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高中数学必修三(3.1.3概率的基本性质)


3.1
3.1.3

随机事件的概率

概率的基本性质

问题提出 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系, 集合可以进行交、并、补运算,你还记得子 集、等集、交集、并集和补集的含义及其符 号表示吗? 2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成 一个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必 然事件对应全集,随机事

件对应子集,不可 能事件对应空集,从而可以类比集合的关系 与运算,分析事件之间的关系与运算,使我 们对概率有进一步的理解和认识.

知识探究(一):事件的关系与运算

在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事 件:C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7}, F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等.

思考1:上述事件中哪些是必然事件?哪 些是随机事件?哪些是不可能事件?

思考2:如果事件C1发生,则一定有哪些 事件发生?在集合中,集合C1与这些集 合之间的关系怎样描述?

思考3:一般地,对于事件A与事件B,如 何理解事件B包含事件A(或事件A包含于 事件B)?特别地,不可能事件用Ф 表示, 它与任何事件的关系怎样约定? 如果当事件A发生时,事件B一定发生, 则B ? A ( 或A ? B ) ; 任何事件都包含不可能事件.

思考4:分析事件C1与事件D1之间的包含

关系,按集合观点这两个事件之间的关 系应怎样描述? 思考5:一般地,当两个事件A、B满足 什么条件时,称事件A与事件B相等? 若B ? A,且A ? B,则称事件A与事件B 相等,记作A=B.
思考6:如果事件C5发生或C6发生,就意

味着哪个事件发生?反之成立吗?

思考7:事件D2称为事件C5与事件C6的并事

件(或和事件),一般地,事件A与事件B 的并事件(或和事件)是什么含义? 当且仅当事件A发生或事件B发生时,事 件C发生,则称事件C为事件A与事件B的 并事件(或和事件),记作 C=A∪B(或 A+B).

思考8:类似地,当且仅当事件A发生且 事件B发生时,事件C发生,则称事件C为 事件A与事件B的交事件(或积事件), 记作C=A∩B(或AB),在上述事件中能 找出这样的例子吗?

思考9:两个集合的交可能为空集,两个 事件的交事件也可能为不可能事件,即 A∩B=Ф ,此时,称事件A与事件B互斥, 那么在一次试验中,事件A与事件B互斥 的含义怎样理解?在上述事件中能找出 这样的例子吗? 事件A与事件B不会同时发生.

思考10:若A∩B为不可能事件,A∪B为 必然事件,则称事件A与事件B互为对立 事件,那么在一次试验中,事件A与事件 B互为对立事件的含义怎样理解?在上述 事件中能找出这样的例子吗? 事件A与事件B有且只有一个发生.

思考11:事件A与事件B的和事件、积事 件,分别对应两个集合的并、交,那么 事件A与事件B互为对立事件,对应的集 合A、B是什么关系?

集合A与集合B互为补集.
思考12:若事件A与事件B相互对立,那 么事件A与事件B互斥吗?反之,若事件A 与事件B互斥,那么事件A与事件B相互对 立吗?

知识探究(二):概率的几个基本性质 思考1:概率的取值范围是什么?必然 事件、不可能事件的概率分别是多少?

思考2:如果事件A与事件B互斥,则事 件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频 数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A)、fn(B) 有什么关系?进一步得到P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什么关系?

若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频 数等于事件A发生的频数与事件B发生的 频数之和,且 P(A∪B)=P(A)+ P(B),这就是概率的加法公式.

思考3:如果事件A与事件B互为对立事件, 则P(A∪B)的值为多少?P(A∪B)与P(A)、 P(B)有什么关系?由此可得什么结论?

若事件A与事件B互为对立事件,则 P(A)+P(B)=1.

思考4:如果事件A与事件B互斥,那么 P(A)+P(B)与1的大小关系如何? P(A)+P(B)≤1.

思考5:如果事件A1,A2,?,An中任何 两个都互斥,那么事件(A1+A2+?+An) 的含义如何? P(A1+A2+?+An)与P(A1), P(A2),?,P(An)有什么关系? 事件(A1+A2+?+An)表示事件A1, A2,?,An中有一个发生; P(A1+A2+?+An)= P(A1)+P(A2) + ? +P(An).

思考6:对于任意两个事件A、B, P(A∪B)一定比P(A)或P(B)大吗? P(A∩B)一定比P(A)或P(B)小吗?

知识迁移 例1 某射手进行一次射击,试判断下 列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事 件? 事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.

事件A与事件C互斥,事件B与事件C互斥, 事件C与事件D互斥且对立.

例2 一个人打靶时连续射击两次 事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( D ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶

例3 把红、蓝、黑、白4张纸牌随 机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分 得一张,那么事件“甲分得红牌”与 事件“乙分得红牌”是 ( B ) A.对立事件 B. 互斥但不对立事件 C.必然事件 D. 不可能事件

例4 如果从不包括大小王的52张扑 克牌中随机抽取一张,那么取到红心 1 (事件A)的概率是 4 ,取到方片(事 1 件B)的概率是 4 ,问:

(l)取到红色牌(事件C)的概率是多 少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多 少? P(C)=P(A∪B)= P(A)+P(B) =0.5,P(D)=1- P(C)=0.5.

例5 袋中有12个小球,分别为红球、 黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已 1 知得到红球的概率是 3,得到黑球或黄 5 球的概率是12 ,得到黄球或绿球的概率 5 也是 12,试求得到黑球、黄球、绿球的 概率分别是多少?

1 1 1 , , . 4 6 4

小结作业 1.事件的各种关系与运算,可以类比集 合的关系与运算,互斥事件与对立事件 的概念的外延具有包含关系,即{对立事 件} {互斥事件}.
2.在一次试验中,两个互斥事件不能同 时发生,它包括一个事件发生而另一个 事件不发生,或者两个事件都不发生, 两个对立事件有且仅有一个发生.

3.事件(A+B)或(A∪B),表示事件A 与事件B至少有一个发生,事件(AB)或 A∩B,表示事件A与事件B同时发生. 4.概率加法公式是对互斥事件而言的, 一般地,P(A∪B)≤P(A)+P(B).

作业:P121练习:1,2,3. P124习题3.1 A组:5,6.


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