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【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.2第二课时平面与平面平行课件 新人教B版必修2


第二课时

平面与平面平行

学习目标

1.理解面面平行的定义,掌握面面平行的判定定
理.

2.掌握面面平行的性质定理,并能进行空间平
行的相互转化.

课前自主学案

第二课时

课堂互动讲练

/>知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 平面外 1.直线和平面平行的判定定理:如果_________ 平行 的一条直线和这个平面内的一条直线______,那 么这条直线和这个平面平行. 2.直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和 经过这条直线的平面 一个平面平行,_____________________和这个平 面相交,那么这条直线就和交线平行.

知新益能 1.空间两个平面的位置关系 位置关系 两平面 平行 α∥β ______ 无 图示 表示法 公共点(直线) 个数

位置关系

图示

表示法

公共点 (直线)个 数 _______ 有一条公 _______ 共直线 __

斜交 两平 面相 交 垂直

α∩β=a

α⊥βα∩β =a

_______ 有一条公 _______ 共直线 __

2.两个平面平行的判定定理 平行 如果一个平面内有两条________直线都________ 相交 于另一个平面,那么这两个平面平行. 定理的符号语言表示为: 若a?α,b?α,a∩b=A,且a∥β,b∥β,则 α∥β. 两条相交 推论:如果一个平面内有______________直线分 别平行于另一个平面内的___________直线,则这 两条 两个平面平行. 其符号语言表述为:若a?α,b?α,c?β,d?β, 且a∩b=A,a∥c,b∥d,则α∥β.

思考感悟
平行于同一个平面的两条直线是否也一定平行? 提示:不一定.平行、相交、异面都有可能. 3.两个平面平行的性质 (1)我们根据两个平面平行及直线和平面平行的 定义,容易得到下面结论: α∥β,a?α?a∥β.

这就是说: 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意 直线均平行于另一个平面. (2)两个平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同 时 和 第 三 个 平 面 它们的交线平行 么 相 交 , 那 _________________.(简言之:面面平行?线线 平行)

课堂互动讲练

考点突破 平面与平面平行的判定 证明面面平行的主要方法 (1)根据定义结合反证法; (2)根据判定定理.

例1

正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E、F分别

是CC1 、AA1 的中点,求证:平面BDE∥平面 B1D1F.
【分析】 画图分析 → BD∥B1 D1

→ 取BB1的中点G → 作辅助线 → 证B1 F∥DE → 面面平行

【证明】 设G是BB1的中点, 连接CG、DF. ∵FG綊AB,AB綊DC, ∴FG綊DC. ∴四边形FGCD是平行四边形, 则DF綊CG. 由题设可得EB1綊CG,则DF綊EB1. 所以四边形DFB1E是平行四边形.

∴B1F∥ED,∵B1F?平面BDE,ED?平面BDE,
∴B1F∥平面BDE.

又∵B1D1∥BD,
B1D1?平面BDE,BD?平面BDE, ∴B1D1∥平面BDE. ∵B1D1∩B1F=B1, ∴平面BDE∥平面B1D1F.

【点评】

在解答本题的过程中,易出现DF与

EB1 不经过证明而误认为DF∥B1E,且DF=B1E 的情况,导致此种错误的原因是忽视了应根据题 干条件及图形合理作出辅助线,再通过GC完成证 明DF綊B1E.

跟踪训练1 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F、 G是侧面对角线上的点,且BE=CF=AG. 求证:平面EFG∥平面ABC.

证明:作EP⊥BB1于P,连接PF. 在正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1中, 易知A1B1⊥BB1.又EP⊥BB1,∴EP∥A1B1∥AB.

BE BP ∴ = ,EP∥平面 ABC. BA1 BB1 又∵BE=CF,BA1=CB1, CF BP ∴ = , CB1 BB1 ∴PF∥BC,则 PF∥平面 ABC. ∵EP∩PF=P,∴平面 PEF∥平面 ABC. ∵EF?平面 PEF,∴EF∥平面 ABC. 同理,GF∥平面 ABC. ∵EF∩GF=F,∴平面 EFG∥平面 ABC.

面面平行的性质

利用面面平行,结合其性质得出其它的结论.

