、函数与导数性质的综合运用 六、导数应用题 七、导数结合三角函数 书中常用结论: ⑴ sin x ? x, x ?(0,? ) ,变形即为
sin x ? 1, x

(16) (20) (21)

其几何意义为 y ? sin x, x ? (0, ? ) 上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ex ? x ? 1 ⑶ x ? ln( x ? 1) ⑷ ln x ? x ? e x , x ? 0 .
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天道酬勤 厚积薄发

一、导数单调性、极值、最值的直接应用
(切线)设函数 f ( x) ? x 2 ? a . (1)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) ? xf ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2) 当 a ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x1 , f ( x1 ))( x1 ? a ) 处的切线为 l ,l 与 x 轴交于点 A( x 2 ,0) 1. 求证: x1 ? x 2 ? a . 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a )e x ( x ? R ), 其中 a ? R ⑴当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; ⑵当 a ?
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 3

1 2 x ? 2ax, g ( x) ? 3a 2 ln x ? b. 2 ⑴设两曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 有公共点,且在公共点处的切线相同,若 a ? 0 ,试建立 b 关 于 a 的函数关系式,并求 b 的最大值; ⑵若 b ? [0, 2], h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (2a ? b) x 在(0,4)上为单调函数,求 a 的取值范围。
3. 已知函数 f ( x) ?

4.

(最值,按区间端点讨论)

a . x (1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; 3 (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求a的值. 2
已知函数f(x)=lnx- 5. (最值直接应用)

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2 (Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围.
已知函数 f ( x) ? x ? 6. (2010北京理数18)

x 2 x ( k ≥0). 2 (Ⅰ)当 k =2时,求曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间.
已知函数 f ( x ) =ln(1+ x )- x + 7. (2010山东文21,单调性)

1? a ? 1(a ? R ) x ⑴当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;
已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

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⑵当 a ? 8.

1 时,讨论 f ( x) 的单调性 2

(是一道设计巧妙的好题,同时用到 e 底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零 点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)

已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? e x . ⑴若函数 φ (x) = f (x)-

x +1 ,求函数 φ (x)的单调区间; x- 1

⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. 9. (最值应用,转换变量)

设函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

2ax 2 ? 1 (a ? 0) . x

(1)讨论函数 f ( x) 在定义域内的单调性; (2)当 a ? (?3, ?2) 时,任意 x1 , x2 ? [1,3] , (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 恒成立,求实 数 m 的取值范围. 10. (最值应用)

已知二次函数 g ( x) 对 ?x ? R 都满足 g ( x ? 1) ? g (1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? 1 且 g (1) ? ?1 ,设函数

1 9 f ( x) ? g ( x ? ) ? m ln x ? ( m ? R , x ? 0 ). 2 8 (Ⅰ)求 g ( x) 的表达式; (Ⅱ)若 ?x ? R ? ,使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x ,求证:对于 ?x1,x2 ? [1, m] ,恒有

| H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 .
2 3? x 11. 设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b e , ? x ? R ? 的一个极值点.

?

?

(1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ),并求 f ? x ? 的单调区间;
2 (2)设 a ? 0, g ? x ? ? ? a ?

? ?

25 ? x ? e ,若存在 ?1 , ? 2 ? ? 0, 4? ,使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 1 成立,求 a 的 4 ?

取值范围. 12.

f ( x) ? ( x 2 ? ax ? b)e x ( x ? R ) . (1)若 a ? 2, b ? ?2 ,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,试求出 a 关于 b 的关系式(用 a 表示 b ),并确 定 f ( x) 的单调区间; (3)在(2)的条件下,设 a ? 0 ,函数 g ( x) ? (a 2 ? 14)e x ? 4 .若存在 ?1 , ? 2 ? [0,4] 使得 | f (?1 ) ? f (? 2 ) |? 1 成立,求 a 的取值范围.
(2010山东,两边分求,最小值与最大值)

. 13.

