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6.2等差数列(1)教案2课时


设计说明
数学是思维的体操,是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能 力的载体。新课程倡导:强调过程、强调学生探索新知识的经历和获得新 知的体验,不能再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生在探求过程的 注重体验。基于以上认识,本节教学设计时,教师所考虑的不是简单告诉 学生等差数列的定义和通项公式,而是通过创造一些数学情境,在教师的 预设引领下,让学生自己去发现、探究。

在这个过程中,学生在课堂上的 主体地位得到充分发挥,极大的激发了学生的学习兴趣,也提高了他们提 出问题、解决问题的能力,培养了他们的创造力。而这正是新课程所倡导 的数学教学理念。 本节课借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,让探究式教学走进课 堂,保障学生的主体地位,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力, 塑造学生的主体人格,让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

6.2 等差数列(一)教案
课题
等差数列(一)

课型

专题课

教时

2 课时

等差数列是这章两大核心内容之一,其第一课时是学生探究特殊数列的开始,是继续研究等 背景 分析 差数列的基础, 它为等比数列概念的学习、 通项公式的推导与应用, 给出了“示范”, 提供了“模 式”。 学生在数列的前两次课上已经了解了数列的概念,知道数列的分类,会写出较简单的数 列的一个通项公式。 本节教学内容就在上述基础上展开教学设计。

1.知识与技能: (1)理解并掌握等差数列的概念; (2)能用定义判断一个数列是否为等差数列; (3)了解等差数列的通项公式的推导过程及思想,会求等差数列的公差及通项公 教学 目标 设定 式,并能在解题中灵活应用; (4)初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 2.过程与方法: (1)培养学生观察、分析、归纳、推理的能力; (2)通过阶梯性练习,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养 成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 ①等差数列的概念; 教学 重点 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 (1)对等差数列中“等差”特点的理解,并用数学语言刻画;
教学 难点

(2)用不完全归纳法推导等差数列的通项公式; (3)应用等差数列概念及通项公式解决相关问题。

教学 情境 创设

本设计从生活中的数列模型,如举童谣、各国男鞋尺码等问题引入,进而提出有待探索的问 题,通过引导学生观察、总结规律、自行归纳得到等差数列的概念,再由求简单数列的通项公式 入手,逐步深入,形成等差数列的通项公式。 ⑴ 以多媒体为教学手段; ⑵采用启发式、分组教学以及讲练结合等教学方法。

教学 方法 手段

教学环节

教学内容
情境 1:童谣《数青蛙》. 问题: (1)你还能接着再数下去吗? (2)童谣中能总结出哪些数列? 青蛙嘴的张数:1,2,3,4,5,? 青蛙眼睛数:2,4,6,8,10,? 青蛙腿数:4, 8, 12, 16,? 情境 2:各国男鞋尺码对照表:

师生活动
教师播放童谣视 频,将学生带入情境中, 学生在特定的情境中, 自然而然地对所学的知 识产生兴趣.

设计意图
问题 1 针对我班男 生偏多且善于表现 的特点,有效地吸 引学生注意力,融 洽课堂气氛. 问题 2, 3 初步以 数学建模思想,引 入新课.

一、引入 创 设 情 境 引 入 概 念

让学生感受到数列 在生活中处处可见

问题: (3)请写出各个鞋码分别构成 的数列。 观察 : 上面的七个数列有什么共同特 点?
(1)1,2,3,4,5,?

教师引导学生观察相 邻两项间的关系。 通过分析,激发学 生学习、探究知识 的兴趣,引导揭示 等差数列的共性特 点。

仔 细 观 察

发 现 规 律

(2)2,4,6,8,10,? (3)4, 8, 12, 16,?

由学生归纳和概括 出, 以上七个数列从第 2 (4)6.0,6.5,7.0,7.5,8.0, 项起,每一项与前一项 8.5,9.0,9.5,10.0 的差都等于同一个常数 (5)5.5,6.0,6.5,7.0,7.5,8.0,8.5,9.0, (即:每个都具有相邻 两项差为同一个常数的 9.5 特点) 。 2 1 2 1 2

38 (6)

39 , 40 ,41 , 42 , , 40, 42, 3 3 3 3 3 1 43 ,44 3

(7)38,39,40,41,42,43,44,45,46

二、新课 观 察 归 纳 形 成 概 念

等差数列的定义: 教师引导学生用描 一般地,如果一个数列从第 2 项 起,每一项与它的前一项的差等于同 述性语言归纳等差数列 由实例归纳出等差 数列的定义,体现 一个常数,那么这个数列就叫做等差 概念. 了从特殊到一般的 数列,这个常数叫做等差数列的公差, 认知规律. 通常用字母 d 来表示。 数学表达式 an?1 ? an ? d (n 为自然数且
n≥1,d 为常数) 鼓励学生进一步尝 试用数学符号语言不完 全归纳、刻画等差数列 的定义.

判断是否为等差数列?是等差数列 的找出其首项与公差.

讨 论 研 究

深 化 概 念

a. 1, 3, 5, 7, 9 b. 5,5,5,5,5,5,? c. 1,0,-1,0 1,0,-1,0,? 学生口答 通过练习,深化学 生对概念的理解.

你会求它们的通项公式吗?
(1) 1,2,3,4,5,6,? (2) 2,4,6,8,10,? (3) 1,4,7,10,13,16,? (4) 2,0,-2,-4,-6,-8 , ? 学生尝试找出四个 数列的通项公式,并把 答案写在答题板上,以 哪个小组速度最快取 胜. 由这个问题很自然 的过渡到本节课的 第二个问题——通 项公式.