例2 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点,

且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高,D、E、F分

别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF
的位置关系,并给予证明. 【分析】 观察图形可判定SG∥平面DEF,要证

明结论成立,只需证明SG与平面DEF内的一条直 线平行或证明平面SAB∥平面DEF.

【证明】 法一:连接CG交DE于点H, ∵DE是△ABC的中位线, ∴DE∥AB. 在△ACG中,D是AC的中点,且DH∥AG, ∴H为CG的中点.

∴FH是△SCG的中位线,∴FH∥SG. 又SG?平面DEF,FH?平面DEF, ∴SG∥平面DEF. 法二:∵EF为△SBC的中位线,∴EF∥SB. ∵EF?平面SAB,SB?平面SAB,∴EF∥平面 SAB. 同理DF∥平面SAB,EF∩DF=F, ∴平面SAB∥平面DEF. 又∵SG?平面SAB,∴SG∥平面DEF.

【点评】

两平面平行问题常常转化为线面平行,

而线面平行又可转化为线线平行.所以要注意转
化思想的应用.两平面平行的性质定理是证明空

间两直线平行的重要依据,故应切实掌握好.

跟踪训练2

如图所示,在底面是平行四边形的四

棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED= 2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面 AEC?并证明你的结论.

解:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明 如下: 取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE,①

1 由 EM= PE=ED, E 是 MD 的中点, 知 连接 BM, 2 BD,设 BD∩AC=O,则 O 为 BD 的中点,连接 OE, 则 BM∥OE,② 由①②可知,平面 BFM∥平面 AEC,又 BF?平 面 BFM,∴BF∥平面 AEC.

面面平行的判定与性质的综合问题
线线平行、线面平行、面面平行三者之间的相 互转化.

例3 点P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、

C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.

求证:平面A′B′C′∥平面ABC.
【分析】 行. 根据重心具有的性质先推出线线平

【证明】 如图,连接 PA′、PB′、PC′并延 长分别交 BC、AC、AB 于 N、Q、M 点. ∵A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB 的重心, PC′ ∴M、N、Q 分别为 AB、BC、CA 的中点且 PM PA′ PB′ 2 = = = . PN PQ 3 PC′ PA′ 2 在△PMN 中, = = , PM PN 3

∴C′A′∥MN, ∵M、N分别为△ABC的边AB、BC的中点, ∴MN∥AC, ∴A′C′∥AC.∴A′C′∥平面ABC. 同理A′B′∥平面ABC. ∵A′B′∩A′C′=A′, A′C′、A′B′?平面A′B′C′, ∴平面A′B′C′∥平面ABC.

【点评】

要证面面平行需先在一个平面内

找出两条相交直线,证这两条直线分别与另 一平面平行,再根据面面平行的判定定理得 出结论.

跟踪训练3 如图,平面α∥平面β,△ABC与 △A′B′C′分别在α、β内,线段AA′、BB′、CC′相 交于点O,点O在α、β之间,若AB=2,AC=1, ∠BAC=60°,OA∶OA′=3∶2,求△A′B′C′的 面积.

3 解:根据题意有 S△ ABC= . 2 ∵AA′、BB′相交. ∴直线 AA′、BB′确定一个平面 ABA′B′, ∵平面 α∥平面 β,∴AB∥A′B′, 易得△ABO∽△A′B′O① △ABC∽△A′B′C′,② AB OA 3 由①得 = = , A′B′ OA′ 2 S△ ABC ? AB ?2 =(3)2, 由②得 = S△ A′ B′ C′ ?A′B′ ? 2 2 3 ∴S△ A′ B′ C′= . 9

方法感悟

两个平面平行的定义是:两个平面没有公共点,这 两个平面才平行,从而如果两个平面平行,在一个 平面内的所有直线都平行于另一个平面;反之,一 个平面内的所有直线都平行于另一个平面,则这两 个平面必平行.判定定理把“所有直线”减少为“ 两条相交直线”,使得判断面面平行较为容易. 通过线面平行判定面面平行,而性质定理则是得出 线面平行,线线平行.这样进一步揭示了线线、线 面、面面的互相转化关系即:


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