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已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? ⑴当 a ≤

1? a ? 1 (a ? R ) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 ⑵设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4. 当 a ? 时, 若对任意 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ? ?1, 2? , 使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) , 4 求实数 b 取值范围.
. 14. 设函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

(Ⅰ)当 a ? 1 时,过原点的直线与函数 f ( x) 的图象相切于点 P,求点 P 的坐标;

1? a ?1. x

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 2 1 5 2 (Ⅲ)当 a ? 时,设函数 g ( x) ? x ? 2bx ? ,若对于 ? x1 ? (0 , e ], ? x2 ? [0,1] 3 12 使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围.( e 是自然对数的底, e ? 3 ? 1 )
(Ⅱ)当 0 ? a ? 15. (2010山东,两边分求,最小值与最大值) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . ⑴求 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; ⑵若存在 x ? ? , e ? ( e 是常数, e = 2.71828 ??? )使不等式 2 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取 e 值范围; ⑶证明对一切 x ? (0, ??), 都有 ln x ? 16. (最值应用)

?1 ?

? ?

1 2 ? 成立. e x ex

设函数 f ( x) ? px ?

⑴求 p 与 q 的关系; ⑵若 f ( x) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; ⑶设 g ( x) ? 围.

q p ? 2 ln x ,且 f (e) ? qe ? ? 2 ,其中 e 是自然对数的底数. x e

2e ,若在 ?1, e ? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值范 x

17. (2011湖南文,第2问难,单调性与极值,好题) 设函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x(a ? R ). x

⑴讨论函数 f ( x) 的单调性; ⑵若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 的直线斜率为 k ,问:是否存 在 a ,使得 k ? 2 ? a ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

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18.

(构造函数,好,较难)

已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x(a ? R,a ? 0) . 2

⑴求函数 f ( x ) 的单调增区间; ⑵记函数 F ( x ) 的图象为曲线 C ,设点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上两个不同点,如果曲线

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB , 2 则称函数 F ( x ) 存在“中值相依切线”.试问:函数 f ( x ) 是否存在中值相依切线,请说明理由.
C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ?
19. 已知 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ln x ? ax , x ? 0 .( f ? x ? 的图象连续)
2

(2011天津理19,综合应用)

⑴求 f ? x ? 的单调区间; ⑵若存在属于区间 ?1,3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ≥ 1 ,使 f ?? ? ? f ? ? ? ,证明:

ln 3 ? ln 2 ln 2 ≤a≤ . 5 3
20. (恒成立,直接利用最值) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? x 2 ? ax, a ? 0 ,

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a ; 2 ⑵讨论函数 f ( x) 的单调区间;
⑴若 x ? ⑶若对于任意的 a ? [1, 2] ,不等式 f ? x ? ≤ m 在 [ ,1] 上恒成立,求 m 的取值范围. 21. (最值与图象特征应用) 设 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 2

e?x (ax 2 ? a ? 1)(e 为自然对数的底数). 2

⑴判断 f ( x) 的单调性; ⑵若 f ( x) ?

1 在x ? [1,2] 上恒成立,求a的取值范围. e2

22. (单调性) f ( 已知 x) =ln(x+2)-x2+bx+c ⑴若函数 f ( x) 在点(1, 且f(-1)=0, 求函数 f ( x) 在区间[0,3] y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直, 上的最小值; ⑵若 f ( x) 在区间[0,m]上单调,求b的取值范围.

23. (单调性,用到二阶导数的技巧) 已知函数 f ( x) ? ln x

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f ( x) ? a (a ? R) ,求 F ( x) 的极大值; x ⑵若 G ( x) ? [ f ( x)]2 ? kx 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.
⑴若 F ( x) ?

