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2013届泰安市高三期末考试数学试题(理)


高三年级考试

数学试题(理)
2013.1 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 1.“ m ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? my ? 0 互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图

,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图 都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体积为 A.

1 3

B.

1 2

C.

1 6

D.1

3.设 a ? 30.5 , b ? log3 2, c ? cos 2 ,则 A. c ? b ? a C. a ? b ? c B. c ? a ? b D. b ? c ? a

4. 设向量 a ? ? cos? ,? 1 b ? ? 2, sin ? ,若 a ? b , 则 ? ?,

?

?

?

?

?? ? tan? ? ? ? 等于 4? ?
A. ?

1 3

B.

x 5.已知集合 M ? x y ? 2 x ? x 2 ,集合 N ? y y ? 3 , x ? 0 ,则如图所示的韦恩

?

1 3

C. ?3

D.3

?

?

?

图中阴影部分所表示的集合为 A. ? 2,??? C. ?0,1? ? ? 2, ??? B. ?0,1? ? ? 2, ??? D. ?0,1? ? ? 2, ???

6.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, x ? 3 及 x 轴所围成的曲边四边形的面积为 A.

11 6

B.

9 2
2

C.

1 ? ln 3 2

D. 4 ? ln 3

7.函数 y ? 1 ? 2sin ? x ?

? ?

??

?是 4?
1

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

? 的偶函数 2

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

8.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 9.设 a ? b ,函数 y ? ? x ? a ?
2

? x ? b ? 的图象可能是

? y ? ?x ? 2 1 ? 10.已知不等式组? y ? kx ? 1 所表示的平面区 域为面积等于 的三角形,则实数k 的值为 4 ?y ? 0 ?
A. ?1 B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

11.以双曲线 A. x ? 3
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心且与双曲线的线相切的圆的方程是 6 3

?

?

2

? y2 ? 3

B. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3

2 C. ? x ? 3? ? y ? 3

2 D. ? x ? 3 ? ? y ? 3

12.函数 f ? x ? ? A sin ??x ? ? ?(其中 A ? 0, ? ?

?
2



的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2x 的图象,则 只需将 f ? x ? 的图象 A.向右平移 个长度单位 C.向左平移

? 个长度单位 6 ? 个长度单位 6

B. 向 右 平 移

? 12

D.向左平移
2

? 个长度单位 12

二、填空题:本大题 个小题 共4 ,每小题4 分, 共16 分.请把答案填在答题纸的相应 位置上. 13.设非零向量 a, b, c 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则 a, b ? __________. 14.下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图 形中小正方形的个数是___________.

? ??

?? ?

?? ?

?? ?

?

?

? ?

15.已知 F 是抛物线 y ? x2 的焦点,M、N 是该抛物线上的两点, MF ? NF ? 3 , 则线段 MN 的中点到 x 轴的距离为__________. 16. 已 知 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 ? ?1,5? , 部 分 对 应 值 如 下 表 , f ? x ? 的 导 函 数

y ? f ? ? x ? 的图像如图所示,给出关于 f ? x ? 的下列命题:

①函数 y ? f ? x ? 在x ? 2 时,取极小值 ②函数 f ? x ? 在?0,1? 是减函数,在 ?1, 2? 是 增函数,③当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点 ④如果当 x ?? ?1, t ? 时,

f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最小值为 0,其中所有正确命题序号为_________.
三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.(本小题满分 12 分)

?ABC 的内角A、B、C所对的边分别为a, b, c ,且a sin A ? sin B ?sin C ? sin b c 2 a
(I)求角 C; (II)求 3 sin A ? cos ? B ? 18.(本小题满分 12 分)

B

? ?

??

? 的最大值. 4?

在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,
3

b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S2 ? 12, q ?
(I)求 an 与 bn ;

S2 . b2

(II)设 Tn ? anb1 ? an?1b2 ???? ? a1bn , n ? N ? ,求 Tn 的值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中, PB ? 底面 ABCD.底面 ABCD 为直 角梯形, ABC ? 90? , AD / / BC, AB ? AD ? PB, BC ? 2 AD. 点 ? E 在棱 PA 上,且 PE=2EA. (I)求证: CD ? 平面 PBD; (II)求二面角 A—BE—D 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第 二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该年每年的运输收入均为 25 万元.小 王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格为 25 ?x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年). (I)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (II 在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?) (利润=累计收入+销售收入-总支出) 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率为 , F1 、 F2 分别为椭圆 C 的左、右 2 a b 3

焦点,过 F2 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点, ?F1 AB 的周长为 4 3 . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若椭圆 C 上存在点 P,使得四边形 OAPB 为平行四边形,求此时直线 l 的方程. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax ? a ? R ?
2 (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围; ?

?

(II)若对任意 x ? ?1, ??? , f ? x ? ? k ? x ?1? ? ax ? x 恒成立,求正整数 k 的值.

4

5

6

7

8

9

10


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