问 题 深 入

形 成 新 知

那么,如果任意给了一个等差数 列的首项 a1 和公差 d,它的通项公式 是什么呢? ? a2 ? a1 ? d , ?a ? a ? d , ? (n ? 1)个等式 ? 3 2 ? a4 ? a3 ? d , ? ? 所以 a2 ? a1 ? d , a3 ? a 2 ? d , a 4 ? a3 ? d , ?? 思考:通项公式到底如何表达呢? a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a ? 2d , a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a ? 3d , ?? 得出通项公式:由此我们可以猜想得 出:以 a1 为首项,d 为公差的等差数 列 {an } 的通项公式为

教师引导学生根据 等差数列的定义进行归 纳。形成等差数列的通 项公式。

引导学生进行理性 分析与推导,从而 得出公式。

学生在教师的引导 下思考,并发表各自的 意见。

让学生有自主思考 的时空。

an ? a1 ? (n ? 1)d
也就是说,只要我们知道了等差 数列的首项 a1 和公差 d,那么这个等 差数列的通项 an 就可以表示出来了。
教师归纳性总结通 项公式,加深学生的理 解。

例1、 已知等差数列 {an } 的首项是 1,公差为 3,求其第 11 项. 解:因为 a1= 1,d =3,所以这个数列 的通项公式是 an = 1+(n-1)×(3),即 an = 3n-2 例2、 求等差数列-13,-9,-5, -1,?的第 56 项。

教师引导学生分 析例 1、2,已知什么? 求什么?怎么求? 学生思考、说出已 知、所求,代入通项公 式. 强调:通项公式是 用含有 n 的式子表示 鼓励学生自主解 答,培养学生运算 能力.

解 : 因为 a1= -13,d =-9-(- an . 13)=4,所以这个数列的通项公式是
学生尝试解答后, 师生共同板书解题过 程.

例 题 讲 解

强 化 新 知


an = -13+(n-1)×4 即 an = -17+4n. 例3、 已知等差数列 {an } , a3 ? 16 , 求此等差数列的通项 a7 ? 8 , 公式。 因为 a 3 = 16,a 7= 8,根据通项

教师点拨、引导: (1) 例 3 给出了哪 些量?如何用数列符号 表示? (2)例题中的所求 量是什么?需要知道哪 些条件? 学生在分组合作探 究过程中,可能会 找到多种不同的解 决办法,教师要逐 一点评,并及时肯 定、赞扬学生善于 动脑、勇于创新的 教师总结学生思 品质,激发学生的 创造意识.

公式得:

?

a1 ? (3?1) d ?16 a1 ? ( 7 ?1) d ?8

整理,得

?

a1 ? 2d ?16 a1 ?6d ?8

路,给出解题过程.

解此方程组,得 a1 = 20,d = -2. 所以 an ? 20 ? (n ? 1) ? (?2)
即 an ? 22 ? 2n

1、已知等差数列 {an } 的首项是 7,

即 时 训 练

巩 固 新 知

公差为 2,求其第 11 项. 2、求等差数列 17,14,11,8,?的
第 10 项。 3、已知等差数列 {an } 中 a11 ? 301,

学生分组练习,把 答案写在答题板上 . 教 师巡视,指导。

学生熟悉通项公 式,对学生进行基 本技能训练,同时 激发学生竞争及团

a21 ? 401,求此等差数列的通项公
式。

学生板演,并由其 余学生点评,教师做最 后总结.

体协作能力.

三、总结 问题:这节课你学到了什么? 总 结 反 思 提 高 认 识
一个定义:
学生对这节课进 行反思, 总结收获与不 足之处.

an ? an?1 ? d (d是常数, n ? N且n ? 2)
一个公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 一种思想:函数思想 两种方法:不完全归纳法、叠加法

让学生自己小结, 不 仅仅总结知识更重 要地是总结数学思 想方法。 这样可帮助 学生自行构建知识 体系,理清知识脉 络, 养成良好的学习 习惯.

第 1 题为基础题,

作业 1:课本 17 页 1、5。 作业 2:为了使孩子上大学有足够 的费用, 一对夫妇从小孩上初一的

供学生巩固练习. 第 2 题为实际应用 题,学生通过解决 教师点拨各题要点。 这道题体会到父母 供养一个孩子完成 学业的艰辛,潜移 默化中渗透了德育 学生课后自主完成。 教育.第 3 题是提 高题,供学有余力 的学生练习.通过 分层作业,提高同 学们的求知欲和满 足不同层次的学生 需求.

任 务 后 延

自 主 探 究

时候开始存钱,第一次存了 5000 元, 并计划每年比前一年多存 2000 元。若小孩正常考上大学,请问该 家长后 5 年每年应存多少钱? 作业 3:根据所学的函数知识画出 等差数列的项数 n 和项 an 之间的 函数图象.预习等差数列前 n 项和 公式。

课后反思:

本设计从生活中的等差数列模型,如童谣数青蛙、各国鞋码等问题引 入,进而提出有待探索的问题,这有助于发挥学生学习的主动性。在探索 的过程中,学生通过分析、观察,逐步抽象概括得出等差数列定义,强化 了由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程。 本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出,过程中分析细致、 到位、适度。如:判断某数列是否成等差数列,这是促进概念理解的好素 材。本节课教学中体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变, 以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径,把握科学合理的知识体系, 形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选 择合理、有效,体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动,勇于探索的 学习方式”的理念。 本节课不足之处:在等差数列的通项公式中,仅仅参考了书本例题, 与现实生活联系较少。 改进措施:平时多积累资料,多阅读,将生活中的例子与数学更好地 结合,使得例题更加丰满、完善。


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