二、交点与根的分布
24. (2008四川22,交点个数与根的分布) 已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x 2 ? 10 x 的一个极值点. ⑴求 a ; ⑵求函数 f ( x) 的单调区间; ⑶若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围. 25. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? bx ? c 在 ? ??, 0 ? 上是减函数,在 ? 0,1? 上是增函数,函数
3 2

f ? x ? 在 R 上有三个零点.
(1)求 b 的值; (2)若1是其中一个零点,求 f ? 2 ? 的取值范围; (3) 若 a ? 1,g ? x ? ? f 相切?请说明理由. 26. (交点个数与根的分布) 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 8 x, g ( x) ? 6 ln x ? m. ⑴求 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值 h(t ); ⑵是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像有且只有三个不同的交点?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 27. (交点个数与根的分布) 已知函数 f ( x) ? ln(2 ? 3 x) ? ⑴求f(x)在[0,1]上的极值;
'

? x ? ? 3x 2 ? ln x ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)

3 2 x . 2

1 1 6 3 x ⑶若关于 的方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
28. (2009宁夏,利用根的分布) 已知函数 f ( x) ? ( x 3 ? 3 x 2 ? ax ? b)e ? x ⑴如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; ⑵若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明: ? ? ? <6.
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

⑵若对任意 x ? [ , ], 不等式 | a ? ln x | ? ln[ f ?( x) ? 3 x] ? 0 成立,求实数a的取值范围;

a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.

w.w

29. (2009天津文,利用根的分布讨论)

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1 3 x ? x 2 ? ? m 2 ? 1? x ? x ? R ? ,其中 m ? 0 3 ⑴当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线的斜率
设函数 f ? x ? ? ? ⑵求函数 f ? x ? 的单调区间与极值 ⑶已知函数 f ? x ? 有三个互不相同的零点 0、x1、x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意的

x ? ? x1 , x2 ? , f ? x ? ? f ?1? 恒成立,求 m 的取值范围.
(2007全国II理22,转换变量后为根的分布)

30.

已知函数 f ( x) ? x 3 ? x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ? a ? b ? f (a ) . 31.
3 2

已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .

?

?

⑴求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c , 求实数 c 的最 小值; ⑶若过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

32.

(2011省模,利用⑴的结论,转化成根的分布分题)

a ? ln x ? 1, g ( x) ? (ln x ? 1)e x ? x, (其中 e ? 2.718 ) x (I)求函数 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的最小值;
已知 a ? R ,函数 f ( x) ? (II)是否存在实数 x0 ? ? 0, e ? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与y轴垂直?若存在,求 出 x0 的值;若不存在,请说明理由。 33. 已知函数 f ( x) ? x ,函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间[-1,1]上的减函数. (I)求 ? 的最大值; (II)若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1在x ? [?1,1] 上恒成立,求t的取值范围; (Ⅲ)讨论关于x的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

三、不等式证明 作差证明不等式
34. (2010湖南,最值、作差构造函数) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间;

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1 ≤ ln( x ? 1) ≤x. x ?1

(2)若 x ? ?1 ,求证: 1 ? 35.

(2007湖北20,转换变量,作差构造函数,较容易)

已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. ⑴用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; ⑵求证:当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) .
36. (2009全国II理21,字母替换,构造函数)
2

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a 2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 2

设函数 f ? x ? ? x ? a ln ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 ⑴求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; ⑵证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 ln 2 . 4

变形构造函数证明不等式
37. (变形构造新函数,一次) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax . ⑴试讨论 f ( x) 在定义域内的单调性; ⑵当 a <-1时,证明: ?x1 , x2 ? (0,1) ,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? 1 .求实数 m 的取值范围. | x1 ? x2 |

38. (2011辽宁理21,变形构造函数,二次) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax 2 ? 1 . ⑴讨论函数 f ( x) 的单调性; ⑵设 a ? ?1 ,如果对任意 x1 , x 2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≥ 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围. 39. (2010辽宁文21,构造变形,二次) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax 2 ? 1 . ⑴讨论函数 f ( x) 的单调性; ⑵设 a ≤ ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ 4 | x1 ? x2 | . 40. (辽宁,变形构造,二次)

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 . 2 (1)讨论函数 f ( x) 的单调性;
已知函数f(x)=
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(2)证明:若 a ? 5 ,则对任意x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有 41. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x(a ? 0). (1)确定函数 y ? f ( x) 的单调性;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

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(2)若对任意 x1 , x2 ? ? 0,1? ,且 x1 ? x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | 范围。

