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丰顺中学2014届高三年级数学(理科)寒假作业


丰顺中学 2014 届高三年级数学(理科)寒假作业 2014.1
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位, 则复数

i 的模等于 2?i
C.

A. 5

B. 3

3

3

D.

5 5

2 2 2.设集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 1 ,则 A ? B 等于

?

?

?

?

A. ??1?

B. ?1,3?

C. ??1,1,3?

D. R

3.已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?2) , c ? (0, 2) ,若 a ? ? b ? c ? ,则实数 x 的值为 A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

4.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? ? A. ? 4
5.函数

?log 2 (16 ? x), ? f ( x ? 1),

x ? 0, x ? 0,

则 f ? 3? 的值为

B.2

C. log 2 13

D.4

f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? y ? f ? x ? 对应的解析式为
B. y ? sin ? 2 x ?

?
2

)的部分图象如图 1 所示,

则函数 A.

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 6? ?

? ?

??
? 6?

y 1 O

11? 12

C.

?? ?? ? ? y ? cos ? 2 x ? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? 6? 6? ? ?

?
6 图1

x

6.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 A.15 开始 B.105 输入 N C.120 D.720

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?




输出 p

结束

k ?k?2

图2

7.若点 A(1,0) 和点 B(4, 0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

8. 对于实数 a 和 b, 定义运算 “*” : a *b ? ?

2 ? ??a ? 2ab ? 1, a ? b, 设 f ( x) ? ? 2x ?1? * ? x ?1? , 2 b ? ab , a ? b . ? ?

且关于 x 的方程为 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 ,x2 ,x3 , 则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是 A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 32 ?

B. ? ?

? 1 ? ,0? ? 16 ?

C. ? 0,

? ?

1 ? ? 32 ?

D. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? a3 ? 3a1 ,则 a4 ? . y

? x ? 0, ? y ? 0, ? 10. 若 x ,y 满足约束条件 ? 则 x ? y 的最大值为__ x ? y ? ? 1, ? ? ?3 x ? 4 y ? 12,

4

_____. -2
2

O 图3 .

2 x

11.如图 3,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 图象 下方的点构成的区域.在 D 内随机取一点,则该点落在 E 中的概率为 12.已知点 P 在曲线 y ?
x

斜角,则 tan ? 的取值范围是

4 (其中 e 为自然对数的底数)上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾 e ?1


13.有 4 名优秀学生 A , B , C , D 全部被保送到甲,乙,丙 3 所学校,每所学校至少去一名, 则不同的保送方案共有 种.
B

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, AC 为⊙ O 的 直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M . 若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN 的长为 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 若点 P( x, y) 在曲线 ?
C

M O N

A



图4 .

y ? x ? ?2 ? cos ? ( ? 为参数, ? ? R )上,则 的取值范围是 x ? y ? sin ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 . ? 2 3

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM2.5 (单位:μg / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值 越高,代表空气污染越严重. PM2.5 的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:
3

PM2.5 日均浓度 0~35 35~75
空气质量类别 优 良

75~115 轻度污染

115~150 中度污染

150~250 重度污染

>250 严重污染

从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的 PM2.5 日均浓度指数数据茎叶图 如图 5 所示. (1)试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数; (2)在甲城市这 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优 或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809 图5

18. (本小题满分 14 分) 在如图 6 的几何体中,平面 CDEF 为正方形,平面 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD ,

AB ? 2 BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值.

E

F

D A 图6

C B

19. (本小题满分 14 分)
已知数列{an}满足 a1 ?

3 3an * , an ?1 ? , n?N . 5 2an ? 1

(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1 ? 为等比数列; ? an ?
? 1,

(2)是否存在互不相等的正整数 m , s , t ,使 m , s , t 成等差数列,且 am ?1 , as

at ? 1 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的 m , s , t ;如果不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax ? a ? 0 ? , g ? x ? ? bx2 ? 2b ?1. 3

(1)若曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同的切线,求实数 a , b 的值; (2) 当b ?

1? a 时, 若函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点, 求实数 a 2

的取值范围; (3)当 a ? 1 , b ? 0 时,求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值.

21. (本小题满分 14 分)
如图 7,已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? ,双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线为 a 2 b2 a b

l1 , l 2 .过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l ,使 l ? l1 ,又 l 与 l 2 交于点 P ,设 l 与椭圆 C 的两个交点由
上至下依次为 A , B . (1)若 l1 与 l 2 的夹角为 60° ,且双曲线的焦距为 4, 求椭圆 C 的方程;

l1

y

P A

(2)求

| FA | 的最大值. | AP |

O l2 l 图7 B

F

x


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