1 1 ? | ,求实数 a 的取值 x1 x2

42. (变形构造)

已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 和 “ 伪二次函数 ” g ? x ? ? ax ? bx ? c ln x ( a 、 b 、
2 2

(I)证明:只要 a ? 0 ,无论 b 取何值,函数 g ? x ? 在定义域内不可能总为增函数; (II)在二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 图象上任意取不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,线段 AB 中
2

c ? R, abc ? 0 ),

点的横坐标为 x0 ,记直线 AB 的斜率为 k , (i)求证: k ? f ?( x0 ) ;

2 (ii)对于“伪二次函数” g ? x ? ? ax ? bx ? c ln x ,是否有①同样的性质?证明你的结论.

43. (变形构造,第2问用到均值不等式) 已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+4ax+1,g(x)=6a2lnx+2b+1,其中a>0. ⑴设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,用a表示b,并求b的最大值; ⑵设h(x)=f(x)+g(x)-8x,证明:若a≥-1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增; ⑶设F(x)=f(x)+g(x),求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2有>8.

a ,a为正常数. x ?1 9 ⑴若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且a ? ,求函数 f ( x) 的单调增区间; 2 ⑵在⑴中当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意不同的两点 A?x1 , y1 ? , B?x 2 , y 2 ? ,线段 AB 的 中点为 C ( x 0 , y 0 ) ,记直线 AB 的斜率为 k ,试证明: k ? f ?( x0 ) . g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,求a的 ⑶若 g ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且对任意的 x1 , x 2 ? ?0,2? , x1 ? x 2 ,都有 x 2 ? x1 取值范围.
44. 已知函数 ? ( x) ? 45. 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x ( a ? 0 ). 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切 2 线平行于直线 AB ,则称函数 F ( x ) 存在“中值相依切线”.试问:函数 f ( x ) 是否存在“中
点.如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ? 值相依切线”,请说明理由. 46. 已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) . (1)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

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(2)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ?

f ( x) 1 ,若 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 x e

47. 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明: 对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

48. (2011陕西21,变形构造,反比例) 设函数 f ( x) 定义在 (0, ??) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ?( x) ? (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论与 g ( ) 的大小关系; (3)是否存在 x0 ? 0 ,使得 | g ( x) ? g ( x0 ) |? 范围;若不存在,请说明理由.

1 , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . g ( x) x

1 x

1 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 x

的取值

49. 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ? ln x x

a?R,

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值 (Ⅱ)若 ln x ? kx ? 0 在 R 上恒成立,求 k 的取值范围
?

(Ⅲ)已知 x1 ? 0 , x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? e ,求证 x1 ? x2 ? x1 x2

ln x 1 的图象为曲线 C , 函数 g ( x) ? ax ? b 的图象为直线 l . x 2 (Ⅰ) 当 a ? 2, b ? ?3 时, 求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值; (Ⅱ) 设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 x1 , x 2 , 且 x1 ? x 2 , 求证: ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x 2 ) ? 2 .
50. 已知函数 f ( x) ? 51. 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? x ? ln( x ? a ) ,其中常数 a ? 0. 4 a

⑴若 f ( x)在x ? 1 处取得极值,求 a 的值; ⑵求 f ( x ) 的单调递增区间; ⑶已知 0?a?

1 , 若 x1 , x2 ? (?a, a), x1 ? x2 , 且 满 足 f '( x1 ) ? f '( x2 ) ? 0 , 试 比 较 2 f '( x1 ? x2 )与f '(0) 的大小,并加以证明。

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替换构造不等式证明不等式
52. ( 第 3 问 用 第 2 问 ) 已 知 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) , 直 线 l 与 函 数 2 2

f ( x), g ( x ) 的图像都相切,且与函数 f ( x) 的图像的切点的横坐标为1。 (I)求直线 l 的方程及m的值; (II)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g '( x)(其中g'(x)是g(x)的导函数) ,求函数 h( x) 的最大值。 b?a . (III)当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a ) ? 2a
53. 已知函数 f ?x ? ? x ln x 、

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 k 为正常数,设 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? k ? x ? ,求函数 g ? x ? 的最小值; (Ⅲ)若 a ? 0 , b ? 0 ,证明: f ? a ? ? ? a ? b ? ln2 ≥ f ? a ? b ? ? f ?b ? 、 54. (替换构造不等式) 已知函数 f ( x) ?

ax ? b 在点 (?1, f (?1)) 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ?1

⑴求函数 f ( x) 的解析式; ⑵设 g ( x) ? ln x ,求证: g ( x) ≥ f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立;(反比例,变形构造) ⑶已知 0 ? a ? b ,求证:

ln b ? ln a 2a ? 2 .(替换构造) b?a a ? b2

55. (替换证明) ln x 已知函数 f ( x) ? ?1. x (1)试判断函数 f ( x) 的单调性; (2)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m, 2m] 上的最大值; 1? n e 1? n (3)试证明:对任意 n ? N * ,不等式 ln( 都成立(其中 e 是自然对数的底数). ) ? n n 56. (2010湖北,利用⑵结论构造)

f x) ? ax ? 已知函数 (

b ?( c a ? 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 . x

⑴用a表示出b、c; ⑵若f ( x)≥ ln x在[1, ? ?)上恒成立,求a 的取值范围; (反比例,作差构造) 1 1 1 n 1 ? ? ? ??? ? ? ln(n ? 1) ? ( n ? 1) .(替换构造) ⑶ 证明: 2 3 n 2(n ? 1)

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天道酬勤 厚积薄发

57. 已知 f ( x) ? ax ?

b ? 2 ? 2a (a ? 0) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 平行. x

(1)求 a,b 满足的关系式; (2)若 f ( x) ? 2ln x在[1,+?) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: 1 ?

1 1 1 1 1 nn 2n 1) ? ??? ? ln( (2n ?? 1) ?? (n ? )∈N*) ( ?n 3 5 2n ? 1 2 2 22 nn ?? 11

58. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1. (1)求函数 f ( x) 的极值点。 (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围。 (3)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n (n ? 4)(n ? 1) ? ? ? ?? ? 2 ? 3 8 15 6 n ?1

(n ? N , n ? 1) .

59. (替换构造) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1. ⑴求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵若 f ( x) ≤0恒成立,试确定实数 k 的取值范围;(一次,作差构造) ⑶证明:①当 x ? 2 时, ln( x ? 1) ? x ? 2 ;② 60. (2011浙江理22,替换构造) 已知函数 f ( x) ? 2a ln(1 ? x) ? x(a ? 0) . ⑴求 f ( x) 的单调区间和极值;

? i ?1 ?
i ?1

n

ln i

n(n ? 1) (n ? N * , n ? 1) . 4

lg e lg e lg e ⑵求证: 4 lg e ? ? ? ??? ? ? lg e 2 3 n
61. (替换构造)

(1? n )n nn

* (n ? 1) (n ? N ) .

已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1(a ? 0, e为自然对数的底数) . ⑴求函数 f ( x) 的最小值; ⑵若 f ( x) ≥0对任意的 x ? R 恒成立,求实数a的值;(一次,作差构造) ⑶在⑵的条件下,证明: ( ) ? ( ) ? ??? ? (
n n

1 n

2 n

n ?1 n n n e ) ?( ) ? (其中n ? N*) . n n e ?1

四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用
62. (2011北京理18倒数第3大题,最值的直接应用) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) 2 e k 。 ⑴求 f ( x) 的单调区间; ⑵若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ≤
x

1 ,求 k 的取值范围. e

- 13 -

天道酬勤 厚积薄发 63. (2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧)

a ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x ⑴若曲线 y ? f ? x ? 在点 P?2, f ?2 ?? 处切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵讨论函数 f ? x ? 的单调性; ?1 ? ?1 ? ⑶若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ? x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. ?2 ? ?4 ?
已知函数 f ? x ? ? x ? 64. (转换变量,作差) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? a )e x . ⑴若 a ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间; ⑵ 已 知 x1 , x2 是 f ( x) 的 两 个 不 同 的 极 值 点 , 且 | x1 ? x2 |?| x1 x2 | , 若

3 3 f (a ) ? a 3 ? a 2 ? 3a ? b 恒成立,求实数b的取值范围。 2

恒成立之分离常数
65. (分离常数)

a ? ln x ? 1, a ? R. x (1) 若 y ? f ( x) 在 P (1, y0 ) 处的切线平行于直线 y ? ? x ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间;
已知函数 f ( x) ? (2) 若 a ? 0 ,且对 x ? (0, 2e] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围 66. (2011长春一模,恒成立,分离常数,二阶导数)

x2 ? ax ? 1 ,(其中 a ? R, e 为自然对数的底数). 2 (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 x ≥1时,若关于 x 的不等式 f ( x) ≥0恒成立,求实数 a 的取值范围. (改x≥0时, f ( x) ≥0恒成立. a ≤1)
已知函数 f ( x) ? e x ? 67. (两边取对数的技巧)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 的取值范围; (3)已知 2 x ?1 ? ( x ? 1) m 对任意 x ? (?1, 0) 恒成立,求实数 m 的取值范围。
1

1 ( x ? ?1 且 x ? 0 ) ( x ? 1) ln( x ? 1)

68. (分离常数) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x . x

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天道酬勤 厚积薄发

(Ⅰ)若函数在区间 (a, a ? ) 其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围; (Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

1 2

k 恒成立,求实数k的取值范围; x ?1

69. (2010湖南,分离常数,构造函数) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R, 恒有 f ?( x) ≤ f ( x) . ⑴证明:当 x ≥ 0时,f ( x) ≤ ( x ? c) 2 ; ⑵若对满足题设条件的任意b、c,不等式 f (c) ? f (b) ≤ M (c 2 ? b 2 ) 恒成立,求M的最小值。 70. (第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数f (x)的定义域 (Ⅱ)确定函数f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论. k (Ⅲ)若x>0时 f ( x) ? 恒成立,求正整数k的最大值. x ?1 71. (恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理)

1 ? 1n( x ? 1) x

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0). x (Ⅰ)试判断函数 f ( x)在(0,??) 上单调性并证明你的结论; k (Ⅱ)若 f ( x) ? 恒成立,求整数k的最大值;(较难的处理) x ?1 2)(1+2× 3)?[1+n(n+1)]>e2n-3. (Ⅲ)求证:(1+1×
已知函数 f ( x) ? 72. (分离常数,双参,较难)已知函数 f ( x) ? ( x 3 ? 6 x 2 ? 3 x ? t )e x , t ? R .

(1)若函数 y ? f ( x) 依次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c ) 处取到极值. ①求 t 的取值范围;②若 a ? c ? 2b 2 ,求 t 的值. 最大值. 73. (2008湖南理22,分离常数,复合的超范围) 已知函数 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) ? ⑴求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵若不等式 (1 ? ) (分离常数) 74. (变形,分离常数) (2)若存在实数 t ? ? 0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m ? ,不等式 f ( x) ? x 恒成立.求正整数 m 的

x2 . 1? x

1 n

n?a

≤ e 对任意的 n ? N* 都成立(其中e是自然对数的底数),求a的最大值.

已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x (a为实常数). (1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f ( x) 在(1,+∞)上是增函数;

- 15 -

天道酬勤 厚积薄发 (2)求函数 f ( x) 在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数a的取值范围. 75. (分离常数,转换变量,有技巧) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 .

1 相切: 2 1 ①求实数 a, b 的值;②求函数 f ( x) 在 [ , e] 上的最大值; e 3 2 ⑵当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ≥ m ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? [1, e ] 都成立,求实数 m 的取值 2
⑴若函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 范围.

恒成立之讨论字母范围
76. (2007全国I,利用均值,不常见) 设函数 f ( x) ? e x ? e ? x . ⑴证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; ⑵若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围. 77. 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x). (Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=1 时,设 P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且 PQ//x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离; (Ⅲ):若 x≥0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(-x)的图象上方,求实数 a 的取值范围. 78. (用到二阶导数,二次)

k 2 x ? x. 2 ⑴若 k ? 0 ,求 f ( x) 的最小值; ⑵若当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 ,求实数 k 的取值范围.
设函数 f ( x) ? e ?
x

79.

(第 3 问设计很好,2 问是单独的,可以拿掉)已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1 ,斜率

为 1 的直线与 f ( x) 相切于 (1, 0) 点. (Ⅰ)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间; (Ⅱ)当实数 0 ? a ? 1 时,讨论 g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ? (Ⅲ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

1 2 ax 的极值点。 2

80. (2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧)

- 16 -

天道酬勤 厚积薄发 设函数 f ( x) ? x e ? 1 ? ax .
x 2

?

?

1 ,求 f ( x) 的单调区间; 2 ⑵若当 x ≥0时 f ( x) ≥0,求a的取值范围.
⑴若a = 81. (2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将一 般的过定点(0,0)变为过定点(1,0),如果第2问范围变为 x ? 1 则更间单) 已知函数 f ( x) ?

⑴求 a 、 b 的值;

a ln x b ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

⑵如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

82. (恒成立,讨论,较容易,但说明原理)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? a ln x . (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若 f ( x) ? 0 对 x ? [1,??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 83. (2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论 e x ≥ 1 ? x ) 设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 . ⑴若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; ⑵若当 x ≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ,求 a 的取值范围. 84. (恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论)
?x 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .

⑴证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? ⑵设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求a的取值范围. ax ? 1

85.

已知函数 f ( x ) ?

kx ? 1 ,且函数 f ? x ? 是 ? ?1, ?? ? 上的增函数。 x ?1
kx?1 x ?1

(1)求 k 的取值范围; (2)若对任意的 x ? 0 ,都有 e k 的值。 86. (2008山东卷21) 已知函数 f ( x) ?

? x ? 1(e 是自然对数的底),求满足条件的最大整数

1 ? a ln( x ? 1), 其中n∈N*,a为常数. (1 ? x) n

⑴当n=2时,求函数f(x)的极值;

- 17 -

天道酬勤 厚积薄发 ⑵当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.

五、函数与导数性质的综合运用
87. (综合运用) 已知函数 f ( x) ? xe ? x ( x ? R ) ⑴求函数 f ( x) 的单调区间和极值; ⑵已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,证明当 x ? 1 时,

f ( x) ? g ( x) ⑶如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2
88. (2010天津理数21,综合运用) x ?1 已知函数 f ( x) ? x ?1 ( x ? R). e ⑴求函数 f ( x) 的单调区间和极值; ⑵已知函数 y ? g ( x) 对任意 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,证明:当 x ? 2 时, f ( x) ? g ( x); ⑶如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 4.

89. 已知函数 f ( x) ?

x ?1 . ex

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 若函数 y ? g ( x) 对任意 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,求证:当 x ? 2 , f ( x) ? g ( x); (3) 若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 4.

90. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1), g ( x) ? e ?1,
x

(Ⅰ)若 F ( x) ? f ( x) ? px ,求 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)对于任意的 x2 ? x1 ? 0 ,比较 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 g ( x2 ? x1 ) 的大小,并说明理由. 91. (2011辽宁理21,利用2的对称) 2 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a ) x . ⑴讨论 f ( x) 的单调性;

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ;(作差) a a a ⑶若函数 y ? f ( x) 的图像与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为 x0 ,证明:
⑵设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

f ?( x0 ) ? 0 .
92. (恒成立,思路不常见)

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天道酬勤 厚积薄发

x?a ,其中 a 为实数. ln x (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)是否存在实数 a ,使得对任意 x ? (0,1) ? (1,??) , f ( x) ? x 恒成立?若不存在,请说 明理由,若存在,求出 a 的值并加以证明.
已知函数 f ( x) ? 93. 已知函数 g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0, b ? 1) ,在区间 ?2, 3? 上有最大值4,最小值1,设

g ( x) . x (Ⅰ)求 a, b 的值; f ( x) ?
(Ⅱ)不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [?1,1] 上恒成立,求实数 k 的范围; (Ⅲ)方程 f (| 2 ? 1 |) ? k (
x

2 ? 3) ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围. | 2 ?1|
x

94.

2 已知函数 f ( x) ? (1 ? )[1 ? ln( x ? 1)] , 设 g ( x) ? x ? f ?( x)

1 x

(x ? 0 )

(1)是否存在唯一实数 a ? (m, m ? 1) ,使得 g (a) ? 0 ,若存在,求正整数 m 的值;若不存在, 说明理由。 (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? n 恒成立,求正整数 n 的最大值。

(第 3 问难想)已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中e是自然数的底数, a ? R 。 (1) 当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; 95.
2 x

(2) 若 f ( x) 在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3) 当 a ? 0 时,求整数k的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在[k,k+1]上有解。

96. (2011高考,单调性应用,第2问难) b是实数, 已知a、 函数 f ( x) ? x 3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx,

f ?( x) 和 g ?( x) 是 f ( x), g ( x) 的导 函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间I上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间I上单调性一致. (1)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求
|a-b|的最大值.

97. (2010湖南文数,另类区间)

a ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a, 其中a<0,且a≠-1. x (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)设函数

g ( x) ? {e? f ( x ),x?1

( ?2 x3 ?3 ax3 ?6 ax ?4 a 2 ?6 a ) e x , x?1

(e是自然数的底数)。是否存在

- 19 -

天道酬勤 厚积薄发 a,使 g ( x) 在[a,-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。

98. (2008辽宁理22,第2问无从下手,思路太难想) 设函数 f ( x) ?

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

⑴求 f ( x) 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) …a 的解集为 (0, ??) ?若存在,求 a 的取值范围; 若不存在,试说明理由. 99. (第二问较难) 设函数 f ( x) ? ( x ? a ) 2 ( x ? b)e x , a、b ? R , x ? a 是 f ( x) 的一个极大值点. ⑴若 a ? 0 ,求 b 的取值范围; ⑵当 a 是给定的实常数,设 x1,x2,x3 是 f ( x) 的3个极值点,问是否存在实数 b ,可找到 依次成等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由.

2, 3, 4? ) x4 ? R ,使得 x1,x2,x3,x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 ?i1,i2,i3,i4 ? = ?1,

已知函数 f ( x) ? a ln x , g ( x) ? x 2 ,记 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) (Ⅰ)求 F ( x) 的单调区间; 1 1 (Ⅱ)当 a ? 时,若 x ? 1 ,比较: g ( x ? 1) 与 f ( ) 的大小; 2 x a 1 2 (Ⅲ)若 F ( x) 的极值为 ,问是否存在实数 k ,使方程 g ( x) ? f (1 ? x ) ? k 有四 2 2 个不同实数根?若存在,求出实数 k 的取值范围;若不存在,请说明理由。
100.

六、导数应用题
101. 某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为t元(其中t为 常数,且2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售 x 量与e (e为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件. (1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式; (2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值. 102. 如图,ABCD是正方形空地,正方形的边长为30m,电源在点P处,点P到边AD、AB的距离 分别为9m、3m,某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MN:NE=16: 9,线段MN必须过点P,满足M、N分别在边AD、AB上,设 AN ? x(m) ,液晶广告屏幕MNEF 的面积为 S (m 2 ).

- 20 -

天道酬勤 厚积薄发

(I)求S关于x的函数关系式,并写出该函数的定义域; (II)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?

七、导数结合三角函数
103. 已知函数 f ( x) ? x ,函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间[-1,1]上的减函数. (I)求 ? 的最大值; (II)若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1在x ? [?1,1] 上恒成立,求t的取值范围; (Ⅲ)讨论关于x的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

104. 设函数 f ( x) ? ? x( x ? a ) 2 ( x ? R ),其中 a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值; 立,求 k 的值。

0? 时,若不等式 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos 2 x) 对任意的 x ? R 恒成 (Ⅲ)当 a ? 3 , k ? ? ?1,

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